土豆原产美洲，易种植，产量高，营养丰富。法国的科学家巴蒙蒂埃想把它移植到法国去，以解决山区贫困农民的生存问题。这原本是一件好事，可由于偏见的影响，法国人就是不接受，并说它是一种魔果，是要给人带来不幸的。巴蒙蒂埃四处宣传自己的主张，想方设法让人们相信他的好心，可还是一点儿成效都没有。
　　怎么办呢?不能就这么罢休，他终于想到了一个好办法。一天，他去见国王，将土豆的好处说了一通后，见国王也是半信半疑，他便当面将土豆给吃了。国王同意他在法国推广，他要求国王给他以帮助，国王问他要什么，他说给我在人多的地方圈一块地，再给我几个士兵就行了。圈王说这很简单。
　　他在地边扎上稀疏的篱笆，然后将这几个士兵守卫在篱笆旁，他开始松土将种子栽下去。有人看见了，心想这家伙一天到晚在种什么，还要士兵守卫，肯定是好东西。远远地看不行，走近来，让他们瞧一会后，士兵会慢慢走过来，很严厉地将他们训开。这更增加了人们的好奇，于是有消息传开了，说国王在种植一种宝贝果。也有人动主意了，非要钻进去弄点出来，想我也来种一下试一试。晚上仍有士兵守卫，当士兵巡逻到另一边时，胆大者扒开篱笆跑到地里，刨开泥土找出种子，立即仿照种子栽到自家地里去。没想到秋天收获颇丰，吃起来挺可口。第二年种的人更多了，到后来，土豆在法安了家。
　　鼓励宣传下了那么大劲，却不生效，一派士兵守卫，竟有那么多人仿效。这个故事给我们的启示是：当遇到从正面难以解决的问题时，别忘了从问题的反面去考虑，解决数学问题当然也不例外!
　　例1 50枚棋子围成一个大圆圈，依次编上号码1、2、3……50。按顺时针方向，每隔一枚拿掉一枚，直到剩下最后一枚棋子为止。如果剩下的这枚棋子的号码是“39”，那么第一个被取走的棋子的号码是多少?
　　分析与解：此题要是从正面人手则会困难重重，转向反面思考就能拨开迷雾，顺利解决。可从最后剩下的“39”号开始倒着去想：
　　第一次从“39”开始倒着(逆时针)往前拿：39、37、35……3、1、49、47……41，余下的全部是偶数。
　　第二次从“38”开始，仍按逆时针方向拿：38、34、30、26、22、18、14、10、6、2、48、44、40。这时，剩下的棋子号码为：36、32、28、24、20、16、12、8、4、50、46、42。
　　第三次从“32”开始倒着取：32、24、16、8、50、42、这时，余下的棋子号码为：36、28、20、12、4、46，
　　第四次从“28”开始倒着取：28、12、46。此时，余下棋子的号码为36、20和4三枚棋子。
　　第五次从“20”开始倒着取走20和36，最后只剩下号码为4的一枚棋子。这枚编号为“4”的棋子就是按照题目要求，第一个被取走的那枚棋子。
　　例2有这样一个抓牌游戏：两人轮流抓54张扑克牌，每人每次可以抓1张到4张，但不可以不抓。规定抓最后1张者为输。想想看，如果让你先抓，怎样才能确保获胜?
　　分析与解：对于这样的游戏，只有知道其中的奥妙所在，掌握了规律，才能确保获胜。从正面探寻很难有所突破，现改为从反面逆向推想。
　　要想确保获胜，就必须把最后一张牌留给对方。根据游戏规定(每人每次可以抓1张到4张，但不可以不抓)，在最后一轮抓牌之前，必须留给对方6(1 5)张牌，无论对方怎样抓牌，你都可以在自己抓牌后留给对方1张牌。如：当对方抓1或2或3或4张时，你就跟着抓4或3或2或1张，即你和对方抓的牌必须正好凑成5张。
　　再往前一轮，你应留给对方6 5=11(张)牌。同样，不论对方抓几(1～4)张，你都必须同他凄成5张…照这样一直往前推，不难推算出每次留给对方的牌数应为：1、6、11、16……41、46、51。
　　因为54-51=3，所以你第一次应抓3张牌，留给对方51张牌，然后每次都要在对方抓牌张数的基础上给他凑成5张，即抓“5减几”张，这样就能确保获胜。