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[摘 要]在“平行四边形的面积”的教学中，首先应让学生验证等底等高的平行四边形的面积大小一样，积累割补法活动经验；然后利用直观操作解决平行四边形面积大小与斜边长度无关，与底和高有关的问题；接着利用方格纸引导学生观察：底边、斜边长度不变，随着高的变化，平行四边形的面积也随之变化；最后，引导学生探究平行四边形面积的计算方法。这样实施教学，可让学生经历公式的推导过程，实现由数学直观认识到几何思维的空间发展，在图形转化中体会等积变换思想，培养核心素养。
[关键词]公式推导； 核心素养；平行四边形的面积
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）26-0035-02
图形面积公式的推导是“图形与几何”领域中的重点内容之一。公式是刻板的，而公式的再创造过程却是鲜活、生动、有趣的。怎样让学生理解平行四边形的面积与底和高有关，与斜边无关，是“平行四边形的面积”一课的教学难点。探究平行四边形的面积计算公式是本节课的教学重点。初次教学，笔者这样进行教学设计。
【教学片段一】
师（出示铺平行四边形草坪的情境图，引导学生解读信息）：怎么求这个平行四边形草坪的面积？
生1：底乘高。（因为设置了预习环节，所以学生能轻易回答）
师：是吗？那为什么平行四边形的面积大小与斜边无关呢？
生1：……（看来生1是知其然而不知所以然）
师（出示可活动的平行四边形）：拉动平行四边形的对角，大家仔細观察，什么不变，什么变了。（让学生直观认识到底不变，斜边不变，可高变了，面积的大小也随之改变）
【反思】铺草坪的情境虽来源于生活，却不是源于学生的内心需求。上课伊始就提出用“底乘高”计算平行四边形面积，虽然学生已了解平行四边形的面积计算公式，但他们还处于懵懂的记忆状态，当面对“平行四边形的面积大小为什么与斜边无关”的问题时就会手足无措，不知从何入手。接着借助可活动的平行四边形，拉动平行四边形的对角，让学生观察什么不变，什么变了的学习过程，从表面上看，学生似乎掌握了平行四边形的面积与底和高有关，与斜边无关，然而这样的设计却无法将学生的想法展现出来。仔细分析，上述教学应做如下改进。
1.情境创设除关注“生活味”外更应关注“数学味”，引发学生的探究欲望。
2.问题设计应讲究开放且立意深远，避免学生沿着套路走或将学生的思维逼进死胡同。
3.应处理好数学直观与抽象思维的关系。
在一次教研活动中，富有创新精神的周老师提出了一个全新的教学设计，并与大家分享，他设计的探索活动很有创意且有研究价值，令人耳目一新。具体如下。
【教学片段二】
（课前要求学生剪一个等底等高的平行四边形，并带到课堂上来。课堂上，先组织学生观察各个平行四边形的形状，再引导学生讨论问题）
师：等底等高的平行四边形的形状为什么各不相同？
生1：因为斜边倾斜度不同，所以平行四边形有的胖，有的瘦。
师：比较“胖的”平行四边形面积与“瘦的”的平行四边形面积，你有什么发现？
（学生小组讨论、研究，很快发现它们的面积相等）
师：你们是怎么知道它们面积相等的？
组1：我们利用剪拼法。先把1号和2号两个平行四边形沿底边对齐，找出两个图形的重叠部分。将2号图形与1号图形不重叠的部分剪下，发现它与1号图形的多出部分完全重合。
组2：我们的方法与组1类似，只是我们没有剪拼，而是折出2号图形的多出部分，再与1号图形的多出部分重叠，也是完全重合。
……
师：看来不管斜边如何变化，这些等底等高的平行四边形面积都相等。平行四边形的面积与斜边无关，那与什么有关呢？
生2：底和高。
师：怎么计算平行四边形的面积？
（学生尝试剪拼，将平行四边形转化成长方形，进而求出其面积）
【反思】周老师让学生带来课前制作好的指定底和高的平行四边形是点睛之笔。情境创设关注“等底等高的平行四边形的形状是可以不同的”。这个活动的设计比笔者的课前预习设计更有利于让学生产生认知冲突——等底等高的平行四边形面积一样吗？其次，教师通过“比较‘胖的’平行四边形面积与‘瘦的’的平行四边形的面积，你有什么发现？”这一问题引导学生利用“出入相补”原理动手操作探究，使学生在推导平行四边形的面积公式时对其面积大小与斜边无关这一关键知识点印象深刻。
【收获】综合上述两个教学片段，笔者有了以下点滴收获。
