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【关键词】推理能力；规律；探索规律；和与积的奇偶性
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）26-0058-03
【作者简介】王海峰，江苏省南通师范学校第二附属小学（江苏南通，226001）副校长，一级教师，南通市数学学科带头人，江苏省小学数学基本功大赛一等奖获得者。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们在学习和生活中经常使用的思维方式。发展小学生的推理能力是小学数学教学的重要任务之一。基于此，各个版本的小学数学教材除了系统编排常规的数学知识外，还精心安排了各种“探索规律”的教学内容，这些内容责无旁贷地成为发展学生推理能力的重要载体。“探索规律”的教学究竟应该关注什么？“探索规律”的教学是否也存在一定的规律？下面，笔者以苏教版五下《和与积的奇偶性》一课为例，谈谈自己的教学实践与思考。
“和与积的奇偶性”是教材基于“因数和倍数”单元的学习，精心安排的探索规律的教学内容，旨在让学生通过举例、观察、比较和归纳，发现和与积的奇偶性规律，积累探索规律的经验，发展推理能力。从英国科学哲学家迈克尔·波兰尼的默会认识论的角度来看，对于和与积的奇偶性规律是什么，学生不难发现和归纳，也可以准确地描述和表达，属于明确知识。而对于为什么会有这样的规律，以及在探索规律过程中的经验积累和能力提升，则很难直接而充分地表达，也很难直接传授和传播，这些显然是默会知识。相对于明确知识而言，默会知识的习得对学生思维和行为的影响更大。
因此，探索规律的教学，要让学生真正实现从“双基”到“四基”的跨越，就要让这些默会知识不再继续沉默。让学生通过多种方式领悟和与积的奇偶性的内涵，在主动探索规律的过程中感悟探索规律的方法，积累探索规律的经验，应是本节课的教学重点和难点。基于以上认识，笔者对这节课进行了如下建构，也尝试着对“探索规律”教学的规律进行了梳理和总结。
一、规律肯定是“藏”起来的
课始，创设悬疑情境：班级图书角一本新书有一页被撕掉了，借阅者小杰说他清楚记得被撕掉的那一张正反两页的页码和是138，他完全没必要把它撕下来。小杰说谎了吗？
生1：我觉得不是小杰撕的，他都能背下来页码，确实没有必要再撕下来。（很多学生点头表示赞同）
生2：我感觉小杰说谎了，他说正反两页的页码和是138，我算了算，好像没有两个连续自然数加起来的和是138。
生3：我也发现了，正反两页一个是奇数，一个是偶数，奇数加偶数的和一定是奇数，不可能是偶数。
师：你们能从数学的角度思考这个问题，非常好！两个自然数的和是奇数还是偶数，其中确实蕴藏着一些规律，今天这节课我们就一起来研究和与积的奇偶性。（板书课题）
规律是事物之间内在的必然联系，它决定着事物发展的趋向。规律往往“躲藏”在现象背后，需要深入挖掘才会浮现出来。因此，如何让学生由表及里、自然而然地生发探索规律的欲望，往往是探索规律教学的关键。在本节课之前，学生对于加法和乘法算式，更多关注的是和与积的结果，而很少关注和与积的奇偶性，更不会发现和与积的奇偶性存在的规律。课始，通过创设悬疑情境，既激发了学生的学习热情，又引入本节课的探究，让学生的注意力很自然地从关注具体结果转移到关注结果的奇偶性上来。
二、规律首先是“猜”出来的
师：你们觉得，两个自然数相加的和是奇数还是偶数，与什么有关？
学生通过思考与交流，明确和的奇偶性与两个加数的奇偶性有关，与两个加数是质数还是合数或者两个加数的大小无关。
师：两个自然数相加，根据加数的奇偶性分类，一共有哪几种情况？对于每种情况，你能提出你的猜测吗？
生：我感觉奇数 奇数=偶数，偶数 偶数=偶数，奇数 偶数=奇数。不信的话大家可以举一些例子进行验证。
师：举例验证的确可以帮助我们很快揭开规律的面纱。下面就请同学们任意列举一些算式，验证自己的猜测。
