导数作为一种工具,在解决函数的单调性、极值、最值以及曲线的切线等方面有广泛的应用。为了提高解导数应用题的正确率,根据多年的教学经验,对导数的应用中常见的错误作以剖析,希望在对学生导数部分的复习时有所借鉴。
　　一、定义理解不准确
　　 例1:已知函数■,则
　　■
　　误解:■原式=■-1
　　剖析:在导数的定义中,不论■选择那种形式,相应■中也必须选择对应的形式,即上述用导数定义求解的过程中,■中的增量为3■,则分母也应为3■。
　　二、导数的几何意义应用有误
　　例2:求曲线■,过点A(0,-32)作曲线■的切线,求曲线的切线方程。
　　误解: ■
　　曲线的切线的斜率为:■
　　曲线的切线的方程为:■
　　剖析:本题错在对导数的几何意义理解有误,切线的斜率应是在切点处的导数,而点A(0,-32)不在曲线上。故本题应先设切点,在求斜率而后才能写出切线方程。
　　三、将极值与最值混为一谈
　　例3:求函数■在-3,3上的最大值与最小值
　　误解:■
　　令■得:■或■。
　　经验证:■1均为极值点,即■为极大值。■为极小值,
　　∴■, ■。
　　剖析:本题把极值当成最值从而产生误解。极值只是在■附近的最值,而非在某个区间上的最值。要求■在某个区间上的最值,还应将极值与区间端点的函数值比较,最大的为最大值,最小的为最小值。
　　四、求单调区间而忽视定义域
　　例4:求函数■的单调区间。
　　误解:■‘令■’解得:■。
　　令■,解得:■。
　　∴函数■的单调增区间为■,
　　单调减区间为■。
　　剖析:在解与函数有关的问题时,应先求其定义域,然后在其定义域内研究有关问题。而本题的错误恰在忽视了定义域。显然当■>■时,2-3■<0函数无意义。
　　五、“驻点”等同于“极值点”
　　 对于满足■的点■称为驻点,■只是点■为极值点的必要而非充分条件,具体的讲,■要为极值点不仅■而且在■两侧导数值还应异号。
　　 例5:函数■的极值点为 ( )
　　A. ■=1 B.■=-1
　　C. ■=1或■=0或■=-1D.■=0
　　误解■
　　由■+6■得极值点为:■=0和■=±1。
　　剖析:这三点都是导数为零的点,但不全是极值点。
　　正解:■知
　　当■时,■,当■时,■;
　　当■(0,1)时,■>0,当■(1,+∞)时,■<0。
　　故,■在■上单调递减,在■上单调递增。
　　∴■=0为极小值点,故应选D。
　　(作者单位 陕西省清涧中学) 责任编辑杨博