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【摘要】培养和提高学生的数学应用意识是中学数学教学的重要任务，中学数学教学要始终注重学生应用意识的培养。本文对高中阶段的不等式与函数常见题型进行简单归纳。
【关键词】高考数学；函数模型；不等式模型
教育家卢梭认为：教学应让学生从生活中，从各种活动中进行学习，通过与生活实际相联系，获得直接经验，主动地进行学习。《高中数学课程标准》很重要的一个理念就是数学来源于生活又运用于生活，数学与学生的生活经验存在密切的联系。把数学教学生活化，把学生的生活经验课堂化，把抽象的数学还原为有趣、生动、易于理解的事情，学习数学是为了更好地解决生活中存在的问题，更好地服务生活。高考对应用题的考查已逐步成熟，每年的高考题中大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及情境的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求。
一、解应用题的一般思路
二、解应用题的一般程序
1.读：阅读理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一步是基础。
2.建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型 熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一步。
3.解：求解数学模型，得到数学结论 充分注意数学模型中元素的实际意义，注意巧思妙作，优化过程。
4.答：将数学结论还原成实际问题的结果。
三、历年高考中常见的不等式与函数模型探析
问题1： （均值不等式模型）为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）？
解法一： 设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y，则由条件y=（k>0
为比例系数）其中a、b满足2a 4b 2ab=60 ……①
要求y的最小值，只须求ab的最大值。
由①（a 2）（b 1）=32（a>0，b>0）且ab=30–（a 2b）。
应用重要不等a 2b=（a 2） （2b 2）–4
≥ 。
∴ab≤18，当且仅当a=2b时等号成立
将a=2b代入①得a=6，b=3。
故当且仅当a=6，b=3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
从而当且仅当a=6，b=3时，y= 取最小值。
注：根据题意列出式子就是求ab乘积的最值，可以把式子变成一个未知数用函数求最值，也可以通过配凑利用均值不等式求最值，要特别注意等号成立的条件。
问题2： （一元二次不等式模型） 在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h，问此人能否追上小船。若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？
解：不妨画一个图形，将文字语言翻译为图形语言，进而想法建立数学模型。设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。设船速为v，人追上船所用时间为t，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间为，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形。
要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有 且
解得 。
故当船速在内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为km/h，由此可见当船速为2.5km/h时， 人可以追上小船。
注：利用正余弦定理得到方程，利用二次函数求出结果。
问题3：（线性规划）央视为改版后的《非常6 1》栏目播放两套宣传片。其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣傳片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万。广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间。电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？
分析：将已知数据列成下表
解：设电视台每周应播映片甲x次，片乙y次，总收视观众为z万人。
图解法可得：当x=3， y=2时，zmax=220。
答：电视台每周应播映甲种片集3次，乙种片集2次才能使得收视观众最多。
注：通过题意列出关于x，y的二元一次方程组，利用数型结合求出最值。注意x，y都应该是整数。
问题4： （函数模型）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处。AB=20km，BC=10km。为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO。记铺设管道的总长度为ykm。
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设 （rad），将表示成的函数；
（ii）设（km），将表示成的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。
解：过O作OQ垂直与AB，垂足为Q。
参考文献：
[1]张奠宙，戴再平.中学数学问题集，上海华东师范大学出版社，1993
[2]薛治刚.高中数学应用题[M]吉林科学技术出版社，1998.11
[3]叶其孝.中学数学建模[M]湖南教育出版社，1997.11
[4]李秋凤，导数在函数问题中的应用[J].中国科技信息， 2006（03）
[5]数列综合问题中学数学教学参考：上半月高中论文， 2007.1
【关键词】高考数学；函数模型；不等式模型
教育家卢梭认为：教学应让学生从生活中，从各种活动中进行学习，通过与生活实际相联系，获得直接经验，主动地进行学习。《高中数学课程标准》很重要的一个理念就是数学来源于生活又运用于生活，数学与学生的生活经验存在密切的联系。把数学教学生活化，把学生的生活经验课堂化，把抽象的数学还原为有趣、生动、易于理解的事情，学习数学是为了更好地解决生活中存在的问题，更好地服务生活。高考对应用题的考查已逐步成熟，每年的高考题中大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及情境的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求。
一、解应用题的一般思路
二、解应用题的一般程序
1.读：阅读理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一步是基础。
2.建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型 熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一步。
3.解：求解数学模型，得到数学结论 充分注意数学模型中元素的实际意义，注意巧思妙作，优化过程。
4.答：将数学结论还原成实际问题的结果。
三、历年高考中常见的不等式与函数模型探析
问题1： （均值不等式模型）为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）？
解法一： 设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y，则由条件y=（k>0
为比例系数）其中a、b满足2a 4b 2ab=60 ……①
要求y的最小值，只须求ab的最大值。
由①（a 2）（b 1）=32（a>0，b>0）且ab=30–（a 2b）。
应用重要不等a 2b=（a 2） （2b 2）–4
≥ 。
∴ab≤18，当且仅当a=2b时等号成立
将a=2b代入①得a=6，b=3。
故当且仅当a=6，b=3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
从而当且仅当a=6，b=3时，y= 取最小值。
注：根据题意列出式子就是求ab乘积的最值，可以把式子变成一个未知数用函数求最值，也可以通过配凑利用均值不等式求最值，要特别注意等号成立的条件。
问题2： （一元二次不等式模型） 在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h，问此人能否追上小船。若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？
解：不妨画一个图形，将文字语言翻译为图形语言，进而想法建立数学模型。设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。设船速为v，人追上船所用时间为t，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间为，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形。
要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有 且
解得 。
故当船速在内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为km/h，由此可见当船速为2.5km/h时， 人可以追上小船。
注：利用正余弦定理得到方程，利用二次函数求出结果。
问题3：（线性规划）央视为改版后的《非常6 1》栏目播放两套宣传片。其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣傳片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万。广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间。电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？
分析：将已知数据列成下表
解：设电视台每周应播映片甲x次，片乙y次，总收视观众为z万人。
图解法可得：当x=3， y=2时，zmax=220。
答：电视台每周应播映甲种片集3次，乙种片集2次才能使得收视观众最多。
注：通过题意列出关于x，y的二元一次方程组，利用数型结合求出最值。注意x，y都应该是整数。
问题4： （函数模型）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处。AB=20km，BC=10km。为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO。记铺设管道的总长度为ykm。
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设 （rad），将表示成的函数；
（ii）设（km），将表示成的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。
解：过O作OQ垂直与AB，垂足为Q。
参考文献：
[1]张奠宙，戴再平.中学数学问题集，上海华东师范大学出版社，1993
[2]薛治刚.高中数学应用题[M]吉林科学技术出版社，1998.11
[3]叶其孝.中学数学建模[M]湖南教育出版社，1997.11
[4]李秋凤，导数在函数问题中的应用[J].中国科技信息， 2006（03）
[5]数列综合问题中学数学教学参考：上半月高中论文， 2007.1