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在进行“函数及其图象”的教学时，我经常与学生进行交流沟通，每次问及函数这部分内容是否难学、课堂上能否听懂时，学生的回答基本上都是：课堂上能听懂，也未感到课本上的函数内容有多难，但在做习题时却发现还有很多的习题做不出来。反思这么多年来对函数一章的教学，确实存在着像学生所说的情况：“课本容易，习题难”。那么，学生感到函数部分的习题难以解答，到底难在何处呢？我认为本章习题的显著特征是：需要对知识内容进行灵活运用，综合性强，对思维能力的要求高。在进行本章教学时，对课堂例题基本上都是让学生先尝试着去解决（包括学生所问的题），对学生的解答过程进行仔细的观察，同时，对学生在做课外作业中所出现的错误进行归纳和整理，发现学生在学习本章时存在着以下困难：
1.同一数学对象用不同的形式（文字、符号、图形）进行表达没有形成内在、有机的统一。
同一数学对象用不同的形式进行表达，学生是刚刚接触，在学习中不习惯，也不够熟练。例如，对直角坐标系中的点与其坐标，对函数图象与其解析式，学生的认识还处于分离状态，尚未形成一个有机的统一体，没有认识到它们是同一对象的不同的表现形式。
2.文字语言、几何语言与代数语言之间进行相互转换，是贯穿本章学习始终的一个难点大部分学生都能自如地运用代数语言，但对刚刚学习的几何语言还有点不习惯，当然用起来就不太顺手，也就不能灵活、有效地运用，这应是在情理之中的事情。函数图象与解析式的相互转换，要求学生能灵活自如地运用，但学生往往是用了代数方法或几何方法后，就陷入其中难以自拔，不能从一种形式迅速地转换到另一种形式。对于这种既要进行图形分析，又要進行代数问题的分析，学生在思维方式及习惯等方面确实存在着转换困难。
例1、若直线y=3x-l与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是（）。
（A）k<31 （B）31 （C）k>l （D）k>l或k<31
在解答此题时，学生感到挺难：一会儿是直线，一会儿是解析式；又是点，又是点的坐标，又是点在第四象限，弄不清这些内容之间的关系。此题之难，难在直线的交点是几何问题，但必须要用y=3x-l与y=x-k所构成的方程组的解来表示，表示好后又要根据第四象限的点的坐标特征，横坐标大于零，纵坐标小于零，构成不等式组去解k的取值范围。要解决好这类问题，涉及到要将文字语言中所描述的直线与其解析式对应，图形语言与代数语言之间的反复转换以及
方程组的解形成的有序实数对与坐标系中的点之间的对应。
3.在图象中读取数据信息是学生学习本章时的又一个难点在教学中，学生在解答下列三道习题时：思考时间的长短方面存在着显著差异。
例2、反比例函数y=xm与一次函数y=kx+b的图象都经过点（-2，-l），且在x=3时，两函数值相等，求这两个函数的解析式。
4.数形结合、数学解题方法掌握不够全面和使用不够灵活，是学习本章的一大障碍在解答有关需要将数与形结合起来考虑的习题时，学生往往想不到要作出图形，缺乏画图、用图的意识，即使是想到了图形也不能熟练运用，甚至错用，还处于对代数式进行运算的阶段。同时，学生缺乏画图技能与技巧，使本来一个简单的图形变得麻烦了。需要教师能耐住性子，一有机会就反复地讲解有关数形结合的内容，并给学生适当的指导，使其养成画图象的习惯。同时，应启发学生适当地运用特殊值法等数学解题方法，这样可以将本章中很多含有参数的抽象表达式转化为用常数表示的具体的函数解析式，对降低习题的难度及提高判断的准确性，有着极为重要的作用。
5.试题中的语句描述过长或过于精练，都会造成学生难以理解。
例3、已知一次函数y=kx+b过点（-2，5），且它的图象与y轴的交点和直线y=-2x+3与y轴的交点关于x轴对称，那么这个一次函数的解析式是。
学生解答此题的主要困难在于此题中的“且它的图象与y轴的交点和直线y=-2x+3与y轴的交点关于x轴对称”语句过长，学生因不能将此句分成几个部分而难以抓住其中的关键，弄不清这里的哪个条件先用，哪个条件后用，而觉得难以解答。对于此类问题，教师要指导学生学会分析，抓住关键，形成突破口，以使问题得到解决。
6.对应用题的感觉特别难应用题本来就是数学教学中的难点之一，函数部分的应用题较多，是教学的一大难点。（1）文字多。文字多是应用题的一个显著特征，很多学生看到文字多的应用题，都心存畏惧，进而也就懒得思考，当然不会有好的表现。在解答应用题时，教师应多鼓励学生、帮助学生、指导学生找重点，避开与解题条件无关的文字，直击主题。（2）方程思想意识较为薄弱。学生对题目中的关系句的发现及将关系句用数学符号表示出来的能力较为薄弱，从而难以将文字语言、几何语言转化成方程式，再进一步建立函数关系式。为此，教师应多通过例题帮助学生学会分析，学会寻找问题中的关系句，并用方程的形式进行表达。（3）对数学符号与实际问题的意义之间的转换能力差。（4）分析函数的图象，通过图象收集数据信息能力差。
