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一、出人意料的测验结果
前不久，我执教的两个班进行一次小测验，结果很令人感到意外。6班高分学生的人数比5班少很多，而6班入学时的优秀生比5班要多很多，并且在此之前每次大小考试也是6班领先，究竟是什么因素导致这次“大逆转”的出现？为此，我对两个班的试卷进行了认真的分析比较，发现导致差异产生的主要原因在于一道几何题（见下图），这道题6班的失分人数明显比5班多。但令人不解的是：考前两周左右我在两个班都讲解过这道题，并且这道题在当时的学习阶段仅算得上中等难度。这到底是怎么回事呢？为了弄清原因，我决定对此展开调研。
已知在正方形ABCD中，M是BC的中点，E是BC延长线上的一点，MN⊥AM，交∠DCE的平分线CN于N。探究MA与MN的关系并加以论证。
二、学生访谈探求原因
首先，我找到6班一位平时成绩不错却没有答出这道题的甲同学。
师：这道题老师讲过你有印象吗？当时没听懂吗？
甲：我当然记得您前些天讲过，我还记得开始看题时我没有思路，您讲过后我就觉得很明白了，还做了笔记，可是考试的时候我却怎么也想不起思路了。一交完卷我就翻了笔记本，一看就明白了，心里直骂自己太笨！
师：你考试的时候是怎么思考这道题的？
甲：我只记得自己想构造全等，好像您也是这么讲的，我想构建一个三角形与ΔABM全等，因为是直角三角形嘛，于是我过点N作NF垂直于BE，可我花了好长时间也找不到边相等的条件，只好放弃了。
师：那你为什么不换换思路，构造一个三角形全等于ΔMCN呢？
甲：真没想起来，看了笔记才知道您是这么讲的。
之后，我又找了6班几个此题失分的同学进行访谈，他们讲述的内容大致都跟甲同学相似。于是，我开始访谈5班的同学，找了一位平时成绩很一般，但测验中却顺利完成该题目的乙同学。
师：先祝贺你啊，成绩很有进步，你能跟我说说这个题怎么做得这么好？
乙：老师难道您忘了原题您是讲过的吗？（吃惊）
师：我当然记得，可是仍然有许多同学没做出来，我不知道为什么，所以想问问你怎么做的呀！
乙：我对这道题印象太深了。上次您给我们这道题的时候我想了一中午，想了好多条道都行不通，直到下午您在心理课上带着我们一起探究，我才明白这道题应该怎么处理。
师：你记得那个中午你想了多少条走不通的道吗？
乙：当然记得，您上课时也让同学展示了，我想的跟他们一样。开始我觉得要证MA=MN，就是要利用题目中的已知条件。我观察了图形结合已知条件发现连结AN，只要证明ΔANM是等腰三角形即可，但是不容易证明。于是，我想如果能证明AM、MN它们所在的两个三角形全等，那该多好啊。可是结合已知我发现图中它们所在的两个三角形，一个是钝角三角形，一个是直角三角形，那是不可能全等的。于是就想到添加辅助线构建全等三角形，想通过证明两个三角形全等来证明线段相等。本来我想构建一个三角形与ΔABM全等，因为ΔABM是直角三角形，特殊嘛，于是我过点N作NF垂直于BE，在证明过程中比较容易找出两组角相等，但找一组边相等非常困难（证明三角形全等至少需要一组边相等）。老师，你不知道我在上面花了好长时间，不然的话，我不可能对这个题印象这么深。听课后我意识到可以换个思路，构建一个三角形全等于ΔMCN。根据点M是BC的中点，于是找AB的中点F，连结FM，此辅助线方法非常有效，不仅创设了AF=MC，而且又得出∠AFM=∠NCM=135°。再根据同角的余角相等，即∠FAM=∠CMN，就可以利用ASA证明这两个三角形全等了。
师：谢谢你，讲得太好了！希望你今后也能像这样带着问题上课，一定会有意想不到的收获。
三、调研带来的反思
