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一堂优秀的小学数学课，教师在讲好有关知识的同时，还有必要讲清楚其纵横两方面的联系：纵向方面，即揭示知识的背景及其延伸；横向方面，即阐述同类知识之间的分化及联系。在本文中，笔者试从这两个方面进行阐述。
一、纵向方面
任何一个知识点都不是孤立存在的，它联结着其他无数知识内容。数学也不例外。但是，在教学过程中，教师普遍关注的只是引导学生去发现这些知识是如何从生活中抽象出来的，忽视了其他方面的联系，往往会使学生孤立地看待这一个知识点，无法理解有关数学知识的发展脉络，造成学生学科知识不扎实。因此，在教学过程中必须注意如下三点。
1． 揭示数学知识的学习背景
学习背景是学生进行后续学习的重要因素。唯有一定的知识铺垫，学生才能较好地掌握新的知识内容。遗憾的是，小学数学教材是混合编排的，往往是独立成章，缺乏承上启下的有机联系。例如，上一单元是关于数与代数的内容，下一单元却是空间与图形。这样便割裂了知识之间的联系，使学生只能孤立地看待每一章的知识内容，不利于他们理解数学思想的发展过程。因此，在教授新知识时，引导学生联系学习背景是相当必要的。它可以把一系列的知识串联起来，建立完整的知识体系，帮助学生理清思路，融会贯通，形成比较完整的数学思想。
以分数应用题为例。因为这是一个独立的单元，学生总是把它与整数应用题孤立开来，学得非常吃力，即使是第一学段学得比较好的部分学生，也不能完全清楚地理解分数应用题的意义。如果在教学分数应用题之前，先让学生解答整数应用题，如“足球有20个，篮球的个数是足球的3倍，篮球有多少个？”得到学生的正确回答以后，再问：“如果篮球的个数不够足球的1倍，而仅仅是足球的1/5，该怎么解答呢？”这样，可以让学生明白，分数应用题与整数应用题在某种程度上来说是一致的，因为它们都是有理数。如是，就降低了学生的学习难度，也使得他们明白数学知识之间的承继关系，并学会由此及彼的思想方法，有利于学生深层次地思考数学问题。
2．对数学知识进行拓展
数学知识的拓展表现在课堂上往往是联系生活实际，体现“从生活中来到生活中去”这一理念。这是数学实用性的理论。但是，我们不得不承认，在数学领域中，更多的是纯理论的演绎推理，它无关乎生活实际。因为数学的“研究对象是一切抽象结构——所有可能的关系与形式”。[1]我们如果过分地强调数学的实用性，会使学生对数学产生一种误解，以为数学仅仅是解决实际生活问题的一种工具。这种以偏概全的认识，无疑不利于提高学生学习的兴趣，甚至会不利于他们日后在这一方面的成长与发展。因为数学中的许多概念，在生活中是很难找到原型的。因此，在课堂上，教师如果能够在适当的条件下因时制宜地对数学知识进行纯理论拓展，对于学生全方位地认识数学学科的思想，应该是有所助益的。
在上“分数的基本性质”这一课时，一位教师在讲解主要内容以后，在学生们听得津津有味之时，很自然地给他们介绍“集合”与“数列”：“把1/2的分子和分母同时乘以2、3、4、5……组成一个数列，形成一个集合。”并初步进行讲解，然后让学生选择其中的一个分数作为这个集合的“代表”。由是，学生们的兴趣更浓了，纷纷举手要求回答。集合与数列本是中学阶段才教学的内容，但这位教师在五年级的课堂上加以介绍，却丝毫不显得牵强。这样，不仅增加了本堂课的知识容量，拓展了数学思想的深度，也为学生展现了一个不同寻常的数学世界，让学生了解到数学文化的神奇，进一步激发他们对数学学习的兴趣。由此可见，适当地拓展知识内容，加深学生对数学学科的整体认知，对于调动学生学习的积极性是十分有利的。
3．渗透数学思想