一、创设“裸情境”，引发认知冲突
对比两个情境创设，教学片段一创设铺草坪的生活情境，抽象出求平行四边形的面积问题。情境立足生活问题，但缺乏学生内心需求的驱动力，无法有效激发学生探究的欲望。教学片段二创设有价值的直击探究问题的“裸情境”：通过让学生制作等底等高的平行四边形，引发学生的认知冲突——等底等高的平行四边形的形状可能不同，这些平行四边形的面积一样吗？这个有价值的“裸情境”，直逼数学本质，可有效激发学生的好奇心和探究欲望。
二、设计“大问题”，引领深度探究
众所周知，将平行四边形转化为长方形，根据长方形的面积公式可有效推导出平行四边形的面积公式。可如何设计才能引导学生深入思考核心问题，为学生继续探究三角形、梯形、圆的面积公式奠定基础呢？
教学片段一中，教师的问题设计牵引的痕迹太明显，学生只能跟着教师的思维走。教学片段二围绕“等底等高的平行四边形的形状为什么各不相同？”“怎么计算平行四边形的面积？”问题安排学生的学习活动，与教学片段一的学生活动相比，显然更重视动手实践、自主探索和合作交流。教学片段二中两个基于学生真实问题开展的学习活动，使学生能够经历观察、比较、猜想、验证的深度学习过程，从而积累探究经验，发展数学思维。
三、把握核心内容，沟通整体联系
平行四边形的面积公式推导，缘于“怎样将一个平行四边形转化为长方形？”。怎样让学生观察平行四边形底边、斜边、高的变与不变并与平行四边形面积的变化关联起来，产生将平行四边形转化为长方形的念头，是本节课的重难点所在。结合两个教学片段，笔者认为本节课的教学可这样改进：1.制作等底等高的平行四边形若干个，引导学生比较其面积大小；2.利用方格纸观察可活动的平行四边形的面积变化；3.尝试探究计算平行四边形的面积。
这样的教学思路能引导学生沟通图形面积知识（思维）的整体联系。首先，验证等底等高的平行四边形面积大小一样，积累割补法活动经验。利用直观操作解决平行四边形面积大小与斜边长度无关，与底和高有关的问题。接着，利用方格纸引导学生观察“底边、斜边不变，高变化，平行四边形的面积也随之变化”，学生再次验证猜想。第三，在探究平行四边形面积的计算方法时，有了前面割补法（数方格）的经验，学生便会产生将平行四边形转化为长方形的念头。这样改进，可让学生利用经验迁移，经历平行四边形面积计算公式的推导过程，实现学生由数学直观认识到几何思维发展的转化，在图形转化中体会等积变换思想，从而培养学生的核心素养。
（责编 黄春香）
[关键词]公式推导； 核心素养；平行四边形的面积
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）26-0035-02
图形面积公式的推导是“图形与几何”领域中的重点内容之一。公式是刻板的，而公式的再创造过程却是鲜活、生动、有趣的。怎样让学生理解平行四边形的面积与底和高有关，与斜边无关，是“平行四边形的面积”一课的教学难点。探究平行四边形的面积计算公式是本节课的教学重点。初次教学，笔者这样进行教学设计。
【教学片段一】
师（出示铺平行四边形草坪的情境图，引导学生解读信息）：怎么求这个平行四边形草坪的面积？
生1：底乘高。（因为设置了预习环节，所以学生能轻易回答）
师：是吗？那为什么平行四边形的面积大小与斜边无关呢？
生1：……（看来生1是知其然而不知所以然）
师（出示可活动的平行四边形）：拉动平行四边形的对角，大家仔細观察，什么不变，什么变了。（让学生直观认识到底不变，斜边不变，可高变了，面积的大小也随之改变）
【反思】铺草坪的情境虽来源于生活，却不是源于学生的内心需求。上课伊始就提出用“底乘高”计算平行四边形面积，虽然学生已了解平行四边形的面积计算公式，但他们还处于懵懂的记忆状态，当面对“平行四边形的面积大小为什么与斜边无关”的问题时就会手足无措，不知从何入手。接着借助可活动的平行四边形，拉动平行四边形的对角，让学生观察什么不变，什么变了的学习过程，从表面上看，学生似乎掌握了平行四边形的面积与底和高有关，与斜边无关，然而这样的设计却无法将学生的想法展现出来。仔细分析，上述教学应做如下改进。
1.情境创设除关注“生活味”外更应关注“数学味”，引发学生的探究欲望。
2.问题设计应讲究开放且立意深远，避免学生沿着套路走或将学生的思维逼进死胡同。
