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分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种方法在简化研究对象、发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论思想的数学命题在高考试题中占有重要地位.所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，需要根据对象属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果解决整个问题.它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.用分类讨论的方法解决含参的问题时，由于学生对分类的标准和对逻辑运算把握不准确，出现集合运算的“交”与“并”不分的错误，造成不必要的失分.下面我对分类讨论后“交”与“并”的教学作如下探究，不妥之处，敬请指教.
例1 已知集合A＝{x|x2-6x＋8＜0}，B＝{x|(x-a)•(x-3a)＜0}，若A∩B＝，求a的取值范围.
分析 这道题中含有参数a，解题时，需根据参数的不同取值范围进行讨论.
解 ∵A＝{x|x2-6x＋8＜0}，∴A＝{x|2＜x＜4}.
要满足A∩B＝，则B=或B与A无公共元素.
当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，
∴a≥4或3a≤2，∴0＜a≤23或a≥4；
当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}，a≤2或a≥43，
∴a＜0时成立；
当a＝0时，B＝，A∩B＝也成立.
综上所述，a≤23或a≥4时，A∩B＝.
说明 这道题并不难，解题关键在于比较a与3a的大小，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧.应用分类讨论思想解决问题必须保证在讨论对象相关的区域内对所讨论的问题进行合理的分类，分类时做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级，然后逐类讨论，最后归纳总结，整合得出结论.要合理地应用分类讨论的方法解题，需克服两个易错点：
易错点一 区间端点“开”与“闭”的确定
这个看似简单的问题，恰恰是学生极易丢分的地方.原因是学生在分类时标准不统一或“断点”没有找准造成的.只有在统一标准的前提下找准了“断点”，才能合理地将问题相关的区域分成若干个小区域，准确地把握结果中区间的“开”与“闭”.为此可以做如下变式训练：A＝{x|2≤x＜4}或B＝{x|(x-a)(x-3a)≥0}，其余条件不变如何解呢?
易错点二 分类讨论后，是求“交集”“并集”，还是不求
类型题1 求“交集”.
求“交集”往往发生在分类讨论的某一步中，如例1的解题过程：
当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}.
∵A∩B＝，∴a≥4或3a≤2，∴0＜a≤23或a≥4.
在上述过程中，“a＞0”是“a≥4或3a≤2”的前提条件，是“且”的关系，所以求条件间的“交集”.多数学生往往只看到“a≥4或3a≤2”而忽视了前提条件“a＞0”，造成失分.
类型题2 求“并集”.
同例1一样，这类题的特征是：题设条件中含有参数，通过已知条件求参数的取值或取值范围.解题时要对参数进行分类，在参数的不同情形下求参数的取值或取值范围，由于各分类间是并列的关系，所以最后要求各分类下参数的取值或取值范围的并集.
例2 已知函数f(x)=mx2-6mx+m+8的定义域为R，求实数m的取值范围.
分析 “函数f(x)=mx2-6mx+m+8的定义域为R”的充要条件是“mx2-6mx＋m＋8≥0的解集为R”.
解 依照二次项系数m是否为零进行分类讨论.
(1)当m=0时，f(x)＝8，其定义域为R；
(2)当m≠0时，要使mx2-6mx＋m＋8≥0在x∈R的情况下均成立，必须满足m>0，Δ=36m2-4m(m+8)≤0，解得0＜m≤1.
综合(1)，(2)可知，m的取值范围为［0，1］.
类型题3 “不求”.
这类题的特征是：含有参数，求自变量的取值或取值范围.解题时要对参数进行分类，在参数的不同情形下求自变量的取值或取值范围.由于各分类下自变量的取值或取值范围只有在参数特定的条件下才成立，也就是说，各分类下自变量的取值或取值范围是独立的，所以最后既不求并集也不求交集.
例3 解不等式2x2+ax+2>0.
分析 根据一元二次不等式的结构特点，依判别式的符号分类，在各分类下讨论不等式对应方程根的情况，再结合图像或公式得出不等式的解集.
解 ∵Δ=a2-16，
∴当Δ<0，即-4 当Δ=0，即a=±4时，原不等式的解集为x|x≠-a4；
当Δ>0，即a<-4或a>4时，方程2x2+ax+2=0的两根为
x1=14(-a-a2-16)，x2=14(-a+a2-16).
原不等式的解集为x|x<14(-a-a2-16)或x>14(-a+a2-16).
总结 (1)对含参的一元二次不等式，根据题目的特点选择分类标准，或按x2项的系数a的符号分类，或按判别式的符号分类，或按方程ax2+bx+c=0的根x1，x2的大小分类.
(2)仔细审题，看清楚分类后是求“交集”“并集”，还是“不求”.求“交集”往往发生在分类的某一类中，条件间是“且”的关系；求“并集”的特点是根据参数分类，求参数的取值或取值范围，条件间是“或”的关系；而“不求”的特点是根据参数分类，求自变量的取值或取值范围，虽然各分类间是“或”的关系，但由于自变量的取值是建立在参数的不同分类基础上，是在参数特定的取值或取值范围下才成立，故“不求”.
