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[摘 要]度量的本质是将事物的某些属性标准化，然后通过测量赋予事物一个量值，从而可以比较同一维度上的事物。基于学生已有的度量经验，以“长短猫”的魔术作为开篇，通过对“度量本质”与“角的大小度量”的思考，从角的动态定义出发，创造度量方法，再对比不同度量之间的共同点，扩展出角的度量体系，梳理出度量五部曲：明确对象——建立标准——发明工具——使用工具——获得数值，进而培养学生自觉地感受和使用计量标准的意识。
[关键词]度量;本质;量角
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2020）05-0018-02
一、为度量而发明的魔术
在全国第三期魔术种子教师培训会上，来自台湾的吴如皓老师表演了一个魔术——长短猫（如图1）：第一幅图：小红比小蓝长;第二幅图：加了一把特殊尺来比较，还是小红比小蓝长;第三幅图：让小蓝穿越魔法圈;第四幅图：变为小蓝比小红长。
这是为什么？原来，小蓝并不是真的变长了，只是因为它们摆放的位置不同，从而让人得到了错误的比较结果。
如图1所示，在第一幅图中，是用小蓝的内圈和小红的外圈比，感觉小红长一些;而在第四幅图中，是用小红的内圈和小蓝的外圈比，感觉小蓝长一些。因为每次比较的对象和方法都不同，所以看起来就会有不同的结果。正确的比较方法是：外圈和外圈比，内圈和内圈比，在同一个标准上进行比较和测量。
显然，吴老师这个魔术是为了培养学生的度量意识。他说：“让学生知道比什么、怎么比，才是最关键的。”确实，度量从本质上来讲就是一种比较，是物体和标准的比较。因此，比什么、怎么比，就显得尤为重要。
在小学阶段，角的度量是学生学习的一大难点，在刚开始学习时，学生会这样度量（如图2）。学生基于原有度量长度的经验，自然而然地想到用直尺去度量角，这无可厚非。但追根溯源，主要是他们不知道度量角的大小究竟应该度量哪里，用什么标准、什么工具去度量。这个现象引发了我们的思考：角的度量，本质是什么？
二、角的度量，本质是什么？
先看角的定义。角的定义有两种。一种是静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边;另一种是动态定义：由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形叫作角，射线的端点叫作角的顶点，起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边。教学中，大多数教师只关注了角的静态定义，而忽略了动态定义。
再看度量的本质。度量是将事物的属性量化，赋予事物一个数，从而可以在同一维度上比较事物。换句话说，度量是指出某个物体具有多少个单位的某种属性。度量角就是用一种统一的度量单位作为标准，去对某个角进行比较得出的一种数量，是对角的大小的一种描述。
其实，角的度量是指度量角的大小，也就是度量两条边张开的程度。学生在原来的认知基础上已经会度量长度和度量面积，而这里角的两条边的张开程度是一个新的度量对象，用原来的方法已经行不通了，怎么办？人们对此规定：将圆平均分为360份，将其中一份的大小命名为“1°”，再用这样的“1°”角去度量，能得到几个这样的“1°”，这个角就是几度。度，就是度量角的单位。有了度量的单位，那就需要度量的工具，于是又有了专门测量角的工具——量角器。
三、角的度量，还有其他方法吗？
除了教材中的角度制测量角的大小，还有另外三种度量角的方法。
一是弧度制。用弧长与半径之比度量对应圆心角角度的方式，叫作弧度制。等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角。同一个角，既可以用角度制表述，也可以用弧度制表述，它们之间可以换算，换算公式为：
二是百分制。此制度是法国创立米制时提出的，但未能得到推行。
三是密位制。把一圆周分成6000等份，一等份就是1密位的弧，1密位的弧对应的就是1密位的角。密位制比较精确，所以广泛地运用于军事中。
对比四种不同的度量方法，不难发现度量的共同点：先确定度量的标准单位，再累加有多少个标准单位，最后所得到的对应数值便是度量的结果。而每一种度量单位都会形成一个体系。如长度单位，基本单位就是米，当度量一个物体用米太小时，就会产生新的更大的度量单位;而当度量一个物体用米太大时，就会产生新的更小的度量单位。新单位的产生，是基于单位与单位之间的关系，也就是进率，比如1千米=1000米、1分米=10厘米等。
