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【摘要】数是学生数学学习中最基本的概念，而建立数学模型是解决问题的重要方法之一。在数的概念教学中，可以借助丰富多样的数学模型，让学生经历计数单位和位值制的建模过程，积累丰富的活动经验，从而更加深入理解数的意义，加深对数的概念本质的认识。本文以人教版二年级下册《千以内数的认识》教学为例，谈谈如何借助数学模型建构数的概念。
【关键词】小学数学;数学模型;数的概念;千以内的数
数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构。如学习《加法》时要建立加法模型，学习《分数的认识》要建立分数模型，等等。在数的概念教学中，要使学生经历数概念形成和扩张的过程，感悟数知识的框架性结构的存在。“十进制”“位值制”是《千以内数的认识》的核心概念，《千以内数的认识》的教学重点是理解数字在各个数位上所表示的具体意义，教学难点是理解相同数字在不同数位上的意义。因此，要抓住十进制、位值制这两大核心概念，建构时遵循从“计数单位模型”到“计数器模型”，再到“位值制模型”的顺序，带领学生深入理解数概念的本质，进一步理解数的意义。
一、借助直观模型，在数数中识概念
【片段1：数生活中千以内的数】
师：我们已经认识了哪些计数单位？
生：一、十、百、千
师：它们之间有什么关系？
生：十个一是一个十，十个十是一个百，十个百是一个千。
师：你们回家提前数了生活中1000以内的数，并能让别人一眼就看出你数的是多少。看，你们数的东西丰富多彩！有积木、豆子、花生…（展示图片）
师：这些花生是谁数的？上来带大家数一数。
生：我是一个一个数、十个十个数和一百个一百个数的。一个百两个百三个百...共有654颗。
师：这些字卡、积木又是谁数的？上来带大家数一数...
师：刚刚都是怎么数的？
生：一百个一百个、十个十个地数
师：这样数有什么好处？
生：很方便，很快就数完了。
生：清楚地知道有多少个一、多少个十、多少个百，就知道这个数是多少。
师：计数单位能让我们更简便计数，清楚知道数的组成。
《教师用书》明确指出：数来源于数（sh?），学生认数离不开数数的过程。数数活动是学生形成數概念的基础。在初识计数单位后让学生回家灵活利用计数单位数数，自主探究优化数数方法并在课上分享。通过一十一十、一百一百地数实物，让学生丰富对“数”的认识，在积累丰富活动经验的同时感受计数单位带来的便捷性，建立量与数的对应关系。更重要的是，在数数中感受计数单位是数组成的根，从而更深入地建构计数单位模型，感受十进制的价值。同时数生活中的物品，借助直观的模型，利用现实素材抽象出数，感受数学来源于生活。
二、善用多种模型，在多元表征中解概念
【片段2：自选学具，多种方式表示332】
（利用前面数出的332颗豆子，组织全班自选学具表示332。教师提供的材料包括小正方体、计数器、可用于画、写的白纸。完成后全班交流汇报。）
生：我选择小正方体，我摆3板小正方体表示3个百的，3条小正方体表示3个十，还有2个表示2个一。
生：我是这样画出来
生：我用算式
100+100+100+10+10+10+1+1=332。
生：我用计数器，在百位上摆3个珠子表示3个百，在十位上摆3个珠子表示3个十，在个位上摆2个珠子，表示2个一，合起来是332。
师：为什么偏偏百位要拨3个珠子，不能在千位拨？
生：它不表示3个千，而是3个百。
师：刚刚你们采用不同的方式，可为什么都能表示出332？
生：因为它们都表示3个百、3个十和2个一。
师：你最喜欢哪一种方式？
生：我喜欢计数器，能简洁地表示出每个数位上的数。
生：我也觉得计数器方便，能清楚告诉我们有几个百几个十和几个一。
师：其实计数器能表示很多很多的数，因为有了数位，相同数量的珠子在不同的数位上就能表示许许多多不同的含义。