3.应处理好数学直观与抽象思维的关系。
在一次教研活动中，富有创新精神的周老师提出了一个全新的教学设计，并与大家分享，他设计的探索活动很有创意且有研究价值，令人耳目一新。具体如下。
【教学片段二】
（课前要求学生剪一个等底等高的平行四边形，并带到课堂上来。课堂上，先组织学生观察各个平行四边形的形状，再引导学生讨论问题）
师：等底等高的平行四边形的形状为什么各不相同？
生1：因为斜边倾斜度不同，所以平行四边形有的胖，有的瘦。
师：比较“胖的”平行四边形面积与“瘦的”的平行四边形面积，你有什么发现？
（学生小组讨论、研究，很快发现它们的面积相等）
师：你们是怎么知道它们面积相等的？
组1：我们利用剪拼法。先把1号和2号两个平行四边形沿底边对齐，找出两个图形的重叠部分。将2号图形与1号图形不重叠的部分剪下，发现它与1号图形的多出部分完全重合。
组2：我们的方法与组1类似，只是我们没有剪拼，而是折出2号图形的多出部分，再与1号图形的多出部分重叠，也是完全重合。
……
师：看来不管斜边如何变化，这些等底等高的平行四边形面积都相等。平行四边形的面积与斜边无关，那与什么有关呢？
生2：底和高。
师：怎么计算平行四边形的面积？
（学生尝试剪拼，将平行四边形转化成长方形，进而求出其面积）
【反思】周老师让学生带来课前制作好的指定底和高的平行四边形是点睛之笔。情境创设关注“等底等高的平行四边形的形状是可以不同的”。这个活动的设计比笔者的课前预习设计更有利于让学生产生认知冲突——等底等高的平行四边形面积一样吗？其次，教师通过“比较‘胖的’平行四边形面积与‘瘦的’的平行四边形的面积，你有什么发现？”这一问题引导学生利用“出入相补”原理动手操作探究，使学生在推导平行四边形的面积公式时对其面积大小与斜边无关这一关键知识点印象深刻。
【收获】综合上述两个教学片段，笔者有了以下点滴收获。
一、创设“裸情境”，引发认知冲突
对比两个情境创设，教学片段一创设铺草坪的生活情境，抽象出求平行四边形的面积问题。情境立足生活问题，但缺乏学生内心需求的驱动力，无法有效激发学生探究的欲望。教学片段二创设有价值的直击探究问题的“裸情境”：通过让学生制作等底等高的平行四边形，引发学生的认知冲突——等底等高的平行四边形的形状可能不同，这些平行四边形的面积一样吗？这个有价值的“裸情境”，直逼数学本质，可有效激发学生的好奇心和探究欲望。
二、设计“大问题”，引领深度探究
众所周知，将平行四边形转化为长方形，根据长方形的面积公式可有效推导出平行四边形的面积公式。可如何设计才能引导学生深入思考核心问题，为学生继续探究三角形、梯形、圆的面积公式奠定基础呢？
教学片段一中，教师的问题设计牵引的痕迹太明显，学生只能跟着教师的思维走。教学片段二围绕“等底等高的平行四边形的形状为什么各不相同？”“怎么计算平行四边形的面积？”问题安排学生的学习活动，与教学片段一的学生活动相比，显然更重视动手实践、自主探索和合作交流。教学片段二中两个基于学生真实问题开展的学习活动，使学生能够经历观察、比较、猜想、验证的深度学习过程，从而积累探究经验，发展数学思维。
三、把握核心内容，沟通整体联系
平行四边形的面积公式推导，缘于“怎样将一个平行四边形转化为长方形？”。怎样让学生观察平行四边形底边、斜边、高的变与不变并与平行四边形面积的变化关联起来，产生将平行四边形转化为长方形的念头，是本节课的重难点所在。结合两个教学片段，笔者认为本节课的教学可这样改进：1.制作等底等高的平行四边形若干个，引导学生比较其面积大小；2.利用方格纸观察可活动的平行四边形的面积变化；3.尝试探究计算平行四边形的面积。
这样的教学思路能引导学生沟通图形面积知识（思维）的整体联系。首先，验证等底等高的平行四边形面积大小一样，积累割补法活动经验。利用直观操作解决平行四边形面积大小与斜边长度无关，与底和高有关的问题。接着，利用方格纸引导学生观察“底边、斜边不变，高变化，平行四边形的面积也随之变化”，学生再次验证猜想。第三，在探究平行四边形面积的计算方法时，有了前面割补法（数方格）的经验，学生便会产生将平行四边形转化为长方形的念头。这样改进，可让学生利用经验迁移，经历平行四边形面积计算公式的推导过程，实现学生由数学直观认识到几何思维发展的转化，在图形转化中体会等积变换思想，从而培养学生的核心素养。
（责编 黄春香）