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经常有学生这样问：“我们如何才能更有效的做数学题呢？”
乔治·波利亚是20世纪举世公认的数学家，著名的数学方法论大师.波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，得到的一张《怎样解题表》.怎样解题表的主要内容是：第一步：你必须弄清问题.1.已知是什么？未知是什么？要确定未知数，条件是否充分？2.画张图，将已知标上.3.引入适当的符号.4.把条件的各个部分分开.第二步：找出已知与未知的联系.1.你能否转化成一个相似的、熟悉的问题？2.你能否用自己的语言重新叙述这个问题？3.回到定义去.4.你能否解决问题的一部分？5.你是否利用了所有的条件？第三步：写出你的想法.1.勇敢地写出你的方法.2.你能否说出你所写的每一步的理由？第四步：回顾.1.你能否一眼就看出结论？2.你能否用别的方法导出这个结论？3.你能否把这个题目或这种方法用于解决其他的问题？
每年我都会把这张表印发给我的学生，来解决刚才开头学生提出的问题.但收效甚微，因为很少有人会看，即使看了也是简单浏览罢了，没有用心体会和实践.我们平常教学的过程中也基本是按照上表的步骤来进行的，但很多学生看到数学题还是头疼，毫无思绪，最关键的原因还是没有最好反思即回顾这一步，缺了这一步所学的知识和方法就是零散的、没有系统性，更不能提炼出最重要的数学思想和方法.
本文就自己在教学《平面向量》过程中的一点体会来重点说说第四步（回顾）在解题习惯中的培养.
例 在△ABC中，AC=3，AB=4..P为BC垂直平分线上一点，则AP·BC=
.
分析 这道题本身并不难，只要学会了转化思想，并有向量问题的基本方法：基底法，很快就可以算出正确的答案，即解法一如下：
AP·BC=AM MP·BC=AM·BC MP·BC=12（AB AC）·（AC-AB）.
12（AC2-AB2）=12（9-16）=-72.
正当学生开心于解出正确答案叽叽喳喳的时候，我说：同学们这道题能不能一眼就看出答案呢？这时他们用惊讶的表情看着我，心想我毫不容易作出来的题目竟然还能一眼看出答案，很不服气的样子，有几个聪明的学生很快的开始低头思考.不一会儿就有学生甲举手说：老师我想起来了，因为这是填空题，可以用特殊位置法啊！？即解法二如下：
当点P与M重合时，AP·BC=12（AB AC）·（AC-AC）以下同解法一.答案几乎一眼就看出来了，太棒了！接着我说：这题还有其他的解法吗？受到刚才学生的思维启发和学习热情的影响，全班投入到了积极的思考中.学生乙说：老师我们可以从本题的条件“P为BC垂直平分线上一点”出发得到：PC=PB，从而得到了解法三如下：
∵PC=PB，∴AC-AP=AB-AP
∴AC-AP）2=AB-AP）2，AC2-AB2=2AP·（AC-AB）=2AP·BC∴9-16=2AP·BC，AP·BC=-72.
正当大家为学生乙的精彩解法鼓掌的时候，学生丙说：老师这题还可以用向量的坐标法来解啊！即如下的解法四：
以点B为坐标原点，BC所在直线为X轴，建立直角坐标系;设B（0，0），C（a，0），A（x，y），P（a2，z），则BC=（a，0），AP=-x-a2，y-z.
AP·BC=-ax-a2=-ax 12a2，AB=（x，y），AC=（x-a，y）.
AB2=x2 y2=16，AC2=（x-a）2 y2=9，∴2ax a2=7，∴AP·BC=-72.
这时教室里响起了经久不息的掌声.你能否把这个题目或这种方法用于解决其他的问题吗？我们不妨看以下这道题目：
上课听讲不是说听老师是怎么解出的，而是要听老师是怎么分析的，为什么要想到这样的思路，有别的想法吗？这个题的题眼是什么，解题关键是什么？如果你坚持用这样的方法听课，再做到举一反三，很快你就会发现解决数学难题也不麻烦，而且很有趣.
