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一、题目呈现
数学是研究数量关系与空间形式的科学，“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们在一定条件下，可以相互补充，相互转化。因此，在数学众多思想方法中，数形结合思想是最基本也是最主要的一种。数形结合的实质是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合，或者在研究图形时，利用代数性质解决几何问题。即数形结合包括两方面：一是“以数解形”，另一个是“以形助数”。数形结合的试题覆盖面广，体现了新课标的理念及运用数学的意识。
例题：如图1，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，
（1）△ABC的面积等于；
（2）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中.用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）.
二、题目简析
本题是2013年中考数学天津卷第18题（填空题最后一题）。本题考查了正方形网格内三角形面积的计算，及锐角三角形内接最大面积的正方形的做法，难度较大。对第（1）的解答，解题关键是确定三角形的底和高，或用矩形面积减去两个小直角三角形的面积，对第（2）问的解答，首先在确定最大正方形的边落在锐角三角形的哪条边上，再作图。本题并不是考查学生简单的作图能力，而是通过数形结合思想来自主探究求解途径，考查学生对数形结合思想的理解和应用，通过对此题的解答，提高学生思维品质。
三、问题解答
（一）对第（1）问的解答
解法一：借助网格中的格点，直接确定三角形的底和高
S△ABC=■×4×3=6
解法二：借助网格中的格点，间接求，用矩形面积减去两个小直角三角形的面积
S△ABC=4×3-■×3×1=12-6=6
小结：初中阶段求平面图形的面积，常有以下方法：1.公式法：解题时一般用来计算规则图形的面积（如三角形、矩形等），2.割补法：解题时一般用来计算不规则图形的面积。本题中的两种解法一是直接用公式求，另一个是补成一个矩形来求解，相比较而言，直接求比较简便。
（二）对第（2）问的解答
1. 若正方形的边落在AB上，作出如图2所示的正方形，则△CDG∽△CAB，则■=■，设正方形DEFG的边长为x，则■=■，解得x=■，则正方形的面积S1=■≈2.94；
2. 若正方形的边落在BC上（图略），根据勾股定理得BC=■，高AQ=■=■=■，设正方形的边长为x，用类似于1的方法，求得x=■■。则正方形的面积S2=■≈2.98；
3. 若正方形的边落在AC上（图略），根据勾股定理得BQ=2■，AC=3■，设正方形的边长为x，用类似于1的方法求得x=■■。则正方形的面积S3=■=2.88。所以S2>S1>S3,
发现：面积最大的正方形如图2，正方形的边落在BC上，在这个锐角三角形的最短边上。
小结：本题中涉及到锐角三角形，由于图形过于简单，直接观察看不出什么规律，所以我们借助数的精确性，通过计算让图形中的数量关系更加明显，进而来阐述图形的属性。要注意的是对图形中的数进行计算时要做到细心准确，只有正确的数的结果才能转化为正确的形的关系。
四、解后反思
（一） 思考：是否任意的锐角三角形都有这样的结论，即：在锐角三角形内画一个充分大的正方形，正方形的边落在最短边上？
验证：如图，锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别计作a、b、c，且a 1. 若正方形的边落在BC上，如图3，设正方形的边长为m，
由相似可得：■=■，整理得：m·ha=a·ha-a·m
所以m=■
2. 若正方形的边落在AB上（图略），设正方形的边长为n，用类似（1）的方法可得：■
3. 若正方形的边落在AC上（图略），设正方形的边长为p，用类似（1）的方法可得：■
要比较三个正方形面积的大小，只需比较m、n、p的大小。
根据三角形的面积，可得：
a·ha=b·hb=c·hc
要比较m、n、p的大小，只需比较a+ha、b+hc、c+hc的大小
方法：延长BC到点D，使得BD=AB=c，
则CD=c-a，DE=ha-hc，根据斜边大于直角边，即DC>DE，
可得：c-a>ha-hc。整理得：c+hc>a+ha
同理可证，c+hc>b+hb>a+ha，所以，m>p>n