无论是联系学习背景，还是拓展教学内容，都必须寻找一条适当的途径。这条途径或是数学学科的发展脉络，或是数学知识的综合内容。因为小学生的知识积淀毕竟有限，教师应该以数学思想来联系有关知识，丰富数学课堂的知识容量。但是，在联系知识的同时，应该注意引导学生对这些知识点进行分析比较，使学生发现其中所蕴含的数学思想。唯有如此，学生才能知其然并知其所以然，才会在今后的学习中以数学眼光去看待问题、分析问题、解决问题。
“三角形的面积”教学设计，普遍都是先回忆平行四边形的面积公式，再引导学生去发现两个相同的三角形可以拼成一个平行四边形，由此得出三角形的面积公式是S=ah÷2。大多数教师到此就结束了。然而，如果能在这一基础上，介绍“转化”这一数学思想，再进一步介绍数学中应用转化思想解决问题的例子，那么，这堂课学生学到的就不仅仅是三角形的面积公式，而且对数学思想也有了较深刻的了解。一位教师曾在课堂上进行了这一尝试，学生们兴趣盎然，下课后还有一些学生留下来与他交流。
因此，在教学过程中，我们不应该只着眼于单一的知识内容，而要把它放在整个数学学科的大背景下，以点连线，以点带面，帮助学生理清数学学科的思想内涵，进而了解数学文化的精神。
二、横向方面
在数学学科乃至于所有的学科中，都有部分内容或是呈现的知识形态相近、或是使用的思想方法相同而可以把它们归为同一类。它们或存在于同种学科之中，或者存在于不同学科之间。因此，在教学中如果能够对这些相似的知识点进行联系、分析，区分其中的异同，必将有助于扩展学生数学思维的深度和广度。对此，我们可以从以下三方面进行探讨。
1．准确地阐述知识内涵
数学知识的抽象性和理论性，是人们很难用生活中的事例来圆满解释的。然而在教学中，我们采用的大多是举例归纳的方法，这样得到的通常只是一个模糊的结果，而非准确的结论，与数学的本质背道而驰。因为“数学的本质就在于，凡是可以进行证明的地方，就要使用证明而不用归纳来确证。”[2]以“数的奇偶性”一课为例，多数教师都是让学生随意举出几个奇数相加，然后引导学生去发现其共性——结果都是偶数，便得出了“奇数＋奇数=偶数”这个结论。这样的做法是不严密的。因为数是无穷的，而所举的例子却是有限的，没有举到的例子并不代表它们不存在。那么，如何才能够证明所有的奇数加奇数都等于偶数呢？一位教师设计了两个方格板（见图1、图2）。然后，他引导学生去发现，如果方格数是奇数，方格板最上方永远是单个的，如图1；如果是偶数，方格板最上方的方格则是两个（即偶数），如图2；而当两个奇数相加时就成了偶数，如图3。
以有限的方格板演绎无限的数字，完美地证明了数的奇偶变化，充分地体现了数学的严密性，也使得学生深刻地体会到数形结合的妙处，准确地理解数学思想方法。因此，在数学学习之时，首先应该了解该知识的内涵，然后选择恰当的方式准确无误地进行阐述。唯有如此，才能让学生从数学思想的高度确切地掌握该知识点，并了解哪些是同类知识。
2．区分同类数学知识之间的异同
联系同类知识是日常教学中所采用的较为普遍的方法。因为许多数学知识在表现方式上有着极为相似的结构，如商不变的性质和分数的基本性质。对此，教师若能引导学生分析其中的异同点，将有助于学生的理解和记忆；而有一些知识点，外在的表现形式毫不相同，但均采取同一种数学思想方法解决，教师更应该有意识地引领学生进行综合分类，使学生理解其中的数学思想，从而达到事半功倍的效果。
“几何形体的表面积计算”复习课是在学习长方体、正方体和圆柱体表面积计算后的整理与复习。在复习了这三者的计算方法以后（它们的表面积相等），一位教师引导学生思考：“为什么它们的表面积相等？什么变了？什么不变？”从而让学生领会到：虽然三者的形状不同，但是其侧面展开图都是长方形，底面周长相等，因此都可以用“底面周长×高”来计算它们的表面积。然后，再让学生进一步运用“变与不变”的数学思想分析以前学过的知识，对有关同类知识进行宽领域的整合。在这一过程中，学生初步体会到了从特殊到一般的抽象过程。此后，教师再慢慢地引导他们以此类推，找出同类知识的异同之处。以后的测试表明，学生对有关知识的掌握还是比较牢固的。由此可见，有意识地引导学生区分同类知识，能够完善学生的认知结构，让学生学会透过现象认识本质，达到温故而知新的目的。笔者以为，这种方法，在复习课中应该可以常用。
