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如果 spacetime 包含 asymptotically 扁平的 spacelike 旋转 hypersurface 并且沿着 hypersurface 满足主导的精力条件，我们与黑洞为高度维的 spacetimes 给积极集体定理的一个严密证明。我们也在 spacelike hypersurface 上削弱旋转结构到 spinc 结构并且在尺寸与黑洞为 spacetimes 给一条修改积极集体定理 4， 5 和 6。