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[摘要]主要叙述了在研读历年的高考题时，发现了一道以椭圆为背景，结合向量与同心圆知识的试题.该试题构思精巧，综合性强，值得探究.将对其进行探究并推广到其他圆锥曲线.
[关键词]圆锥曲线同心圆垂直推广研究
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）110043
一、真题再现
题目：椭圆E：x2a2 y2b2=1（a>b>0）过M（2，2），N（6，1）两点，O为坐标原点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程；
解：（1）由题意易得椭圆E的方程x28 y24=1.
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且OA⊥OB，设该圆的切线方程为y=kx m，解方程组y=kx m
x28 y24=1，得x2 2（kx m）2=8，即（1 2k2）x2 4kmx 2m2-8=0，则Δ=16k2m2-4（1 2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2 4）>0，即8k2-m2 4>0①
由韦达定理得
x1 x2=-4km1 2k2
x1x2=2m2-81 2k2，
y1y2=（kx1 m）（kx2 m）=k2x1x2 km（x1 x2） m2=k2（2m2-8）1 2k2-4k2m21 2k2 m2=m2-8k21 2k2.要使OA⊥OB，需使x1x2 y1y2=0，即2m2-81 2k2 m2-8k21 2k2=0，所以3m2-8k2-8=0，所以k2=3m2-88≥0.又因为在①式中，8k2-m2 4>0，所以m2>2
3m2≥8，所以m2≥83，即m≥263或m≤-263.因为直线y=kx m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r=|m|1 k2，r2=m21 k2=m21 3m2-88=83，r=263，所求的圆为x2 y2=83.此时圆的切线y=kx m满足m≥263或m≤-263，而当切线的斜率不存在时，切线为x=±263，与椭圆x28 y24=1的两个交点为（263，±263）或（-263，±263）满足OA⊥OB.综上，存在圆心在原点的圆x2 y2=83，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且OA⊥OB.
二、问题与讨论
对此，我们不禁提出这样一个问题：对于椭圆E：x2a2 y2b2=1是否存在这样的圆，使之任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且OA⊥OB，若存在，又是否与a，b相关？
解：假设存在这样的椭圆E.
令x2a2 y2b2=1
y=kx m，得
b2x2 a2（k2x2 2kxm m2）=a2b2，即（b2 a2k2）x2 2a2kxm a2m2-a2b2=0，
由韦达定理得
x1 x2=-2a2kmb2 a2k2
x1x2=a2m2-a2b2b2 a2k2，
由y=kx m得
y1y2=（kx1 m）（kx2 m）=k2x1x2 km（x1 x2） m2=（a2m2-a2b2）k2b2 a2k2-2a2k2m2b2 a2k2 m2，
即y1y2=b2m2-a2b2k2b2 a2k2.
要使OA⊥OB，则x1x2 y1y2=a2m2-a2b2b2 a2k2 b2m2-a2b2k2b2 a2k2=（a2 b2）m2-a2b2-a2b2k2b2 a2k2=0，
即（a2 b2）m2-a2b2-a2b2k2=0，得k2=（a2 b2）m2a2b2-1.因为直线y=kx m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为
配方法一般是找出条件和题目的要求后，结合定义域的具体取值范围来求解函数最值.但并不是每一个题型都能使用配方法，还要具体题目具体分析.
二、换元法
换元法是引入新的变量，取代原式中的变量或者代数式，以便将被求函数化简为易于求解的形式.换元法是求解函数最值问题常用的重要的方法.做这类题目的基本要求是学会化简.在学会化简的基础上，再根据定义域的具体取值范围来求解函数最值.
【例2】已知x2 y2=1，求z=2x2 2xy y2的最值.
解：由x2 y2=1，可设x=cosα，y=sinα，α∈[0，2π]，
则z=2cos2α 2cosαsinα sin2α
=32 12cos2α sin2α
=32 52sin（2α β）（β=arcsin55）
当sin（2α β）=1时，z有最大值为32 52；
当sin（2α β）=-1时，z有最小值为32-52.
分析：学生用三角换元方法求最值时，需要注意结合三角函数公式的运用，如例题中的辅助角公式.学生还要注重在三角函数中“1”的活用，如sin2α cos2α=1，tanα·cotα=1等，如果最值中含有等于“1”的等式，可以考虑用三角函数将其代换，利用三角函数的方法进行求解.同时，学生用换元法求解代数式的最值时，有时需要结合其他方面的知识内容，如基本不等式、三角函数等.
学生在数学学习中会习惯于根据题目的已知条件去简单的计算.但在求解函数最值问题的计算中需要用换元法.有的学生在做习题时一遇到困难就思维短路，题目做不下去时就会放弃，这是典型的学习困难或学习心理障碍.教师在教会学生解题方法的同时，还要对其进行心理辅导，帮助学生克服学习心理障碍，培养学生的解题能力.
