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近年来的中考中，出现了一类判断是否存在一点或一条线段使某一结论成立的问题．解答它们，要注意根据题设条件，从相似入手，先找到有关线段之间的关系．现以近几年的中考题为例介绍如下：
例1 （湖南省长沙市）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连结AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B.
（1） 求证：△ABP∽△PCE；
（2） 求等腰梯形的腰AB的长；
（3） 在底边BC上是否存在一点P，使得DE∶CE＝5∶3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．
分析 （1） 在△ABP和△PCE中，∠B＝∠C. 要证明这两个三角形相似，只要再证明有一组角对应相等就可．（2） 作出等腰梯形的两条高AF及DQ．由于∠B＝60°，要求AB的长，应先确定BF的长．
（3） 假设存在符合要求的点P，则必存在实数x＝BP，使得DE∶CE＝5∶3．接下去，应构造一个关于x的方程，若这个方程有实数解，且这个解的值大于0小于7，就存在；否则，就不存在．
解：（1） 在等腰梯形ABCD中，由AD∥BC，得∠C＝∠B＝60°．
所以∠CPE＋∠PEC＝120°．
因为∠APE＝∠B＝60°，
所以∠CPE＋∠APB＝120°．
所以∠APB＝∠PEC.
所以△ABP∽△PCE．
（2） 作AF⊥BC于点F，作DQ⊥BC于点Q，那么BF＝CQ＝（BC－AD）＝2．
因为∠AFB＝90°，∠B＝60°，
所以∠BAF＝30°，AB＝2BF＝4．
（3）假设存在符合要求的点P，则存在实数x＝BP，这时PC＝7－x．
因为△ABP∽△PCE，
所以=．
因为DE∶CE＝5∶3，DC＝AB＝4，
所以CE＝DC＝1.5．
所以=．
解之，x1= 1, x2= 6．
因为0＜x＜7，
所以存在符合要求的点P，且BP＝1，或6．
例2 （江苏省苏州市）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP＝x．
（1） 在△ABC中，AB＝ ；
（2） 当x＝ 时，矩形PMCN的周长是14；
（3） 是否存在线段AP，使得△APM的面積、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明．
分析 （1） 从勾股定理入手求AB的长；（2） 由于矩形PMCN的周长是14，得PM＋PN＝7．要求x的值，应考虑用含x的代数式分别表示PM和PN；（3） 要判断是否存在线段AP，只需判断是否存在实数x，使S△APM=S△ABC和S△PBN=S△ABC同时成立．
解：（1）在△ABC中，
因为∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
所以AB＝＝10．
（2）当AP＝x时，得PB＝10－x．
因为PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，
所以Rt△APM∽Rt△ABC，
Rt△PBN∽Rt△ABC.
所以 = ， = ．
所以PM=＝x，
PN=＝10－x．
因为PM＋PN＝7，
所以x＋（10-x）＝7．
解之，x＝5．
所以当x＝5时，矩形PMCN的周长是14．
（3） 假设存在符合要求的线段AP，则存在实数x，使S△APM =S△ABC和S△PBN =S△ABC同时成立．
因为Rt△APM∽Rt△ABC，
Rt△PBN∽Rt△ABC，
所以=2，=2．
所以=2，=2．
由=2，得x＝；由=2，得x＝10－．
因为两者x的值不一致，
所以不存在符合要求的线段AP．
例3 （辽宁省鞍山市）如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．
（1） 若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（2） 是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3） 是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．
分析 （1） 用含x的代数式表示△BEF的面积的关键在于用含x的代数式表示△BEF的边BE上的高；（2） 由于（1）中的x已使得EF平分等腰梯形ABCD的周长，要判断是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分，只需判断是否存在实数x使S△BEF =SABCD；（3） 分两种情况考虑：一是BE＋BF＝等腰梯形ABCD周长的＝8，且S△BEF =SABCD；另是BE＋BF＝等腰梯形ABCD周长的＝16，且S△BEF =SABCD．由于BE＋BF的最大值只能是15，所以后一种情况不可能．
解：（1） 过点F作FG⊥BC于点G，过点A作AH⊥BC于点H.
因为AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10，
所以BH＝（BC－AD）÷2＝3，AH＝=4.
因为EF平分等腰梯形ABCD的周长，BE＝x，
所以BF＝12－x.
因为Rt△BFG∽Rt△BAH，
所以=，FG==（12-x）.
从而S△BEF =BE·FG=x·（12-x）=－x2+x.
因为0≤BE≤10，0≤BF≤5,
所以7≤x≤10.
（2） 假设存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分，那么必存在实数x使S△BEF =S.
因为S=（AD+BC）·AH=28，
所以－x2+x=14.
解之，x1=5，x2=7.
因为7≤x≤10，
所以x＝7符合要求，即知存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE的长为7.
（3） 注意到0≤BE≤10，0≤BF≤5，那么0≤BE＋BF≤15．若存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分，则BE＋BF＝等腰梯形ABCD周长的＝8，且S△BEF=SABCD=．为方便起见，设此时的BE＝a．
因为Rt△BFG∽Rt△BAH，
所以FG = ＝（8-a），
所以a·（8-a）=．
因为该方程无实数解，
所以不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分．
例1 （湖南省长沙市）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连结AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B.