总之，学生在本章的学习中，还存在着以下两方面的困难：一是一部分教辅资料，随意拔高习题的难度，学生难以鉴别，做不出来，因此留下了函数很难的印象。教师在本章教学中有必要根据学生的学习情况，推荐参考资料，指导学生的学习，在可能的情况下，将学习任务明确、具体，并及时跟踪评价和再指导。二是教师在教学中的“从严”要求，加大难度；还有，教师对学生的学习状况判断不够准确，认为不难的习题，对学生来说未必就是容易题。因此，每位教师都要精心设计教学，循序渐进，及时了解学生的学习状况，并做出恰当的评价，了解学生的“最近发展区”，做到心中有数，真正落实“备学生”，搭好“脚手架”，帮助学生理解，以提高教学的效果。
1.同一数学对象用不同的形式（文字、符号、图形）进行表达没有形成内在、有机的统一。
同一数学对象用不同的形式进行表达，学生是刚刚接触，在学习中不习惯，也不够熟练。例如，对直角坐标系中的点与其坐标，对函数图象与其解析式，学生的认识还处于分离状态，尚未形成一个有机的统一体，没有认识到它们是同一对象的不同的表现形式。
2.文字语言、几何语言与代数语言之间进行相互转换，是贯穿本章学习始终的一个难点大部分学生都能自如地运用代数语言，但对刚刚学习的几何语言还有点不习惯，当然用起来就不太顺手，也就不能灵活、有效地运用，这应是在情理之中的事情。函数图象与解析式的相互转换，要求学生能灵活自如地运用，但学生往往是用了代数方法或几何方法后，就陷入其中难以自拔，不能从一种形式迅速地转换到另一种形式。对于这种既要进行图形分析，又要進行代数问题的分析，学生在思维方式及习惯等方面确实存在着转换困难。
例1、若直线y=3x-l与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是（）。
（A）k<31 （B）31
在解答此题时，学生感到挺难：一会儿是直线，一会儿是解析式；又是点，又是点的坐标，又是点在第四象限，弄不清这些内容之间的关系。此题之难，难在直线的交点是几何问题，但必须要用y=3x-l与y=x-k所构成的方程组的解来表示，表示好后又要根据第四象限的点的坐标特征，横坐标大于零，纵坐标小于零，构成不等式组去解k的取值范围。要解决好这类问题，涉及到要将文字语言中所描述的直线与其解析式对应，图形语言与代数语言之间的反复转换以及
方程组的解形成的有序实数对与坐标系中的点之间的对应。
3.在图象中读取数据信息是学生学习本章时的又一个难点在教学中，学生在解答下列三道习题时：思考时间的长短方面存在着显著差异。
例2、反比例函数y=xm与一次函数y=kx+b的图象都经过点（-2，-l），且在x=3时，两函数值相等，求这两个函数的解析式。
4.数形结合、数学解题方法掌握不够全面和使用不够灵活，是学习本章的一大障碍在解答有关需要将数与形结合起来考虑的习题时，学生往往想不到要作出图形，缺乏画图、用图的意识，即使是想到了图形也不能熟练运用，甚至错用，还处于对代数式进行运算的阶段。同时，学生缺乏画图技能与技巧，使本来一个简单的图形变得麻烦了。需要教师能耐住性子，一有机会就反复地讲解有关数形结合的内容，并给学生适当的指导，使其养成画图象的习惯。同时，应启发学生适当地运用特殊值法等数学解题方法，这样可以将本章中很多含有参数的抽象表达式转化为用常数表示的具体的函数解析式，对降低习题的难度及提高判断的准确性，有着极为重要的作用。
5.试题中的语句描述过长或过于精练，都会造成学生难以理解。
例3、已知一次函数y=kx+b过点（-2，5），且它的图象与y轴的交点和直线y=-2x+3与y轴的交点关于x轴对称，那么这个一次函数的解析式是。
学生解答此题的主要困难在于此题中的“且它的图象与y轴的交点和直线y=-2x+3与y轴的交点关于x轴对称”语句过长，学生因不能将此句分成几个部分而难以抓住其中的关键，弄不清这里的哪个条件先用，哪个条件后用，而觉得难以解答。对于此类问题，教师要指导学生学会分析，抓住关键，形成突破口，以使问题得到解决。
6.对应用题的感觉特别难应用题本来就是数学教学中的难点之一，函数部分的应用题较多，是教学的一大难点。（1）文字多。文字多是应用题的一个显著特征，很多学生看到文字多的应用题，都心存畏惧，进而也就懒得思考，当然不会有好的表现。在解答应用题时，教师应多鼓励学生、帮助学生、指导学生找重点，避开与解题条件无关的文字，直击主题。（2）方程思想意识较为薄弱。学生对题目中的关系句的发现及将关系句用数学符号表示出来的能力较为薄弱，从而难以将文字语言、几何语言转化成方程式，再进一步建立函数关系式。为此，教师应多通过例题帮助学生学会分析，学会寻找问题中的关系句，并用方程的形式进行表达。（3）对数学符号与实际问题的意义之间的转换能力差。（4）分析函数的图象，通过图象收集数据信息能力差。
总之，学生在本章的学习中，还存在着以下两方面的困难：一是一部分教辅资料，随意拔高习题的难度，学生难以鉴别，做不出来，因此留下了函数很难的印象。教师在本章教学中有必要根据学生的学习情况，推荐参考资料，指导学生的学习，在可能的情况下，将学习任务明确、具体，并及时跟踪评价和再指导。二是教师在教学中的“从严”要求，加大难度；还有，教师对学生的学习状况判断不够准确，认为不难的习题，对学生来说未必就是容易题。因此，每位教师都要精心设计教学，循序渐进，及时了解学生的学习状况，并做出恰当的评价，了解学生的“最近发展区”，做到心中有数，真正落实“备学生”，搭好“脚手架”，帮助学生理解，以提高教学的效果。