听了5班乙同学的谈话，我猛然意识到在这道题目上两个班有差距的原因了。两个班同一天讲解这道题，在6班出示该题的时候离下课好像不到10分钟，我让同学独立思考了片刻，看到马上就要下课还没有同学举手，我就带着同学分析了一遍，也给出了板书，看到同学们不住地点头，认真地做记录，我很放心，觉得学生应该听明白了，却没料到会收到这种效果。
在5班，由于前一天心理课老师打了招呼，他上半节课之后就有事出去，后半节要我上，于是数学课上我在出示了这道题以后，没急于带领学生分析，而是给他们布置了任务，中午认真思考，下午心理课上展示分析。那节课我先让学生们谈他们各种受阻的思路，大多数同学感觉过点N作NF垂直于BE，构建ΔABM与ΔMFN全等，应该可以解决问题。可惜在证明过程中比较容易找出两组角相等，但找一组边相等非常困难。究其原因是受平常一些思维定势的影响，创设三角形一般是创设一个特殊的三角形，而题目中的直角三角形正符合要求，于是毫不犹豫地认定创设直角三角形。记得当时我肯定了能有这样的思维、作这样的辅助线本身是件好事，但需要看题目特征具体对待，拼命钻牛角尖，会浪费很多时间。于是，尝试寻求另一条出路，那就是构建一个三角形全等于ΔMCN。那半节课学生真是听得津津有味，想来给他们留下深刻印象的恐怕不仅仅是正确的答案，更有不撞南墙不回头的思维过程！
说实在话，我平常也会抱怨学生为什么会一道题讲过很多次依然还错，总认为自己讲透彻、学生听明白，就算完成了教学任务。然而，通过这次检测及随后的调研，我发现了学生亲身体验的重要性。那种担心学生栽跟头、耽误课上时间的做法表面上看是节省了教学时间，但实际效果未必好。因此，教师需要学会聆听、学会等待，敢于让学生的思维误区暴露出来，借助学生现有的知识经验对问题进行深入分析，巧妙提升，实现问题的解决，这才能够真正地提高教学的效率。
四、反思之后的改进
一道题不经意间采用了两种不同的教学方法，却产生了截然相反的教学效果，这让我陷入了深思：到底怎么教更有效？
鉴于学生亲身体验的重要性，我在试卷讲评时，要求学生以小组形式讨论并出示本题的知识网络图。在此基础上，我还出示了一道变式题，即将原题中“M是BC的中点”改为“M是BC上的任意一点”，其余条件不变，那么，结论“MN=MA”还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由。在这里，教学碰到了难点：有些学生认为点M在运动不再是中点，那么也就不会出现∠AFM=∠NCM=135°，所以两个三角形是不可能全等的。
事实上，把“M是BC的中点”改为“M是BC上的任意一点”，结论“MN=MA”依然成立。针对学生的疑惑，教师要鼓励他们大胆尝试，学会变通，不仅引导学生探索出“若证明两条线段相等而题中没有三角形全等时可以构造三角形证明三角形全等”这一类问题的求解方法，更重要的是揭示出初中几何的核心思想：在图形的运动变化中寻求不变的性质。
五、经验总结
有的数学教师平常不太重视自己思维的展示，不太重视知识建构及知识呈现的过程。其实数学教师显现自己的思维过程对于学生学习的帮助很大，这种成熟的数学思维解题技法正是学生思维活动的楷模。在例题教学过程中，教师要善于将思路的形成过程“暴露”出来，使学生的思维与教师的思维发生共鸣，变教师传授的过程为学生发现的过程，留给学生的不再是“魔术师”的表演，而是创造性的教育与实践。不仅是例题教学，其实包括备课、上课、答疑、批改作业、组织考试、批改试卷等在内，都应该看成是显露数学思维过程的重要环节。另一方面，也要鼓励学生在自己的学习中，从书本例题、课外练习以及教师讲题中分析他人思维发展的脉络，同时不断比照自己的思维过程，寻找自己思维中的错误，吸取他人思维中的营养。只有这样，教师的教才能更有实效性，这种实效性不仅体现在分数成绩上，更体现在学生思维能力、分析解决问题能力的提高上。因此，“怎样教更有效”应该成为我们每一位数学教师时常思索的重要问题。