3．联系其他学科知识
数学与其他学科之间有着千丝万缕的联系，北京师范大学出版社出版的教材就安排了“体育中的数学”等综合实践内容。即使是语文学科，虽然它的整体思维方式与数学截然不同，但在某些方面，也有与数学契合的地方。因此，在数学课中，我们偶尔会见到语文的影子。例如，在教学“倒数”时，有些教师就会先举一些文字，如“吴、吞”“呆、杏”之后再引入新课。但是，这些仅仅在外形特点上与倒数类似，其中所蕴含的思想并无相似之处，未免有点美中不足。因此，在联系其他学科时，我们应该从思想高度出发，找准两者的共同点。
一位教师在教授“分数基本性质”这一课时，在讲明分数的基本性质即“形变本质不变”这一数学思想之后，举了奥运会图标（“京”字的变形），让学生说说为什么要变形，由于北京奥运会乃是学生耳熟能详的盛事，因而学生一下子就说出了要点。随后，教师适时地进一步问分数为什么要变形，由于有了前面的铺垫，同学们马上就说出了可以解决异分母分数不容易计算的难题。在这一堂课中，教师还很简单地列举了自然界及哲学中的有关例子。虽然，这位教师并没有刻意点明艺术、自然、哲学与数学之间的联系，但是由于它们和这一堂课的数学思想有相通的地方，所以在学习过程中，学生自然而然就会了解到数学与其他学科之间的关系。因此，我们看到，学生的兴趣高涨，许多看似难懂的问题学生都能准确地解答出来。如此潜移默化，也就会逐渐拓宽学生的知识面。可见，适当地联系其他学科知识，不仅能够使数学课堂更具有文化气息，而且能够帮助学生多维度地理解数学文化的内涵，从而提高学生的数学素养和文化底蕴。
综上所述，在数学教学过程中，我们可以根据有关内容，以数学思想为主线，帮助学生沟通有关知识的纵向联系和横向联系，使之成为一个立体的知识模块，必将有利于提高学生的学习兴趣，掌握有关知识，学好数学这一门课程。
参考文献：
[1]张景中.数学与哲学[M].北京：中国少年儿童出版社，2003.
[2][德]G
一、纵向方面
任何一个知识点都不是孤立存在的，它联结着其他无数知识内容。数学也不例外。但是，在教学过程中，教师普遍关注的只是引导学生去发现这些知识是如何从生活中抽象出来的，忽视了其他方面的联系，往往会使学生孤立地看待这一个知识点，无法理解有关数学知识的发展脉络，造成学生学科知识不扎实。因此，在教学过程中必须注意如下三点。
1． 揭示数学知识的学习背景
学习背景是学生进行后续学习的重要因素。唯有一定的知识铺垫，学生才能较好地掌握新的知识内容。遗憾的是，小学数学教材是混合编排的，往往是独立成章，缺乏承上启下的有机联系。例如，上一单元是关于数与代数的内容，下一单元却是空间与图形。这样便割裂了知识之间的联系，使学生只能孤立地看待每一章的知识内容，不利于他们理解数学思想的发展过程。因此，在教授新知识时，引导学生联系学习背景是相当必要的。它可以把一系列的知识串联起来，建立完整的知识体系，帮助学生理清思路，融会贯通，形成比较完整的数学思想。
以分数应用题为例。因为这是一个独立的单元，学生总是把它与整数应用题孤立开来，学得非常吃力，即使是第一学段学得比较好的部分学生，也不能完全清楚地理解分数应用题的意义。如果在教学分数应用题之前，先让学生解答整数应用题，如“足球有20个，篮球的个数是足球的3倍，篮球有多少个？”得到学生的正确回答以后，再问：“如果篮球的个数不够足球的1倍，而仅仅是足球的1/5，该怎么解答呢？”这样，可以让学生明白，分数应用题与整数应用题在某种程度上来说是一致的，因为它们都是有理数。如是，就降低了学生的学习难度，也使得他们明白数学知识之间的承继关系，并学会由此及彼的思想方法，有利于学生深层次地思考数学问题。
2．对数学知识进行拓展