牛顿曾说：没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。猜想和验证是很重要的数学研究方法，也是培养学生合情推理能力和初步的演绎推理能力的重要途径。对于两个加数和的奇偶性，学生可以借助之前学习所积累的经验，很轻松地提出自己的猜测，并以一些加法算式为例，初步验证自己的猜测。在学生充分交流并初步肯定自己的猜测之后，教师带领学生深入思考和的奇偶性规律背后的道理，迈开了探索规律的第一步。
三、规律应该是“悟”出来的
师：刚才大家通过举例验证了和的奇偶性规律。但我们全班总共也就举了一百多个例子，会不会在某个角落藏着一个算式，是不符合我们发现的规律的？我们能不能想办法弄清它的内在道理呢？
学生先独立思考，然后小组讨论，教师组织学生交流想法。
生：我觉得不一定要列举很多算式来证明，假设有两筐苹果，一筐有奇数个，一筐有偶数个，现在把两筐苹果两个两个地用纸包起来，偶数那筐正好包完，奇数那筐包到最后一定还剩一个，所以奇数加偶数的结果是奇数。
师：真聪明，不举具体的算式了，通过生活中的例子，形象地解释了奇数加偶数等于奇数。还有不同的想法吗？
生：我有办法证明奇数加奇数等于偶数，我从第一个奇数中拿出1给第二个奇数，这样两个数都变成了偶数，偶数加偶数结果一定还是偶数。
师：有道理，不过前提是我们要确认偶数加偶数等于偶数是正确的。谁能说服我偶数加偶数一定等于偶数？
生：偶数加偶数等于偶数不需要证明，因为第一个数是2的倍数，第二个数也是2的倍数，我们可以用乘法分配律把公因数2提取出来，所以它们的和一定是2的倍数。
生：我们小组认为，要确认和的奇偶性规律，不需要把所有的加法算式全部列举出来。其实，一个数是奇数还是偶数是由它个位上的数字决定的，我们只要把0～9这10个数字相加的情况都列举出来，就能证明所有的情况了。 师：大家觉得有道理吗？通过大家刚才的交流，我们现在还需要在列举之后再进行证明吗？
生（齐答）：不需要！
在学生充分交流的基础上，教师课件呈现下图，带领学生通过数形结合再次强化对规律的内涵的理解。
学生并不难发现和的奇偶性规律，但为什么会存在这样的规律？它的内涵是什么？则需要学生通过多种方式进行领悟，只有真正悟出了规律的内在道理，学生发现的客观存在的规律才能真正内化为他们思维内在的规律。本环节，先让学生讨论交流，充分体验用举例说明、抽象、演绎等方法描述规律的过程，再通过数形结合，直观感受规律内在的道理，通过多种方式，让学生真正领悟规律的内涵。
四、规律可以是“用”出来的
教师接着出示：23 16 35，同桌两人互相说一说，指名汇报。
生1：我们可以算出这3个数相加的结果，从而判断和的奇偶性。
生2：我觉得可以运用刚才发现的两个数相加和的奇偶性规律，先判断出23 16的和是奇数，再判断“奇数 35”的和是偶数。
师总结：也就是说，三个数相加，也可以通过运用两次两个数相加和的奇偶性规律，判断出三个数相加和的奇偶性。
教师继续课件出示：68 104 26、171 93 245。
生1：第一题的结果是偶数，因为前两个偶数相加的和是偶数，第三个数还是偶数，偶数加偶数，结果还是偶数。
生2：我觉得如果再加几个偶数，结果还是偶数，也就是说不管多少个偶数相加，结果还是偶数。
师：及时发现，及时总结，而且有理有据，真棒！第二个算式呢？
生3：第二题的结果是奇数，因为前两个奇数相加的和是偶数，第三个数还是奇数，偶数加奇数，结果是奇数。
生4：我估计和偶数类似，不管多少个奇数相加，结果还是奇数。
生5：我不同意，比如第二题再加一个奇数，结果就变成偶数了。
生6：我发现如果一个算式中全部是奇数，关键要看奇数的个数，如果有奇数个奇数，结果就是奇数，如果有偶数个奇数，结果就是偶数。
师：这个猜测很大胆，能说说你的理由吗？
生6：因为奇数个奇数，可以两个奇数两个奇数地配对，每一对的结果都是偶数，但最后还会多出来一个奇数，前面若干对奇数的和是偶数，偶数加最后多出来的奇数，结果一定是奇数。
师：很有道理，那偶数个奇数的结果，谁能像他一样说清楚道理？
生7：偶数个奇数，可以两个奇数两个奇数地配对，每一对的和都是偶数，最后正好配完没有剩余，不管有多少个偶数，相加的结果一定是偶数。
生8：我把他们的发现合并起来又有新的发现，一个加法算式和的奇偶性与加法算式中偶数的个数没有关系，关键看这个算式中奇数的个数，如果有奇数个奇数，和就是奇数，如果有偶数个奇数，和就是偶数。