结论1：在锐角三角形中，画面积最大的正方形，其边必定落在锐角三角形最短边上。
（二）思考：是否任意的直角三角形都有这样的结论，即：在直角三角形内画一个充分大的正方形，正方形的边落在最短边上？
验证：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别计作a、b、c，且a 根据三角形的面积可得ab=c·hc，用类似4.1的方法可得
c+hc>a+b，可证得：m>n
结论2：在直角三角形中，画面积最大的正方形，其边必定落在直角三角形最短边上（即直角顶点处）。
（三）思考：是否任意的钝角三角形都有这样的结论，即：在钝角三角形内画一个充分大的正方形，正方形的边落在最短边上？
例题：在三角形ABC内画一个充分大的正方形，当正方形的边落在BC边上时，正方形边长为m（如图5），当正方形的边落在AB上时，正方形边长为n。
若BC=3，tanB=■；1. 当AB=5时，求m的值。2. 当AB=6时，求m，n的值。3. 在AB>5的钝角三角形中，AB为何值时，有mn？
解答：（1）当AB=5时，三角形ABC为直角三角形，可求得m=■
（2）当AB=6时，三角形ABC为钝角三角形，此时仍有：m=■，用类似于锐角三角形的方法可求得：n=■此时m=n
（3）当5n当AB=6时，有m=n当AB>6时，有m 结论3：钝角三角形内画一个充分大的正方形（面积最大），其边必落在哪边上不能确定，要根据具体情况而定。
结论：（1）锐角三角形内画一个充分大的正方形（面积最大），其边必落在短边上；
（2）直角三角形内画一个充分大的正方形（面积最大），其边必落在直角边上（即落在短边上）；
（3）钝角三角形内画一个充分大的正方形（面积最大），其边必落在哪边上不能确定，要根据具体情况而定。
小结：通过对这一具体问题的解答，我们将结论推广到一般情形，而对一般情况的证明，我们也是将“形”的关系用“数”来表示。虽然“形”的形象直观，但在定量方面还必须借助于代数的计算，把“形”正确的转化成“数”的形式。
我国著名的数学家华罗庚曾经说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形无数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，代数几何统一体，永远联系，切莫分离。”所以，在几何教学活动中要注意“知识”与“思想”的和谐统一，处处关注与“形”有关的“数”的性质，尝试用“数”来描述“形”，用“数”来刻画“形”，真正做到数形结合。
数学是研究数量关系与空间形式的科学，“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们在一定条件下，可以相互补充，相互转化。因此，在数学众多思想方法中，数形结合思想是最基本也是最主要的一种。数形结合的实质是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合，或者在研究图形时，利用代数性质解决几何问题。即数形结合包括两方面：一是“以数解形”，另一个是“以形助数”。数形结合的试题覆盖面广，体现了新课标的理念及运用数学的意识。
例题：如图1，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，
（1）△ABC的面积等于；
（2）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中.用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）.
二、题目简析
本题是2013年中考数学天津卷第18题（填空题最后一题）。本题考查了正方形网格内三角形面积的计算，及锐角三角形内接最大面积的正方形的做法，难度较大。对第（1）的解答，解题关键是确定三角形的底和高，或用矩形面积减去两个小直角三角形的面积，对第（2）问的解答，首先在确定最大正方形的边落在锐角三角形的哪条边上，再作图。本题并不是考查学生简单的作图能力，而是通过数形结合思想来自主探究求解途径，考查学生对数形结合思想的理解和应用，通过对此题的解答，提高学生思维品质。
三、问题解答
（一）对第（1）问的解答
解法一：借助网格中的格点，直接确定三角形的底和高
S△ABC=■×4×3=6
解法二：借助网格中的格点，间接求，用矩形面积减去两个小直角三角形的面积
S△ABC=4×3-■×3×1=12-6=6