学生形成自然数的概念，不是单纯读读写写就能实现的，必须通过实际操作，以直观的“形”为载体，在动手操作和多种模型中感悟对比。教学中为学生提供、直观、操作性强的学具（小正方体、计数器），同时提供白纸，为学生提供更大的思维空间。正方体、计数器和算式等多种表征模型的创造与呈现，再根据教师的引导，学生在头脑中自然而然地抽象出“数”与“数位”，进而理解相同数字在不同数位上所表示的不同意义，突破教学难点，建构十进位值制的概念模型。
三、以问促探，在辨析中悟概念
【片段3：问题驱动 梯度练习】
师：在计数器上表示出202和650，再在纸上写一写和读一读，然后小组内说说它们的组成。
师：650的0没读出来，不写可以吗？
生：没读就变成65了，5是5个十，不是5个一
师：为什么202中间的零要读出来？
生：不读的话就不知道个位的2表示的是20还是2。
生：读出来才知道个位2表示的是2个一。
师：这里两个2表示的意义相同吗？
生：不同，百位上的2表示的是2个百，个位上的2表示的是2个一。
师：中间这一节车厢上的号码是800，由8个百组成，你能有规律地给其它车厢编号吗？
生：600、700、800、900、1000
生：8、80、800、8000、80000…
师：数字8在不同的数位上可以创造出不同的车厢编号！这些数也都能在一条数线上找到。
以摆、说、写多种形式帮助学生沟通数的组成和读数写数之间的联系，全面建构数的概念。良好的问题能有效促进主动思考。这里通过巧妙设问，学生在“202中的两个2意义是否相同”和“202中的0能否不读”两次对比辨析中，深入理解数的意义，进一步建构位值制模型。同时，利用计数单位深入沟通读数、写数与数的组成的关系，能帮助学生利用数之间的结构支撑进行有效迁移。设置车厢编号的开放题，进一步巩固相同数字在不同数位上有不同意义，也培养学生发散思维，结合数轴进行数系的扩充，完善学生关于数的整体认知体系。
本节课借助多种模型，引导学生在数数、多元表征和对比辨析中经历从“计数单位模型”到“位值制模型”的建构过程，有效实现教学目标。在数的概念教学中，教师不仅要让学生认识各种数，还要让学生把握数概念认识的基本结构，在头脑中进行数学建模，进而更深刻地认识数。
【参考文献】
[1]吴亚萍.新基础教育数学教学改革指导纲要[M].桂林：广西师范大学出版社，2009.
[2]江雪萍.激活·沟通·开放——以《千以内数的认识》教学为例[J].都市家教（下半月），2017（9）：283.
【关键词】小学数学;数学模型;数的概念;千以内的数
数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构。如学习《加法》时要建立加法模型，学习《分数的认识》要建立分数模型，等等。在数的概念教学中，要使学生经历数概念形成和扩张的过程，感悟数知识的框架性结构的存在。“十进制”“位值制”是《千以内数的认识》的核心概念，《千以内数的认识》的教学重点是理解数字在各个数位上所表示的具体意义，教学难点是理解相同数字在不同数位上的意义。因此，要抓住十进制、位值制这两大核心概念，建构时遵循从“计数单位模型”到“计数器模型”，再到“位值制模型”的顺序，带领学生深入理解数概念的本质，进一步理解数的意义。
一、借助直观模型，在数数中识概念
【片段1：数生活中千以内的数】
师：我们已经认识了哪些计数单位？
生：一、十、百、千
师：它们之间有什么关系？
生：十个一是一个十，十个十是一个百，十个百是一个千。
师：你们回家提前数了生活中1000以内的数，并能让别人一眼就看出你数的是多少。看，你们数的东西丰富多彩！有积木、豆子、花生…（展示图片）
师：这些花生是谁数的？上来带大家数一数。
生：我是一个一个数、十个十个数和一百个一百个数的。一个百两个百三个百...共有654颗。
师：这些字卡、积木又是谁数的？上来带大家数一数...