师：同学们的发现真是太精彩、太到位了！你们已经把和的奇偶性规律全部探索出来了。请大家运用你们发现的规律，判断1 2 3 …… 99 100的和是奇数还是偶数。
探索规律的教学绝不会止步于总结出规律，必须让学生运用规律解决问题，而在运用规律的过程中，往往会有新的发现，从而丰富原有的规律，发现新的规律。这一环节，教师设计的三个连加算式，看似平淡、随意，实际上独具匠心、层层递进。第一道算式让学生明白只要掌握了两个数相加和的奇偶性规律，就可以通过多次运用，判断多个数相加和的奇偶性规律。第二道算式让学生自主总结发现，无论多少个偶数相加，和一定是偶数。第三道算式让学生先由第二道算式产生负迁移，发现错误的结论，再通过深入研究得出若干个奇数相加的和的奇偶性规律。在此基础上，学生很顺利地总结出任意个数相加的和的奇偶性规律。学生在用中学，在学中用，教学过程由学生的思维过程推动，规律也在运用的过程中不断完善和丰富。
五、规律必须是“找”出来的
师：刚才，我们通过观察、猜测、验证、解释和运用，发现了和的奇偶性规律。由此，你还能联想到什么？
生：减法、乘法和除法的结果是不是也有类似的规律？
师：如果要研究积的奇偶性，你打算怎么研究？
生1：我想像研究和的奇偶性一样，先写几个乘法算式，看看计算结果是奇数还是偶数，然后再寻找积的奇偶性有什么规律。
生2：我觉得规律找出来之后，还要想一想为什么会有这样的规律。
师：看来你们不仅学会了和的奇偶性规律，还掌握了探索规律的规律，非常棒！下面就请同学们以学习小组为单位，按照刚才两位同学所说的研究思路，探索积的奇偶性规律。
在课的最后环节，教师不再步步陪同，而是放手让学生自己去探索积的奇偶性规律。规律只有让学生自己“找”出来，才真正属于他们。
数学是研究数量关系和空间形式的科学。可以说，数学学习的过程离不开对数量关系和空间形式的规律的探寻。探索规律的过程是不断明晰数学思想方法、逼近数学本质的过程，是培养合情推理和演绎推理能力、发展创新意识和品质的过程。探索规律的教学必须首先明确规律的隐蔽性，通过激趣、猜测、验证、领悟、运用等多个环节的“光合作用”，才能让规律在学生心中生根、发芽，也才能让探索规律的过程在学生以后的学习、生活中开花、结果。
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）26-0058-03
【作者简介】王海峰，江苏省南通师范学校第二附属小学（江苏南通，226001）副校长，一级教师，南通市数学学科带头人，江苏省小学数学基本功大赛一等奖获得者。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们在学习和生活中经常使用的思维方式。发展小学生的推理能力是小学数学教学的重要任务之一。基于此，各个版本的小学数学教材除了系统编排常规的数学知识外，还精心安排了各种“探索规律”的教学内容，这些内容责无旁贷地成为发展学生推理能力的重要载体。“探索规律”的教学究竟应该关注什么？“探索规律”的教学是否也存在一定的规律？下面，笔者以苏教版五下《和与积的奇偶性》一课为例，谈谈自己的教学实践与思考。
“和与积的奇偶性”是教材基于“因数和倍数”单元的学习，精心安排的探索规律的教学内容，旨在让学生通过举例、观察、比较和归纳，发现和与积的奇偶性规律，积累探索规律的经验，发展推理能力。从英国科学哲学家迈克尔·波兰尼的默会认识论的角度来看，对于和与积的奇偶性规律是什么，学生不难发现和归纳，也可以准确地描述和表达，属于明确知识。而对于为什么会有这样的规律，以及在探索规律过程中的经验积累和能力提升，则很难直接而充分地表达，也很难直接传授和传播，这些显然是默会知识。相对于明确知识而言，默会知识的习得对学生思维和行为的影响更大。
因此，探索规律的教学，要让学生真正实现从“双基”到“四基”的跨越，就要让这些默会知识不再继续沉默。让学生通过多种方式领悟和与积的奇偶性的内涵，在主动探索规律的过程中感悟探索规律的方法，积累探索规律的经验，应是本节课的教学重点和难点。基于以上认识，笔者对这节课进行了如下建构，也尝试着对“探索规律”教学的规律进行了梳理和总结。
一、规律肯定是“藏”起来的
