问题：如图1，电影屏幕的上下边缘A、B到地面的距离AD=a、BD=b（a>b），屏幕的正前方地面上一点P，求视角∠APB的最大值，以及当∠APB最大时，P、D两点的距离.
　　解：设∠APB=β，∠BPD=α，PD=x，则因为β为锐角，所以当tanβ最大时，∠APB最大.由tan（α+β）=
　　ax，tanα=bx得
　　图2
　　例1 椭圆x2a2
　　+y2b2=1
　　的左准线为l，左焦点为F，点P是
　　l上的动点，当∠FPO最大时，P点的坐标为.
　　解：如图2，设l交x轴于点A，则当∠FPO最大时，由上述问题的结论知：
　　变式1：双曲线C：
　　x2a2
　　-y2b2=1
　　的离心率为e，A、F分别为双曲线的右顶点、右焦点，P为右准线上的动点，当∠APF最大时，tan∠APF=.
　　解：设双曲线的右准线交x轴于点D，则|DA|=
　　a-a2c，
　　变式2：O、F分别为抛物线
　　y2=2px（p>0）的顶点和焦点，P为准线上的动点，当∠OPF最大时，
　　变式3：椭圆C：
　　x2a2+y2b2=1的离心率为e，B、F分别为椭圆的左顶点、左焦点，P为左准线上的动点，当∠BPF最大时，
　　tan∠BPF=.
　　解：如图3，设左准线与x轴的交点为A，则|AB|=
　　a2c-a，|AF|=
　　a2c-c，
　　当∠BPF最大时，由上述问题的结论知：
　　变式1、2、3是否有一种统一的表达形式呢？
　　如图4，是圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的一部分，其离心率为e，F为一焦点，A为相应的顶点，P为相应的准线上一动点，当∠APF最大时，tan∠APF=.
　　图4
　　探究：设准线与直线AF的交点为D，为方便起见不妨设|DA|为单位1，由圆锥曲线的第二定义
　　变式4：圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的离心率为e，F为一焦点，A为相应的顶点，P为相应准线上的一动点，当∠APF最大时，tan∠APF=
　　e21+e
　　.
　　例2 一圆锥曲线C（椭圆、双曲线、抛物线）的一焦点为F，A为相应的顶点，P为相应准线上的一动点，已知tan∠APF的取值范围是（0，m]，试判断该圆锥曲线C是何种类型.
　　解：设C的离心率为e，由题设及变式4知：m=
　　e21+e，当e=1时，m=
　　122，又m=
　　e21+e=
　　12（1+e
　　-11+e）
　　在（0，+∞）上是增函数，所以
　　①当m>24时，e>1，曲线C是双曲线.
　　②当m=24时，e=1，曲线C是抛物线.
　　③当0　　0　　变式5：设P为双曲线C：
　　x2a2-y2b2=1的渐近线在第一象限内的部分上一动点，F为C的右焦点，A为右准线与x轴的交点，双曲线C的离心率为e，当∠APF最大时，tan∠APF=.
　　解：可证得∠APF为锐角，双曲线C的渐近线在第一象限内的方程为
　　图5
　　变式6：如图5，已知∠MON，A、B是ON上两定点，P是OM上的动点，OA=a，OB=b，当∠APB最大时，OP=.
　　解：如图5，过A、B两点作圆与OM相切于P点，
　　设E是OM上不同于P的一点，则E在圆外，连结BE，AE，设AE交圆于点F，则∠APB =∠AFB >∠AEB ，所以∠APB最大 ，此时，由
　　OP2=OA·OB=abOP=ab.
　　反思：能否用变式5的方法，建立坐标系解答变式6？能否用变式6的方法，速解变式5？本文的问题与变式6有何关系？
　　例3 设P为双曲线C：
　　x2a2
　　-y2b2
　　=1
　　的渐近线在第一象限内的部分上一动点，F为C的右焦点，A为右准线与x轴的交点，双曲线C的离心率为2，则∠APF最大值=.
　　解：由变式5可知，当∠APF最大时，tan∠APF=
　　22-1=3，所以∠APF最大值是60度.
　　探究性学习包含了极其丰富的内涵，充分调动学生的学习积极性，挖掘例习题的教育功能，引导学生提炼知识精华，激发探究热情，提升探究能力、感受探究价值，优化探究品质，定会收到理想的效果.