（1） 求证：△ABP∽△PCE；
（2） 求等腰梯形的腰AB的长；
（3） 在底边BC上是否存在一点P，使得DE∶CE＝5∶3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．
分析 （1） 在△ABP和△PCE中，∠B＝∠C. 要证明这两个三角形相似，只要再证明有一组角对应相等就可．（2） 作出等腰梯形的两条高AF及DQ．由于∠B＝60°，要求AB的长，应先确定BF的长．
（3） 假设存在符合要求的点P，则必存在实数x＝BP，使得DE∶CE＝5∶3．接下去，应构造一个关于x的方程，若这个方程有实数解，且这个解的值大于0小于7，就存在；否则，就不存在．
解：（1） 在等腰梯形ABCD中，由AD∥BC，得∠C＝∠B＝60°．
所以∠CPE＋∠PEC＝120°．
因为∠APE＝∠B＝60°，
所以∠CPE＋∠APB＝120°．
所以∠APB＝∠PEC.
所以△ABP∽△PCE．
（2） 作AF⊥BC于点F，作DQ⊥BC于点Q，那么BF＝CQ＝（BC－AD）＝2．
因为∠AFB＝90°，∠B＝60°，
所以∠BAF＝30°，AB＝2BF＝4．
（3）假设存在符合要求的点P，则存在实数x＝BP，这时PC＝7－x．
因为△ABP∽△PCE，
所以=．
因为DE∶CE＝5∶3，DC＝AB＝4，
所以CE＝DC＝1.5．
所以=．
解之，x1= 1, x2= 6．
因为0＜x＜7，
所以存在符合要求的点P，且BP＝1，或6．
例2 （江苏省苏州市）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP＝x．
（1） 在△ABC中，AB＝ ；
（2） 当x＝ 时，矩形PMCN的周长是14；
（3） 是否存在线段AP，使得△APM的面積、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明．
分析 （1） 从勾股定理入手求AB的长；（2） 由于矩形PMCN的周长是14，得PM＋PN＝7．要求x的值，应考虑用含x的代数式分别表示PM和PN；（3） 要判断是否存在线段AP，只需判断是否存在实数x，使S△APM=S△ABC和S△PBN=S△ABC同时成立．
解：（1）在△ABC中，
因为∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
所以AB＝＝10．
（2）当AP＝x时，得PB＝10－x．
因为PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，
所以Rt△APM∽Rt△ABC，
Rt△PBN∽Rt△ABC.
所以 = ， = ．
所以PM=＝x，
PN=＝10－x．
因为PM＋PN＝7，
所以x＋（10-x）＝7．
解之，x＝5．
所以当x＝5时，矩形PMCN的周长是14．
（3） 假设存在符合要求的线段AP，则存在实数x，使S△APM =S△ABC和S△PBN =S△ABC同时成立．
因为Rt△APM∽Rt△ABC，
Rt△PBN∽Rt△ABC，
所以=2，=2．
所以=2，=2．
由=2，得x＝；由=2，得x＝10－．
因为两者x的值不一致，
所以不存在符合要求的线段AP．
例3 （辽宁省鞍山市）如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．
（1） 若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（2） 是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3） 是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．
分析 （1） 用含x的代数式表示△BEF的面积的关键在于用含x的代数式表示△BEF的边BE上的高；（2） 由于（1）中的x已使得EF平分等腰梯形ABCD的周长，要判断是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分，只需判断是否存在实数x使S△BEF =SABCD；（3） 分两种情况考虑：一是BE＋BF＝等腰梯形ABCD周长的＝8，且S△BEF =SABCD；另是BE＋BF＝等腰梯形ABCD周长的＝16，且S△BEF =SABCD．由于BE＋BF的最大值只能是15，所以后一种情况不可能．
解：（1） 过点F作FG⊥BC于点G，过点A作AH⊥BC于点H.
因为AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10，
所以BH＝（BC－AD）÷2＝3，AH＝=4.
因为EF平分等腰梯形ABCD的周长，BE＝x，
所以BF＝12－x.
因为Rt△BFG∽Rt△BAH，
所以=，FG==（12-x）.
从而S△BEF =BE·FG=x·（12-x）=－x2+x.
因为0≤BE≤10，0≤BF≤5,
所以7≤x≤10.
（2） 假设存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分，那么必存在实数x使S△BEF =S.
因为S=（AD+BC）·AH=28，
所以－x2+x=14.
解之，x1=5，x2=7.
因为7≤x≤10，
所以x＝7符合要求，即知存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE的长为7.
（3） 注意到0≤BE≤10，0≤BF≤5，那么0≤BE＋BF≤15．若存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分，则BE＋BF＝等腰梯形ABCD周长的＝8，且S△BEF=SABCD=．为方便起见，设此时的BE＝a．
因为Rt△BFG∽Rt△BAH，
所以FG = ＝（8-a），
所以a·（8-a）=．
因为该方程无实数解，
所以不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分．