数学知识的拓展表现在课堂上往往是联系生活实际，体现“从生活中来到生活中去”这一理念。这是数学实用性的理论。但是，我们不得不承认，在数学领域中，更多的是纯理论的演绎推理，它无关乎生活实际。因为数学的“研究对象是一切抽象结构——所有可能的关系与形式”。[1]我们如果过分地强调数学的实用性，会使学生对数学产生一种误解，以为数学仅仅是解决实际生活问题的一种工具。这种以偏概全的认识，无疑不利于提高学生学习的兴趣，甚至会不利于他们日后在这一方面的成长与发展。因为数学中的许多概念，在生活中是很难找到原型的。因此，在课堂上，教师如果能够在适当的条件下因时制宜地对数学知识进行纯理论拓展，对于学生全方位地认识数学学科的思想，应该是有所助益的。
在上“分数的基本性质”这一课时，一位教师在讲解主要内容以后，在学生们听得津津有味之时，很自然地给他们介绍“集合”与“数列”：“把1/2的分子和分母同时乘以2、3、4、5……组成一个数列，形成一个集合。”并初步进行讲解，然后让学生选择其中的一个分数作为这个集合的“代表”。由是，学生们的兴趣更浓了，纷纷举手要求回答。集合与数列本是中学阶段才教学的内容，但这位教师在五年级的课堂上加以介绍，却丝毫不显得牵强。这样，不仅增加了本堂课的知识容量，拓展了数学思想的深度，也为学生展现了一个不同寻常的数学世界，让学生了解到数学文化的神奇，进一步激发他们对数学学习的兴趣。由此可见，适当地拓展知识内容，加深学生对数学学科的整体认知，对于调动学生学习的积极性是十分有利的。
3．渗透数学思想
无论是联系学习背景，还是拓展教学内容，都必须寻找一条适当的途径。这条途径或是数学学科的发展脉络，或是数学知识的综合内容。因为小学生的知识积淀毕竟有限，教师应该以数学思想来联系有关知识，丰富数学课堂的知识容量。但是，在联系知识的同时，应该注意引导学生对这些知识点进行分析比较，使学生发现其中所蕴含的数学思想。唯有如此，学生才能知其然并知其所以然，才会在今后的学习中以数学眼光去看待问题、分析问题、解决问题。
“三角形的面积”教学设计，普遍都是先回忆平行四边形的面积公式，再引导学生去发现两个相同的三角形可以拼成一个平行四边形，由此得出三角形的面积公式是S=ah÷2。大多数教师到此就结束了。然而，如果能在这一基础上，介绍“转化”这一数学思想，再进一步介绍数学中应用转化思想解决问题的例子，那么，这堂课学生学到的就不仅仅是三角形的面积公式，而且对数学思想也有了较深刻的了解。一位教师曾在课堂上进行了这一尝试，学生们兴趣盎然，下课后还有一些学生留下来与他交流。
因此，在教学过程中，我们不应该只着眼于单一的知识内容，而要把它放在整个数学学科的大背景下，以点连线，以点带面，帮助学生理清数学学科的思想内涵，进而了解数学文化的精神。
二、横向方面
在数学学科乃至于所有的学科中，都有部分内容或是呈现的知识形态相近、或是使用的思想方法相同而可以把它们归为同一类。它们或存在于同种学科之中，或者存在于不同学科之间。因此，在教学中如果能够对这些相似的知识点进行联系、分析，区分其中的异同，必将有助于扩展学生数学思维的深度和广度。对此，我们可以从以下三方面进行探讨。
1．准确地阐述知识内涵
数学知识的抽象性和理论性，是人们很难用生活中的事例来圆满解释的。然而在教学中，我们采用的大多是举例归纳的方法，这样得到的通常只是一个模糊的结果，而非准确的结论，与数学的本质背道而驰。因为“数学的本质就在于，凡是可以进行证明的地方，就要使用证明而不用归纳来确证。”[2]以“数的奇偶性”一课为例，多数教师都是让学生随意举出几个奇数相加，然后引导学生去发现其共性——结果都是偶数，便得出了“奇数＋奇数=偶数”这个结论。这样的做法是不严密的。因为数是无穷的，而所举的例子却是有限的，没有举到的例子并不代表它们不存在。那么，如何才能够证明所有的奇数加奇数都等于偶数呢？一位教师设计了两个方格板（见图1、图2）。然后，他引导学生去发现，如果方格数是奇数，方格板最上方永远是单个的，如图1；如果是偶数，方格板最上方的方格则是两个（即偶数），如图2；而当两个奇数相加时就成了偶数，如图3。