[关键词]圆锥曲线同心圆垂直推广研究
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）110043
一、真题再现
题目：椭圆E：x2a2 y2b2=1（a>b>0）过M（2，2），N（6，1）两点，O为坐标原点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程；
解：（1）由题意易得椭圆E的方程x28 y24=1.
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且OA⊥OB，设该圆的切线方程为y=kx m，解方程组y=kx m
x28 y24=1，得x2 2（kx m）2=8，即（1 2k2）x2 4kmx 2m2-8=0，则Δ=16k2m2-4（1 2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2 4）>0，即8k2-m2 4>0①
由韦达定理得
x1 x2=-4km1 2k2
x1x2=2m2-81 2k2，
y1y2=（kx1 m）（kx2 m）=k2x1x2 km（x1 x2） m2=k2（2m2-8）1 2k2-4k2m21 2k2 m2=m2-8k21 2k2.要使OA⊥OB，需使x1x2 y1y2=0，即2m2-81 2k2 m2-8k21 2k2=0，所以3m2-8k2-8=0，所以k2=3m2-88≥0.又因为在①式中，8k2-m2 4>0，所以m2>2
3m2≥8，所以m2≥83，即m≥263或m≤-263.因为直线y=kx m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r=|m|1 k2，r2=m21 k2=m21 3m2-88=83，r=263，所求的圆为x2 y2=83.此时圆的切线y=kx m满足m≥263或m≤-263，而当切线的斜率不存在时，切线为x=±263，与椭圆x28 y24=1的两个交点为（263，±263）或（-263，±263）满足OA⊥OB.综上，存在圆心在原点的圆x2 y2=83，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且OA⊥OB.
二、问题与讨论
对此，我们不禁提出这样一个问题：对于椭圆E：x2a2 y2b2=1是否存在这样的圆，使之任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且OA⊥OB，若存在，又是否与a，b相关？
解：假设存在这样的椭圆E.
令x2a2 y2b2=1
y=kx m，得
b2x2 a2（k2x2 2kxm m2）=a2b2，即（b2 a2k2）x2 2a2kxm a2m2-a2b2=0，
由韦达定理得
x1 x2=-2a2kmb2 a2k2
x1x2=a2m2-a2b2b2 a2k2，
由y=kx m得
y1y2=（kx1 m）（kx2 m）=k2x1x2 km（x1 x2） m2=（a2m2-a2b2）k2b2 a2k2-2a2k2m2b2 a2k2 m2，
即y1y2=b2m2-a2b2k2b2 a2k2.
要使OA⊥OB，则x1x2 y1y2=a2m2-a2b2b2 a2k2 b2m2-a2b2k2b2 a2k2=（a2 b2）m2-a2b2-a2b2k2b2 a2k2=0，
即（a2 b2）m2-a2b2-a2b2k2=0，得k2=（a2 b2）m2a2b2-1.因为直线y=kx m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为
配方法一般是找出条件和题目的要求后，结合定义域的具体取值范围来求解函数最值.但并不是每一个题型都能使用配方法，还要具体题目具体分析.
二、换元法
换元法是引入新的变量，取代原式中的变量或者代数式，以便将被求函数化简为易于求解的形式.换元法是求解函数最值问题常用的重要的方法.做这类题目的基本要求是学会化简.在学会化简的基础上，再根据定义域的具体取值范围来求解函数最值.
【例2】已知x2 y2=1，求z=2x2 2xy y2的最值.
解：由x2 y2=1，可设x=cosα，y=sinα，α∈[0，2π]，
则z=2cos2α 2cosαsinα sin2α
=32 12cos2α sin2α
=32 52sin（2α β）（β=arcsin55）
当sin（2α β）=1时，z有最大值为32 52；
当sin（2α β）=-1时，z有最小值为32-52.
分析：学生用三角换元方法求最值时，需要注意结合三角函数公式的运用，如例题中的辅助角公式.学生还要注重在三角函数中“1”的活用，如sin2α cos2α=1，tanα·cotα=1等，如果最值中含有等于“1”的等式，可以考虑用三角函数将其代换，利用三角函数的方法进行求解.同时，学生用换元法求解代数式的最值时，有时需要结合其他方面的知识内容，如基本不等式、三角函数等.
学生在数学学习中会习惯于根据题目的已知条件去简单的计算.但在求解函数最值问题的计算中需要用换元法.有的学生在做习题时一遇到困难就思维短路，题目做不下去时就会放弃，这是典型的学习困难或学习心理障碍.教师在教会学生解题方法的同时，还要对其进行心理辅导，帮助学生克服学习心理障碍，培养学生的解题能力.