反比例函数是函数世界中十分重要的部分,也是中考的重要考点.在解与反比例函数有关的试题时,要根据题中的条件、图形特点,巧用概念及性质使复杂问题简单化,达到轻松解题的目的.
　　
　　一、巧用反比例函数的定义
　　例1 (2009年莆田考题)如图1,在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5,过点A1、A2、A3、A4、A5分别作x轴的垂线与反比例函数 y=(x≠0)的图像相交于点P1、P2、P3、P4、P5,得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、A3P4A4、A4P5A5并设其面积分别为S1、S2、S3、S4、S5,则S5的值为_____.
　　
　　解析:设P1的坐标为(x1,y1),将P5的坐标用含x1、y1的代数式表示出来,再利用反比例函数的定义及三角形面积公式即可求得S5的值.
　　设P1的坐标为(x1,y1),则P5的横坐标为5x1,又因为P5在反比例函数y=图像上, 所以P5的纵坐标为y1,所以S5= A4A5 ×P5A5=×x1×y1=
　　x1 y1 ,因为x1y1=2,所以S5=.
　　点拨:把反比例函数的定义与三角形面积有机结合是解决本题的关键.
　　二、巧用反比例函数的增减性比大小
　　例2 (2009年梧州考题)已知点A(x1,y1 )、
　　B(x2,y2 )是反比例函数 y=(k>0)图像上的两点,若x1<0　　A.y1< 0 　　C.y1< y2 < 0 D.y2< y1 < 0
　　解析:因为反比例函数y=的比例系数k>0,所以其图像分布在第一、三象限,又因为在每个象限内y随x的增大而减少,且x1<0　　点拨:掌握反比例函数图像的性质是解决问题的关键.
　　
　　三、巧用反比例函数图像的对称性
　　例3 (2009年益阳考题)如图2,反比例函数y=(k<0)的图像与经过原点的直线l相交于A、B两点,已知A点坐标为(-2,1),那么B点的坐标为___________.
　　
　　 解析:解本题的常规方法是先求出直线l的解析式,通过解由直线l和反比例函数解析式所组成的方程组,从而求得点B坐标,这会使计算过程相对繁琐.根据反比例函数图像的中心对称性可知,A、B两点关于原点成中心对称,所以求得B点的坐标为(2,-1).
　　点拨:反比例函数的图像是轴对称图形,当反比例函数图像位于第一、三象限时,其对称轴是y=-x,当反比例函数图像位于第二、四象限时,其对称轴是y=x,同时反比例函数又是中心对称图形,原点是其对称中心.
　　
　　四、巧用反比例函数系数的几何意义
　　例4 (2009年牡丹江考题)如图3,点A、B是双曲线y=上的点,分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段,若S阴影=1,则S1+S2=_________.
　　
　　解析:由反比例函数k的几何意义可知,S1与阴影部分的面积和为3,S2与阴影部分的面积和也为3,因为阴影部分的面积为1,所以S1的面积为2,S2的面积为2,因此S1+S2=4.
　　
　　点拨:在反比例函数y= (k≠0)中,系数k的几何意义是过反比例函数y= (k≠0)图像上任一点P 作x轴、y轴的垂线PM 、PN (如图4所示),则矩形PMON 的面积S=PM•PN=xy=xy .因为y=,所以k=xy,所以S=k.即过双曲线上任意一点作x轴、y 轴的垂线,所得的矩形面积值为常数k的绝对值 .
　　在解有关反比例函数的面积问题时,若能灵活运用反比例函数中k的几何意义,会让解题变得容易.
　　五、巧用数形结合思想
　　例5 (2006年天津考题)已知正比例函数y=kx(k≠0)和反比例函数y=的图像都经过点(4,2).
　　(1)求这两个函数的解析式;
　　(2)这两个函数图像还有其他交点吗?若有,请求出交点的坐标;若没有,请说明理由.
　　解析:求函数解析式可将已知点的坐标代入解析式中,分别求出k、m的值即可;判断两个函数图像是否有交点,可利用数形结合思想,画出两个函数的图像,从而直观地得出答案.
　　(1)∵点(4,2)在正比例函数y=kx的图像上,
　　∴2=4k,即k= ,
　　∴正比例函数的解析式为y=x.
　　又∵点(4,2)在反比例函数y= 的图像上,
　　∴2=,即m=8,
　　∴反比例函数的解析式为y= .
　　(2)画出(1)中求得的两个函数的图像如图5,可见该正比例函数与反比例函数图像有2个交点,由反比例函数是中心对称性图形可知,另一个交点坐标为(-4,-2).
　　
　　点拨:本题的解法很多,在第(2)问中,与列方程组来求另一个交点坐标相比较,利用数形结合思想及反比例函数的中心对称性解题避免了复杂繁琐的运算,简捷明快.