国际单位制（SI）中包括长度、质量、时间、温度、电流、发光强度、物质的量七个基本单位，在有了基本单位后，还有辅助单位和导出单位。无论是基本单位、辅助单位，还是导出单位，都是数学世界内部和谐的结果，能广泛地为人类运用，并且在使用过程中简单易操作。
因此，在度量物体时，具体选择哪一个标准，就需要根据物体的具体情况来定。这就需要自觉地感受和拥有使用计量标准的度量意识。
四、角的度量，究竟该怎么教学？
基于以上的认识，我进行了创造性的教学尝试。
先把与0刻度线重合的那条边命名为起点边，再旋转另一条边，旋转的那条边所在的位置就决定了角的大小。因此，旋转后的那条边所对应的量角器上的数值，便是度量的结果。
如图4-1，是从内圈开始旋转，就要看内圈的刻度，最后停在了70°的位置;如图4-2，是从外圈开始旋转，就要看外圈的度数，最后停在了110°的位置。
从知识技能上来看，学生就能很好地区分内圈和外圈，因为角已经不是静止的模样，而是经历了动态的旋转。
有意思的是，学生还创编了用量角器度量角的儿歌：先定起点边，再定终点边。从里旋转看内圈， 从外旋转看外圈。不要内圈外圈傻傻不分辨。
五、经历度量五部曲，培养度量意识
当学生掌握了用量角器度量角的方法后，教师可以引导学生思考用量角器量角和用直尺测量长度的相同或不同之处：
一是都有标准，直尺是以“1厘米”或“1分米”等单位长度为标准进行累加，而量角器是以“1°”为标准进行累加。
二是都有刻度，或者说是数值。从度量的本质上来讲，度量就是将事物的属性量化，賦予其一个数。而度量工具上的数值，正是为了方便得到具体的数，从而实现在同一维度上比较事物。
三是都借助了度量工具。量角度借助了量角器，量长度借助了直尺，它们都属于工具度量。而不同的度量工具，都有自己不同的度量方法，正确使用度量工具，才能获得正确的度量结果。比如量角器内圈和外圈的数值要分清，直尺也要注意测量起点等。
经过这样的对比沟通，学生明白了：原来我们的工具度量都要经历相同的一般流程，即明确度量对象——建立度量标准——发明度量工具——正确使用度量工具——获得一个具体数值。这样，学生在生活中遇到其他需要度量的事物时，就会调动这节课所获得的认知经验来解决问题。这就把度量技能教学的层次上升到了度量意识的培养。
由于打通了度量的本质“关节”，再回到用直尺度量角时，学生就能够知道：在后续的学习中，用直尺也能度量角的度数，但那又是一套新的度量标准的建立（弧度制）。
经过对“角的度量”与“度量本质”的深入思考，能够发现，从知识本质入手对教学对象进行思考，才能真正找到知识背后的逻辑体系，更好地帮助学生建立结构化的知识系统，打通学习的脉络，学生才能更好地去用所学知识解决新问题，教师才能从度量技能的教学上升到度量意识培养的教学。
（责编 金 铃）
[关键词]度量;本质;量角
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2020）05-0018-02
一、为度量而发明的魔术
在全国第三期魔术种子教师培训会上，来自台湾的吴如皓老师表演了一个魔术——长短猫（如图1）：第一幅图：小红比小蓝长;第二幅图：加了一把特殊尺来比较，还是小红比小蓝长;第三幅图：让小蓝穿越魔法圈;第四幅图：变为小蓝比小红长。
这是为什么？原来，小蓝并不是真的变长了，只是因为它们摆放的位置不同，从而让人得到了错误的比较结果。
如图1所示，在第一幅图中，是用小蓝的内圈和小红的外圈比，感觉小红长一些;而在第四幅图中，是用小红的内圈和小蓝的外圈比，感觉小蓝长一些。因为每次比较的对象和方法都不同，所以看起来就会有不同的结果。正确的比较方法是：外圈和外圈比，内圈和内圈比，在同一个标准上进行比较和测量。
显然，吴老师这个魔术是为了培养学生的度量意识。他说：“让学生知道比什么、怎么比，才是最关键的。”确实，度量从本质上来讲就是一种比较，是物体和标准的比较。因此，比什么、怎么比，就显得尤为重要。
在小学阶段，角的度量是学生学习的一大难点，在刚开始学习时，学生会这样度量（如图2）。学生基于原有度量长度的经验，自然而然地想到用直尺去度量角，这无可厚非。但追根溯源，主要是他们不知道度量角的大小究竟应该度量哪里，用什么标准、什么工具去度量。这个现象引发了我们的思考：角的度量，本质是什么？
二、角的度量，本质是什么？
先看角的定义。角的定义有两种。一种是静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边;另一种是动态定义：由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形叫作角，射线的端点叫作角的顶点，起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边。教学中，大多数教师只关注了角的静态定义，而忽略了动态定义。