课始，创设悬疑情境：班级图书角一本新书有一页被撕掉了，借阅者小杰说他清楚记得被撕掉的那一张正反两页的页码和是138，他完全没必要把它撕下来。小杰说谎了吗？
生1：我觉得不是小杰撕的，他都能背下来页码，确实没有必要再撕下来。（很多学生点头表示赞同）
生2：我感觉小杰说谎了，他说正反两页的页码和是138，我算了算，好像没有两个连续自然数加起来的和是138。
生3：我也发现了，正反两页一个是奇数，一个是偶数，奇数加偶数的和一定是奇数，不可能是偶数。
师：你们能从数学的角度思考这个问题，非常好！两个自然数的和是奇数还是偶数，其中确实蕴藏着一些规律，今天这节课我们就一起来研究和与积的奇偶性。（板书课题）
规律是事物之间内在的必然联系，它决定着事物发展的趋向。规律往往“躲藏”在现象背后，需要深入挖掘才会浮现出来。因此，如何让学生由表及里、自然而然地生发探索规律的欲望，往往是探索规律教学的关键。在本节课之前，学生对于加法和乘法算式，更多关注的是和与积的结果，而很少关注和与积的奇偶性，更不会发现和与积的奇偶性存在的规律。课始，通过创设悬疑情境，既激发了学生的学习热情，又引入本节课的探究，让学生的注意力很自然地从关注具体结果转移到关注结果的奇偶性上来。
二、规律首先是“猜”出来的
师：你们觉得，两个自然数相加的和是奇数还是偶数，与什么有关？
学生通过思考与交流，明确和的奇偶性与两个加数的奇偶性有关，与两个加数是质数还是合数或者两个加数的大小无关。
师：两个自然数相加，根据加数的奇偶性分类，一共有哪几种情况？对于每种情况，你能提出你的猜测吗？
生：我感觉奇数 奇数=偶数，偶数 偶数=偶数，奇数 偶数=奇数。不信的话大家可以举一些例子进行验证。
师：举例验证的确可以帮助我们很快揭开规律的面纱。下面就请同学们任意列举一些算式，验证自己的猜测。
牛顿曾说：没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。猜想和验证是很重要的数学研究方法，也是培养学生合情推理能力和初步的演绎推理能力的重要途径。对于两个加数和的奇偶性，学生可以借助之前学习所积累的经验，很轻松地提出自己的猜测，并以一些加法算式为例，初步验证自己的猜测。在学生充分交流并初步肯定自己的猜测之后，教师带领学生深入思考和的奇偶性规律背后的道理，迈开了探索规律的第一步。
三、规律应该是“悟”出来的
师：刚才大家通过举例验证了和的奇偶性规律。但我们全班总共也就举了一百多个例子，会不会在某个角落藏着一个算式，是不符合我们发现的规律的？我们能不能想办法弄清它的内在道理呢？
学生先独立思考，然后小组讨论，教师组织学生交流想法。
生：我觉得不一定要列举很多算式来证明，假设有两筐苹果，一筐有奇数个，一筐有偶数个，现在把两筐苹果两个两个地用纸包起来，偶数那筐正好包完，奇数那筐包到最后一定还剩一个，所以奇数加偶数的结果是奇数。
师：真聪明，不举具体的算式了，通过生活中的例子，形象地解释了奇数加偶数等于奇数。还有不同的想法吗？
生：我有办法证明奇数加奇数等于偶数，我从第一个奇数中拿出1给第二个奇数，这样两个数都变成了偶数，偶数加偶数结果一定还是偶数。
师：有道理，不过前提是我们要确认偶数加偶数等于偶数是正确的。谁能说服我偶数加偶数一定等于偶数？
生：偶数加偶数等于偶数不需要证明，因为第一个数是2的倍数，第二个数也是2的倍数，我们可以用乘法分配律把公因数2提取出来，所以它们的和一定是2的倍数。
生：我们小组认为，要确认和的奇偶性规律，不需要把所有的加法算式全部列举出来。其实，一个数是奇数还是偶数是由它个位上的数字决定的，我们只要把0～9这10个数字相加的情况都列举出来，就能证明所有的情况了。 师：大家觉得有道理吗？通过大家刚才的交流，我们现在还需要在列举之后再进行证明吗？
生（齐答）：不需要！
在学生充分交流的基础上，教师课件呈现下图，带领学生通过数形结合再次强化对规律的内涵的理解。
学生并不难发现和的奇偶性规律，但为什么会存在这样的规律？它的内涵是什么？则需要学生通过多种方式进行领悟，只有真正悟出了规律的内在道理，学生发现的客观存在的规律才能真正内化为他们思维内在的规律。本环节，先让学生讨论交流，充分体验用举例说明、抽象、演绎等方法描述规律的过程，再通过数形结合，直观感受规律内在的道理，通过多种方式，让学生真正领悟规律的内涵。