总之，分类讨论应注重理解掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏”，逐步进行讨论，获取阶段性结果，看清楚是对阶段性成果求“交集”“并集”，还是“不求”，最后进行归纳小结，得出结论.只有科学合理地使用分类讨论，才能有效地提高解题能力.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
例1 已知集合A＝{x|x2-6x＋8＜0}，B＝{x|(x-a)•(x-3a)＜0}，若A∩B＝，求a的取值范围.
分析 这道题中含有参数a，解题时，需根据参数的不同取值范围进行讨论.
解 ∵A＝{x|x2-6x＋8＜0}，∴A＝{x|2＜x＜4}.
要满足A∩B＝，则B=或B与A无公共元素.
当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，
∴a≥4或3a≤2，∴0＜a≤23或a≥4；
当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}，a≤2或a≥43，
∴a＜0时成立；
当a＝0时，B＝，A∩B＝也成立.
综上所述，a≤23或a≥4时，A∩B＝.
说明 这道题并不难，解题关键在于比较a与3a的大小，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧.应用分类讨论思想解决问题必须保证在讨论对象相关的区域内对所讨论的问题进行合理的分类，分类时做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级，然后逐类讨论，最后归纳总结，整合得出结论.要合理地应用分类讨论的方法解题，需克服两个易错点：
易错点一 区间端点“开”与“闭”的确定
这个看似简单的问题，恰恰是学生极易丢分的地方.原因是学生在分类时标准不统一或“断点”没有找准造成的.只有在统一标准的前提下找准了“断点”，才能合理地将问题相关的区域分成若干个小区域，准确地把握结果中区间的“开”与“闭”.为此可以做如下变式训练：A＝{x|2≤x＜4}或B＝{x|(x-a)(x-3a)≥0}，其余条件不变如何解呢?
易错点二 分类讨论后，是求“交集”“并集”，还是不求
类型题1 求“交集”.
求“交集”往往发生在分类讨论的某一步中，如例1的解题过程：
当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}.
∵A∩B＝，∴a≥4或3a≤2，∴0＜a≤23或a≥4.
在上述过程中，“a＞0”是“a≥4或3a≤2”的前提条件，是“且”的关系，所以求条件间的“交集”.多数学生往往只看到“a≥4或3a≤2”而忽视了前提条件“a＞0”，造成失分.
类型题2 求“并集”.
同例1一样，这类题的特征是：题设条件中含有参数，通过已知条件求参数的取值或取值范围.解题时要对参数进行分类，在参数的不同情形下求参数的取值或取值范围，由于各分类间是并列的关系，所以最后要求各分类下参数的取值或取值范围的并集.
例2 已知函数f(x)=mx2-6mx+m+8的定义域为R，求实数m的取值范围.
分析 “函数f(x)=mx2-6mx+m+8的定义域为R”的充要条件是“mx2-6mx＋m＋8≥0的解集为R”.
解 依照二次项系数m是否为零进行分类讨论.
(1)当m=0时，f(x)＝8，其定义域为R；
(2)当m≠0时，要使mx2-6mx＋m＋8≥0在x∈R的情况下均成立，必须满足m>0，Δ=36m2-4m(m+8)≤0，解得0＜m≤1.
综合(1)，(2)可知，m的取值范围为［0，1］.
类型题3 “不求”.
这类题的特征是：含有参数，求自变量的取值或取值范围.解题时要对参数进行分类，在参数的不同情形下求自变量的取值或取值范围.由于各分类下自变量的取值或取值范围只有在参数特定的条件下才成立，也就是说，各分类下自变量的取值或取值范围是独立的，所以最后既不求并集也不求交集.
例3 解不等式2x2+ax+2>0.
分析 根据一元二次不等式的结构特点，依判别式的符号分类，在各分类下讨论不等式对应方程根的情况，再结合图像或公式得出不等式的解集.
解 ∵Δ=a2-16，
∴当Δ<0，即-4
当Δ>0，即a<-4或a>4时，方程2x2+ax+2=0的两根为
x1=14(-a-a2-16)，x2=14(-a+a2-16).
原不等式的解集为x|x<14(-a-a2-16)或x>14(-a+a2-16).
总结 (1)对含参的一元二次不等式，根据题目的特点选择分类标准，或按x2项的系数a的符号分类，或按判别式的符号分类，或按方程ax2+bx+c=0的根x1，x2的大小分类.
(2)仔细审题，看清楚分类后是求“交集”“并集”，还是“不求”.求“交集”往往发生在分类的某一类中，条件间是“且”的关系；求“并集”的特点是根据参数分类，求参数的取值或取值范围，条件间是“或”的关系；而“不求”的特点是根据参数分类，求自变量的取值或取值范围，虽然各分类间是“或”的关系，但由于自变量的取值是建立在参数的不同分类基础上，是在参数特定的取值或取值范围下才成立，故“不求”.
总之，分类讨论应注重理解掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏”，逐步进行讨论，获取阶段性结果，看清楚是对阶段性成果求“交集”“并集”，还是“不求”，最后进行归纳小结，得出结论.只有科学合理地使用分类讨论，才能有效地提高解题能力.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文