师：刚刚都是怎么数的？
生：一百个一百个、十个十个地数
师：这样数有什么好处？
生：很方便，很快就数完了。
生：清楚地知道有多少个一、多少个十、多少个百，就知道这个数是多少。
师：计数单位能让我们更简便计数，清楚知道数的组成。
《教师用书》明确指出：数来源于数（sh?），学生认数离不开数数的过程。数数活动是学生形成數概念的基础。在初识计数单位后让学生回家灵活利用计数单位数数，自主探究优化数数方法并在课上分享。通过一十一十、一百一百地数实物，让学生丰富对“数”的认识，在积累丰富活动经验的同时感受计数单位带来的便捷性，建立量与数的对应关系。更重要的是，在数数中感受计数单位是数组成的根，从而更深入地建构计数单位模型，感受十进制的价值。同时数生活中的物品，借助直观的模型，利用现实素材抽象出数，感受数学来源于生活。
二、善用多种模型，在多元表征中解概念
【片段2：自选学具，多种方式表示332】
（利用前面数出的332颗豆子，组织全班自选学具表示332。教师提供的材料包括小正方体、计数器、可用于画、写的白纸。完成后全班交流汇报。）
生：我选择小正方体，我摆3板小正方体表示3个百的，3条小正方体表示3个十，还有2个表示2个一。
生：我是这样画出来
生：我用算式
100+100+100+10+10+10+1+1=332。
生：我用计数器，在百位上摆3个珠子表示3个百，在十位上摆3个珠子表示3个十，在个位上摆2个珠子，表示2个一，合起来是332。
师：为什么偏偏百位要拨3个珠子，不能在千位拨？
生：它不表示3个千，而是3个百。
师：刚刚你们采用不同的方式，可为什么都能表示出332？
生：因为它们都表示3个百、3个十和2个一。
师：你最喜欢哪一种方式？
生：我喜欢计数器，能简洁地表示出每个数位上的数。
生：我也觉得计数器方便，能清楚告诉我们有几个百几个十和几个一。
师：其实计数器能表示很多很多的数，因为有了数位，相同数量的珠子在不同的数位上就能表示许许多多不同的含义。
学生形成自然数的概念，不是单纯读读写写就能实现的，必须通过实际操作，以直观的“形”为载体，在动手操作和多种模型中感悟对比。教学中为学生提供、直观、操作性强的学具（小正方体、计数器），同时提供白纸，为学生提供更大的思维空间。正方体、计数器和算式等多种表征模型的创造与呈现，再根据教师的引导，学生在头脑中自然而然地抽象出“数”与“数位”，进而理解相同数字在不同数位上所表示的不同意义，突破教学难点，建构十进位值制的概念模型。
三、以问促探，在辨析中悟概念
【片段3：问题驱动 梯度练习】
师：在计数器上表示出202和650，再在纸上写一写和读一读，然后小组内说说它们的组成。
师：650的0没读出来，不写可以吗？
生：没读就变成65了，5是5个十，不是5个一
师：为什么202中间的零要读出来？
生：不读的话就不知道个位的2表示的是20还是2。
生：读出来才知道个位2表示的是2个一。
师：这里两个2表示的意义相同吗？
生：不同，百位上的2表示的是2个百，个位上的2表示的是2个一。
师：中间这一节车厢上的号码是800，由8个百组成，你能有规律地给其它车厢编号吗？
生：600、700、800、900、1000
生：8、80、800、8000、80000…
师：数字8在不同的数位上可以创造出不同的车厢编号！这些数也都能在一条数线上找到。
以摆、说、写多种形式帮助学生沟通数的组成和读数写数之间的联系，全面建构数的概念。良好的问题能有效促进主动思考。这里通过巧妙设问，学生在“202中的两个2意义是否相同”和“202中的0能否不读”两次对比辨析中，深入理解数的意义，进一步建构位值制模型。同时，利用计数单位深入沟通读数、写数与数的组成的关系，能帮助学生利用数之间的结构支撑进行有效迁移。设置车厢编号的开放题，进一步巩固相同数字在不同数位上有不同意义，也培养学生发散思维，结合数轴进行数系的扩充，完善学生关于数的整体认知体系。
本节课借助多种模型，引导学生在数数、多元表征和对比辨析中经历从“计数单位模型”到“位值制模型”的建构过程，有效实现教学目标。在数的概念教学中，教师不仅要让学生认识各种数，还要让学生把握数概念认识的基本结构，在头脑中进行数学建模，进而更深刻地认识数。
【参考文献】
[1]吴亚萍.新基础教育数学教学改革指导纲要[M].桂林：广西师范大学出版社，2009.
[2]江雪萍.激活·沟通·开放——以《千以内数的认识》教学为例[J].都市家教（下半月），2017（9）：283.