乔治·波利亚是20世纪举世公认的数学家，著名的数学方法论大师.波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，得到的一张《怎样解题表》.怎样解题表的主要内容是：第一步：你必须弄清问题.1.已知是什么？未知是什么？要确定未知数，条件是否充分？2.画张图，将已知标上.3.引入适当的符号.4.把条件的各个部分分开.第二步：找出已知与未知的联系.1.你能否转化成一个相似的、熟悉的问题？2.你能否用自己的语言重新叙述这个问题？3.回到定义去.4.你能否解决问题的一部分？5.你是否利用了所有的条件？第三步：写出你的想法.1.勇敢地写出你的方法.2.你能否说出你所写的每一步的理由？第四步：回顾.1.你能否一眼就看出结论？2.你能否用别的方法导出这个结论？3.你能否把这个题目或这种方法用于解决其他的问题？
每年我都会把这张表印发给我的学生，来解决刚才开头学生提出的问题.但收效甚微，因为很少有人会看，即使看了也是简单浏览罢了，没有用心体会和实践.我们平常教学的过程中也基本是按照上表的步骤来进行的，但很多学生看到数学题还是头疼，毫无思绪，最关键的原因还是没有最好反思即回顾这一步，缺了这一步所学的知识和方法就是零散的、没有系统性，更不能提炼出最重要的数学思想和方法.
本文就自己在教学《平面向量》过程中的一点体会来重点说说第四步（回顾）在解题习惯中的培养.
例 在△ABC中，AC=3，AB=4..P为BC垂直平分线上一点，则AP·BC=
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分析 这道题本身并不难，只要学会了转化思想，并有向量问题的基本方法：基底法，很快就可以算出正确的答案，即解法一如下：
AP·BC=AM MP·BC=AM·BC MP·BC=12（AB AC）·（AC-AB）.
12（AC2-AB2）=12（9-16）=-72.
正当学生开心于解出正确答案叽叽喳喳的时候，我说：同学们这道题能不能一眼就看出答案呢？这时他们用惊讶的表情看着我，心想我毫不容易作出来的题目竟然还能一眼看出答案，很不服气的样子，有几个聪明的学生很快的开始低头思考.不一会儿就有学生甲举手说：老师我想起来了，因为这是填空题，可以用特殊位置法啊！？即解法二如下：
当点P与M重合时，AP·BC=12（AB AC）·（AC-AC）以下同解法一.答案几乎一眼就看出来了，太棒了！接着我说：这题还有其他的解法吗？受到刚才学生的思维启发和学习热情的影响，全班投入到了积极的思考中.学生乙说：老师我们可以从本题的条件“P为BC垂直平分线上一点”出发得到：PC=PB，从而得到了解法三如下：
∵PC=PB，∴AC-AP=AB-AP
∴AC-AP）2=AB-AP）2，AC2-AB2=2AP·（AC-AB）=2AP·BC∴9-16=2AP·BC，AP·BC=-72.
正当大家为学生乙的精彩解法鼓掌的时候，学生丙说：老师这题还可以用向量的坐标法来解啊！即如下的解法四：
以点B为坐标原点，BC所在直线为X轴，建立直角坐标系;设B（0，0），C（a，0），A（x，y），P（a2，z），则BC=（a，0），AP=-x-a2，y-z.
AP·BC=-ax-a2=-ax 12a2，AB=（x，y），AC=（x-a，y）.
AB2=x2 y2=16，AC2=（x-a）2 y2=9，∴2ax a2=7，∴AP·BC=-72.
这时教室里响起了经久不息的掌声.你能否把这个题目或这种方法用于解决其他的问题吗？我们不妨看以下这道题目：
上课听讲不是说听老师是怎么解出的，而是要听老师是怎么分析的，为什么要想到这样的思路，有别的想法吗？这个题的题眼是什么，解题关键是什么？如果你坚持用这样的方法听课，再做到举一反三，很快你就会发现解决数学难题也不麻烦，而且很有趣.