以有限的方格板演绎无限的数字，完美地证明了数的奇偶变化，充分地体现了数学的严密性，也使得学生深刻地体会到数形结合的妙处，准确地理解数学思想方法。因此，在数学学习之时，首先应该了解该知识的内涵，然后选择恰当的方式准确无误地进行阐述。唯有如此，才能让学生从数学思想的高度确切地掌握该知识点，并了解哪些是同类知识。
2．区分同类数学知识之间的异同
联系同类知识是日常教学中所采用的较为普遍的方法。因为许多数学知识在表现方式上有着极为相似的结构，如商不变的性质和分数的基本性质。对此，教师若能引导学生分析其中的异同点，将有助于学生的理解和记忆；而有一些知识点，外在的表现形式毫不相同，但均采取同一种数学思想方法解决，教师更应该有意识地引领学生进行综合分类，使学生理解其中的数学思想，从而达到事半功倍的效果。
“几何形体的表面积计算”复习课是在学习长方体、正方体和圆柱体表面积计算后的整理与复习。在复习了这三者的计算方法以后（它们的表面积相等），一位教师引导学生思考：“为什么它们的表面积相等？什么变了？什么不变？”从而让学生领会到：虽然三者的形状不同，但是其侧面展开图都是长方形，底面周长相等，因此都可以用“底面周长×高”来计算它们的表面积。然后，再让学生进一步运用“变与不变”的数学思想分析以前学过的知识，对有关同类知识进行宽领域的整合。在这一过程中，学生初步体会到了从特殊到一般的抽象过程。此后，教师再慢慢地引导他们以此类推，找出同类知识的异同之处。以后的测试表明，学生对有关知识的掌握还是比较牢固的。由此可见，有意识地引导学生区分同类知识，能够完善学生的认知结构，让学生学会透过现象认识本质，达到温故而知新的目的。笔者以为，这种方法，在复习课中应该可以常用。
3．联系其他学科知识
数学与其他学科之间有着千丝万缕的联系，北京师范大学出版社出版的教材就安排了“体育中的数学”等综合实践内容。即使是语文学科，虽然它的整体思维方式与数学截然不同，但在某些方面，也有与数学契合的地方。因此，在数学课中，我们偶尔会见到语文的影子。例如，在教学“倒数”时，有些教师就会先举一些文字，如“吴、吞”“呆、杏”之后再引入新课。但是，这些仅仅在外形特点上与倒数类似，其中所蕴含的思想并无相似之处，未免有点美中不足。因此，在联系其他学科时，我们应该从思想高度出发，找准两者的共同点。
一位教师在教授“分数基本性质”这一课时，在讲明分数的基本性质即“形变本质不变”这一数学思想之后，举了奥运会图标（“京”字的变形），让学生说说为什么要变形，由于北京奥运会乃是学生耳熟能详的盛事，因而学生一下子就说出了要点。随后，教师适时地进一步问分数为什么要变形，由于有了前面的铺垫，同学们马上就说出了可以解决异分母分数不容易计算的难题。在这一堂课中，教师还很简单地列举了自然界及哲学中的有关例子。虽然，这位教师并没有刻意点明艺术、自然、哲学与数学之间的联系，但是由于它们和这一堂课的数学思想有相通的地方，所以在学习过程中，学生自然而然就会了解到数学与其他学科之间的关系。因此，我们看到，学生的兴趣高涨，许多看似难懂的问题学生都能准确地解答出来。如此潜移默化，也就会逐渐拓宽学生的知识面。可见，适当地联系其他学科知识，不仅能够使数学课堂更具有文化气息，而且能够帮助学生多维度地理解数学文化的内涵，从而提高学生的数学素养和文化底蕴。
综上所述，在数学教学过程中，我们可以根据有关内容，以数学思想为主线，帮助学生沟通有关知识的纵向联系和横向联系，使之成为一个立体的知识模块，必将有利于提高学生的学习兴趣，掌握有关知识，学好数学这一门课程。
参考文献：
[1]张景中.数学与哲学[M].北京：中国少年儿童出版社，2003.
[2][德]G