再看度量的本质。度量是将事物的属性量化，赋予事物一个数，从而可以在同一维度上比较事物。换句话说，度量是指出某个物体具有多少个单位的某种属性。度量角就是用一种统一的度量单位作为标准，去对某个角进行比较得出的一种数量，是对角的大小的一种描述。
其实，角的度量是指度量角的大小，也就是度量两条边张开的程度。学生在原来的认知基础上已经会度量长度和度量面积，而这里角的两条边的张开程度是一个新的度量对象，用原来的方法已经行不通了，怎么办？人们对此规定：将圆平均分为360份，将其中一份的大小命名为“1°”，再用这样的“1°”角去度量，能得到几个这样的“1°”，这个角就是几度。度，就是度量角的单位。有了度量的单位，那就需要度量的工具，于是又有了专门测量角的工具——量角器。
三、角的度量，还有其他方法吗？
除了教材中的角度制测量角的大小，还有另外三种度量角的方法。
一是弧度制。用弧长与半径之比度量对应圆心角角度的方式，叫作弧度制。等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角。同一个角，既可以用角度制表述，也可以用弧度制表述，它们之间可以换算，换算公式为：
二是百分制。此制度是法国创立米制时提出的，但未能得到推行。
三是密位制。把一圆周分成6000等份，一等份就是1密位的弧，1密位的弧对应的就是1密位的角。密位制比较精确，所以广泛地运用于军事中。
对比四种不同的度量方法，不难发现度量的共同点：先确定度量的标准单位，再累加有多少个标准单位，最后所得到的对应数值便是度量的结果。而每一种度量单位都会形成一个体系。如长度单位，基本单位就是米，当度量一个物体用米太小时，就会产生新的更大的度量单位;而当度量一个物体用米太大时，就会产生新的更小的度量单位。新单位的产生，是基于单位与单位之间的关系，也就是进率，比如1千米=1000米、1分米=10厘米等。
国际单位制（SI）中包括长度、质量、时间、温度、电流、发光强度、物质的量七个基本单位，在有了基本单位后，还有辅助单位和导出单位。无论是基本单位、辅助单位，还是导出单位，都是数学世界内部和谐的结果，能广泛地为人类运用，并且在使用过程中简单易操作。
因此，在度量物体时，具体选择哪一个标准，就需要根据物体的具体情况来定。这就需要自觉地感受和拥有使用计量标准的度量意识。
四、角的度量，究竟该怎么教学？
基于以上的认识，我进行了创造性的教学尝试。
先把与0刻度线重合的那条边命名为起点边，再旋转另一条边，旋转的那条边所在的位置就决定了角的大小。因此，旋转后的那条边所对应的量角器上的数值，便是度量的结果。
如图4-1，是从内圈开始旋转，就要看内圈的刻度，最后停在了70°的位置;如图4-2，是从外圈开始旋转，就要看外圈的度数，最后停在了110°的位置。
从知识技能上来看，学生就能很好地区分内圈和外圈，因为角已经不是静止的模样，而是经历了动态的旋转。
有意思的是，学生还创编了用量角器度量角的儿歌：先定起点边，再定终点边。从里旋转看内圈， 从外旋转看外圈。不要内圈外圈傻傻不分辨。
五、经历度量五部曲，培养度量意识
当学生掌握了用量角器度量角的方法后，教师可以引导学生思考用量角器量角和用直尺测量长度的相同或不同之处：
一是都有标准，直尺是以“1厘米”或“1分米”等单位长度为标准进行累加，而量角器是以“1°”为标准进行累加。
二是都有刻度，或者说是数值。从度量的本质上来讲，度量就是将事物的属性量化，賦予其一个数。而度量工具上的数值，正是为了方便得到具体的数，从而实现在同一维度上比较事物。
三是都借助了度量工具。量角度借助了量角器，量长度借助了直尺，它们都属于工具度量。而不同的度量工具，都有自己不同的度量方法，正确使用度量工具，才能获得正确的度量结果。比如量角器内圈和外圈的数值要分清，直尺也要注意测量起点等。
经过这样的对比沟通，学生明白了：原来我们的工具度量都要经历相同的一般流程，即明确度量对象——建立度量标准——发明度量工具——正确使用度量工具——获得一个具体数值。这样，学生在生活中遇到其他需要度量的事物时，就会调动这节课所获得的认知经验来解决问题。这就把度量技能教学的层次上升到了度量意识的培养。
由于打通了度量的本质“关节”，再回到用直尺度量角时，学生就能够知道：在后续的学习中，用直尺也能度量角的度数，但那又是一套新的度量标准的建立（弧度制）。
经过对“角的度量”与“度量本质”的深入思考，能够发现，从知识本质入手对教学对象进行思考，才能真正找到知识背后的逻辑体系，更好地帮助学生建立结构化的知识系统，打通学习的脉络，学生才能更好地去用所学知识解决新问题，教师才能从度量技能的教学上升到度量意识培养的教学。
（责编 金 铃）