四、规律可以是“用”出来的
教师接着出示：23 16 35，同桌两人互相说一说，指名汇报。
生1：我们可以算出这3个数相加的结果，从而判断和的奇偶性。
生2：我觉得可以运用刚才发现的两个数相加和的奇偶性规律，先判断出23 16的和是奇数，再判断“奇数 35”的和是偶数。
师总结：也就是说，三个数相加，也可以通过运用两次两个数相加和的奇偶性规律，判断出三个数相加和的奇偶性。
教师继续课件出示：68 104 26、171 93 245。
生1：第一题的结果是偶数，因为前两个偶数相加的和是偶数，第三个数还是偶数，偶数加偶数，结果还是偶数。
生2：我觉得如果再加几个偶数，结果还是偶数，也就是说不管多少个偶数相加，结果还是偶数。
师：及时发现，及时总结，而且有理有据，真棒！第二个算式呢？
生3：第二题的结果是奇数，因为前两个奇数相加的和是偶数，第三个数还是奇数，偶数加奇数，结果是奇数。
生4：我估计和偶数类似，不管多少个奇数相加，结果还是奇数。
生5：我不同意，比如第二题再加一个奇数，结果就变成偶数了。
生6：我发现如果一个算式中全部是奇数，关键要看奇数的个数，如果有奇数个奇数，结果就是奇数，如果有偶数个奇数，结果就是偶数。
师：这个猜测很大胆，能说说你的理由吗？
生6：因为奇数个奇数，可以两个奇数两个奇数地配对，每一对的结果都是偶数，但最后还会多出来一个奇数，前面若干对奇数的和是偶数，偶数加最后多出来的奇数，结果一定是奇数。
师：很有道理，那偶数个奇数的结果，谁能像他一样说清楚道理？
生7：偶数个奇数，可以两个奇数两个奇数地配对，每一对的和都是偶数，最后正好配完没有剩余，不管有多少个偶数，相加的结果一定是偶数。
生8：我把他们的发现合并起来又有新的发现，一个加法算式和的奇偶性与加法算式中偶数的个数没有关系，关键看这个算式中奇数的个数，如果有奇数个奇数，和就是奇数，如果有偶数个奇数，和就是偶数。
师：同学们的发现真是太精彩、太到位了！你们已经把和的奇偶性规律全部探索出来了。请大家运用你们发现的规律，判断1 2 3 …… 99 100的和是奇数还是偶数。
探索规律的教学绝不会止步于总结出规律，必须让学生运用规律解决问题，而在运用规律的过程中，往往会有新的发现，从而丰富原有的规律，发现新的规律。这一环节，教师设计的三个连加算式，看似平淡、随意，实际上独具匠心、层层递进。第一道算式让学生明白只要掌握了两个数相加和的奇偶性规律，就可以通过多次运用，判断多个数相加和的奇偶性规律。第二道算式让学生自主总结发现，无论多少个偶数相加，和一定是偶数。第三道算式让学生先由第二道算式产生负迁移，发现错误的结论，再通过深入研究得出若干个奇数相加的和的奇偶性规律。在此基础上，学生很顺利地总结出任意个数相加的和的奇偶性规律。学生在用中学，在学中用，教学过程由学生的思维过程推动，规律也在运用的过程中不断完善和丰富。
五、规律必须是“找”出来的
师：刚才，我们通过观察、猜测、验证、解释和运用，发现了和的奇偶性规律。由此，你还能联想到什么？
生：减法、乘法和除法的结果是不是也有类似的规律？
师：如果要研究积的奇偶性，你打算怎么研究？
生1：我想像研究和的奇偶性一样，先写几个乘法算式，看看计算结果是奇数还是偶数，然后再寻找积的奇偶性有什么规律。
生2：我觉得规律找出来之后，还要想一想为什么会有这样的规律。
师：看来你们不仅学会了和的奇偶性规律，还掌握了探索规律的规律，非常棒！下面就请同学们以学习小组为单位，按照刚才两位同学所说的研究思路，探索积的奇偶性规律。
在课的最后环节，教师不再步步陪同，而是放手让学生自己去探索积的奇偶性规律。规律只有让学生自己“找”出来，才真正属于他们。
数学是研究数量关系和空间形式的科学。可以说，数学学习的过程离不开对数量关系和空间形式的规律的探寻。探索规律的过程是不断明晰数学思想方法、逼近数学本质的过程，是培养合情推理和演绎推理能力、发展创新意识和品质的过程。探索规律的教学必须首先明确规律的隐蔽性，通过激趣、猜测、验证、领悟、运用等多个环节的“光合作用”，才能让规律在学生心中生根、发芽，也才能让探索规律的过程在学生以后的学习、生活中开花、结果。