（作者单位：北京市房山区良乡二中）
（责任编辑：张欣）
前不久，我执教的两个班进行一次小测验，结果很令人感到意外。6班高分学生的人数比5班少很多，而6班入学时的优秀生比5班要多很多，并且在此之前每次大小考试也是6班领先，究竟是什么因素导致这次“大逆转”的出现？为此，我对两个班的试卷进行了认真的分析比较，发现导致差异产生的主要原因在于一道几何题（见下图），这道题6班的失分人数明显比5班多。但令人不解的是：考前两周左右我在两个班都讲解过这道题，并且这道题在当时的学习阶段仅算得上中等难度。这到底是怎么回事呢？为了弄清原因，我决定对此展开调研。
已知在正方形ABCD中，M是BC的中点，E是BC延长线上的一点，MN⊥AM，交∠DCE的平分线CN于N。探究MA与MN的关系并加以论证。
二、学生访谈探求原因
首先，我找到6班一位平时成绩不错却没有答出这道题的甲同学。
师：这道题老师讲过你有印象吗？当时没听懂吗？
甲：我当然记得您前些天讲过，我还记得开始看题时我没有思路，您讲过后我就觉得很明白了，还做了笔记，可是考试的时候我却怎么也想不起思路了。一交完卷我就翻了笔记本，一看就明白了，心里直骂自己太笨！
师：你考试的时候是怎么思考这道题的？
甲：我只记得自己想构造全等，好像您也是这么讲的，我想构建一个三角形与ΔABM全等，因为是直角三角形嘛，于是我过点N作NF垂直于BE，可我花了好长时间也找不到边相等的条件，只好放弃了。
师：那你为什么不换换思路，构造一个三角形全等于ΔMCN呢？
甲：真没想起来，看了笔记才知道您是这么讲的。
之后，我又找了6班几个此题失分的同学进行访谈，他们讲述的内容大致都跟甲同学相似。于是，我开始访谈5班的同学，找了一位平时成绩很一般，但测验中却顺利完成该题目的乙同学。
师：先祝贺你啊，成绩很有进步，你能跟我说说这个题怎么做得这么好？
乙：老师难道您忘了原题您是讲过的吗？（吃惊）
师：我当然记得，可是仍然有许多同学没做出来，我不知道为什么，所以想问问你怎么做的呀！
乙：我对这道题印象太深了。上次您给我们这道题的时候我想了一中午，想了好多条道都行不通，直到下午您在心理课上带着我们一起探究，我才明白这道题应该怎么处理。
师：你记得那个中午你想了多少条走不通的道吗？
乙：当然记得，您上课时也让同学展示了，我想的跟他们一样。开始我觉得要证MA=MN，就是要利用题目中的已知条件。我观察了图形结合已知条件发现连结AN，只要证明ΔANM是等腰三角形即可，但是不容易证明。于是，我想如果能证明AM、MN它们所在的两个三角形全等，那该多好啊。可是结合已知我发现图中它们所在的两个三角形，一个是钝角三角形，一个是直角三角形，那是不可能全等的。于是就想到添加辅助线构建全等三角形，想通过证明两个三角形全等来证明线段相等。本来我想构建一个三角形与ΔABM全等，因为ΔABM是直角三角形，特殊嘛，于是我过点N作NF垂直于BE，在证明过程中比较容易找出两组角相等，但找一组边相等非常困难（证明三角形全等至少需要一组边相等）。老师，你不知道我在上面花了好长时间，不然的话，我不可能对这个题印象这么深。听课后我意识到可以换个思路，构建一个三角形全等于ΔMCN。根据点M是BC的中点，于是找AB的中点F，连结FM，此辅助线方法非常有效，不仅创设了AF=MC，而且又得出∠AFM=∠NCM=135°。再根据同角的余角相等，即∠FAM=∠CMN，就可以利用ASA证明这两个三角形全等了。
师：谢谢你，讲得太好了！希望你今后也能像这样带着问题上课，一定会有意想不到的收获。
三、调研带来的反思
听了5班乙同学的谈话，我猛然意识到在这道题目上两个班有差距的原因了。两个班同一天讲解这道题，在6班出示该题的时候离下课好像不到10分钟，我让同学独立思考了片刻，看到马上就要下课还没有同学举手，我就带着同学分析了一遍，也给出了板书，看到同学们不住地点头，认真地做记录，我很放心，觉得学生应该听明白了，却没料到会收到这种效果。