小结：初中阶段求平面图形的面积，常有以下方法：1.公式法：解题时一般用来计算规则图形的面积（如三角形、矩形等），2.割补法：解题时一般用来计算不规则图形的面积。本题中的两种解法一是直接用公式求，另一个是补成一个矩形来求解，相比较而言，直接求比较简便。
（二）对第（2）问的解答
1. 若正方形的边落在AB上，作出如图2所示的正方形，则△CDG∽△CAB，则■=■，设正方形DEFG的边长为x，则■=■，解得x=■，则正方形的面积S1=■≈2.94；
2. 若正方形的边落在BC上（图略），根据勾股定理得BC=■，高AQ=■=■=■，设正方形的边长为x，用类似于1的方法，求得x=■■。则正方形的面积S2=■≈2.98；
3. 若正方形的边落在AC上（图略），根据勾股定理得BQ=2■，AC=3■，设正方形的边长为x，用类似于1的方法求得x=■■。则正方形的面积S3=■=2.88。所以S2>S1>S3,
发现：面积最大的正方形如图2，正方形的边落在BC上，在这个锐角三角形的最短边上。
小结：本题中涉及到锐角三角形，由于图形过于简单，直接观察看不出什么规律，所以我们借助数的精确性，通过计算让图形中的数量关系更加明显，进而来阐述图形的属性。要注意的是对图形中的数进行计算时要做到细心准确，只有正确的数的结果才能转化为正确的形的关系。
四、解后反思
（一） 思考：是否任意的锐角三角形都有这样的结论，即：在锐角三角形内画一个充分大的正方形，正方形的边落在最短边上？
验证：如图，锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别计作a、b、c，且a
由相似可得：■=■，整理得：m·ha=a·ha-a·m
所以m=■
2. 若正方形的边落在AB上（图略），设正方形的边长为n，用类似（1）的方法可得：■
3. 若正方形的边落在AC上（图略），设正方形的边长为p，用类似（1）的方法可得：■
要比较三个正方形面积的大小，只需比较m、n、p的大小。
根据三角形的面积，可得：
a·ha=b·hb=c·hc
要比较m、n、p的大小，只需比较a+ha、b+hc、c+hc的大小
方法：延长BC到点D，使得BD=AB=c，
则CD=c-a，DE=ha-hc，根据斜边大于直角边，即DC>DE，
可得：c-a>ha-hc。整理得：c+hc>a+ha
同理可证，c+hc>b+hb>a+ha，所以，m>p>n
结论1：在锐角三角形中，画面积最大的正方形，其边必定落在锐角三角形最短边上。
（二）思考：是否任意的直角三角形都有这样的结论，即：在直角三角形内画一个充分大的正方形，正方形的边落在最短边上？
验证：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别计作a、b、c，且a
c+hc>a+b，可证得：m>n
结论2：在直角三角形中，画面积最大的正方形，其边必定落在直角三角形最短边上（即直角顶点处）。
（三）思考：是否任意的钝角三角形都有这样的结论，即：在钝角三角形内画一个充分大的正方形，正方形的边落在最短边上？
例题：在三角形ABC内画一个充分大的正方形，当正方形的边落在BC边上时，正方形边长为m（如图5），当正方形的边落在AB上时，正方形边长为n。
若BC=3，tanB=■；1. 当AB=5时，求m的值。2. 当AB=6时，求m，n的值。3. 在AB>5的钝角三角形中，AB为何值时，有m
解答：（1）当AB=5时，三角形ABC为直角三角形，可求得m=■
（2）当AB=6时，三角形ABC为钝角三角形，此时仍有：m=■，用类似于锐角三角形的方法可求得：n=■此时m=n
（3）当5
结论：（1）锐角三角形内画一个充分大的正方形（面积最大），其边必落在短边上；
（2）直角三角形内画一个充分大的正方形（面积最大），其边必落在直角边上（即落在短边上）；
（3）钝角三角形内画一个充分大的正方形（面积最大），其边必落在哪边上不能确定，要根据具体情况而定。
小结：通过对这一具体问题的解答，我们将结论推广到一般情形，而对一般情况的证明，我们也是将“形”的关系用“数”来表示。虽然“形”的形象直观，但在定量方面还必须借助于代数的计算，把“形”正确的转化成“数”的形式。
我国著名的数学家华罗庚曾经说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形无数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，代数几何统一体，永远联系，切莫分离。”所以，在几何教学活动中要注意“知识”与“思想”的和谐统一，处处关注与“形”有关的“数”的性质，尝试用“数”来描述“形”，用“数”来刻画“形”，真正做到数形结合。