在5班，由于前一天心理课老师打了招呼，他上半节课之后就有事出去，后半节要我上，于是数学课上我在出示了这道题以后，没急于带领学生分析，而是给他们布置了任务，中午认真思考，下午心理课上展示分析。那节课我先让学生们谈他们各种受阻的思路，大多数同学感觉过点N作NF垂直于BE，构建ΔABM与ΔMFN全等，应该可以解决问题。可惜在证明过程中比较容易找出两组角相等，但找一组边相等非常困难。究其原因是受平常一些思维定势的影响，创设三角形一般是创设一个特殊的三角形，而题目中的直角三角形正符合要求，于是毫不犹豫地认定创设直角三角形。记得当时我肯定了能有这样的思维、作这样的辅助线本身是件好事，但需要看题目特征具体对待，拼命钻牛角尖，会浪费很多时间。于是，尝试寻求另一条出路，那就是构建一个三角形全等于ΔMCN。那半节课学生真是听得津津有味，想来给他们留下深刻印象的恐怕不仅仅是正确的答案，更有不撞南墙不回头的思维过程！
说实在话，我平常也会抱怨学生为什么会一道题讲过很多次依然还错，总认为自己讲透彻、学生听明白，就算完成了教学任务。然而，通过这次检测及随后的调研，我发现了学生亲身体验的重要性。那种担心学生栽跟头、耽误课上时间的做法表面上看是节省了教学时间，但实际效果未必好。因此，教师需要学会聆听、学会等待，敢于让学生的思维误区暴露出来，借助学生现有的知识经验对问题进行深入分析，巧妙提升，实现问题的解决，这才能够真正地提高教学的效率。
四、反思之后的改进
一道题不经意间采用了两种不同的教学方法，却产生了截然相反的教学效果，这让我陷入了深思：到底怎么教更有效？
鉴于学生亲身体验的重要性，我在试卷讲评时，要求学生以小组形式讨论并出示本题的知识网络图。在此基础上，我还出示了一道变式题，即将原题中“M是BC的中点”改为“M是BC上的任意一点”，其余条件不变，那么，结论“MN=MA”还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由。在这里，教学碰到了难点：有些学生认为点M在运动不再是中点，那么也就不会出现∠AFM=∠NCM=135°，所以两个三角形是不可能全等的。
事实上，把“M是BC的中点”改为“M是BC上的任意一点”，结论“MN=MA”依然成立。针对学生的疑惑，教师要鼓励他们大胆尝试，学会变通，不仅引导学生探索出“若证明两条线段相等而题中没有三角形全等时可以构造三角形证明三角形全等”这一类问题的求解方法，更重要的是揭示出初中几何的核心思想：在图形的运动变化中寻求不变的性质。
五、经验总结
有的数学教师平常不太重视自己思维的展示，不太重视知识建构及知识呈现的过程。其实数学教师显现自己的思维过程对于学生学习的帮助很大，这种成熟的数学思维解题技法正是学生思维活动的楷模。在例题教学过程中，教师要善于将思路的形成过程“暴露”出来，使学生的思维与教师的思维发生共鸣，变教师传授的过程为学生发现的过程，留给学生的不再是“魔术师”的表演，而是创造性的教育与实践。不仅是例题教学，其实包括备课、上课、答疑、批改作业、组织考试、批改试卷等在内，都应该看成是显露数学思维过程的重要环节。另一方面，也要鼓励学生在自己的学习中，从书本例题、课外练习以及教师讲题中分析他人思维发展的脉络，同时不断比照自己的思维过程，寻找自己思维中的错误，吸取他人思维中的营养。只有这样，教师的教才能更有实效性，这种实效性不仅体现在分数成绩上，更体现在学生思维能力、分析解决问题能力的提高上。因此，“怎样教更有效”应该成为我们每一位数学教师时常思索的重要问题。
（作者单位：北京市房山区良乡二中）
（责任编辑：张欣）