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【摘要】“探索规律”的教学不是仅仅为了对规律本身的理解和掌握，还要引导学生经历探究规律的过程，激发学生学习数学的兴趣。《多边形的内角和》教学具体说明了在“探索规律”的教学中应做到关注探究过程，积累活动经验；培养问题意识，提升思维品质；渗透数学思想，彰显数学魅力。
【关键词】活动经验；数学思想；问题意识；探索规律
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）25-0059-03
【作者简介】杜建军，江苏省沭阳县第二实验小学（江苏沭阳，223600）教科室主任，高级教师，宿迁市数学学科带头人，江苏省教育科研先进个人。
“探索规律”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的基本课程内容之一。苏教版教材从三年级起，在每一册教材里都安排一次有明确主题和内容的探索规律专题活动，其教学目标不是指向规律本身的理解和掌握，而是注重引导学生经历探究规律的过程，主要目的是让学生在探索规律的过程中初步学会用数学的眼光去观察世界，用数学的语言去解释现象，用数学的方式思考问题，不断积累数学学习的经验，发展数学素养。下面，笔者以苏教版四下《多边形的内角和》教学为例，谈谈对探索规律教学的一些思考与实践。
一、揭示课题，提出问题
出示课题：多边形的内角和。
提问：对于多边形及内角和，你们已经知道些什么？还想再研究些什么？
引导：你们对这些问题打算怎样进行研究呢？
谈话：这种从简单入手、有序思考的研究策略是一种很好的学习方法。我国古代思想家老子这样说过：“天下难事，必作于易。”它的意思就是说，比较困难的事情，都要从简单的事情做起。今天就让咱们从比较简单的图形——四边形开始研究。
课始的提问唤醒了学生原有的知识经验，架起新旧知识间的桥梁，通过“你们打算怎样进行研究”引导学生自己去寻找研究方法，初步渗透由简单到复杂的探究策略。
二、选择策略，研究个案
1.探究四边形的内角和。
提问：在我们学过的图形中，有哪些是四边形？在这些图形中，你能一眼看出哪个图形的内角和呢？你是怎样知道的？
引导：猜一猜，任意四边形的内角和是多少度？数学学习离不开大胆的猜想，同时也得进行科学验证。请同学们拿出课前发放的红色四边形图片（图1），想办法求出它的内角和。
这里选择直角梯形作为学具，其中有两个角是直角，另两个角分别是120°和60°，便于有些学生用测量的办法求出其内角和。这里把直角梯形当作一般的四边形让学生进行度量和计算，得出360°为一般四边形的内角和。
操作：學生用不同方法进行验证。
汇报：请用不同方法验证的同学到讲台前来汇报，明确测量的方法有时会产生误差，重点引导学生理解为什么可以用分割法。
追问：像这样将四边形分割为两个三角形以后，原来四边形的四个角都“躲”到哪去了呢？
引导学生发现分割后两个三角形的内角的总和就是原来四边形的内角和。
谈话：我们把四边形的内角和转化为两个三角形的内角总和。原来，不用量也能求出四边形的内角和。
比较：刚才我们用测量法、分割法分别求出了四边形的内角和，现在你觉得哪种方法更为简单呢？
追问：任意一个四边形是否都能转化成两个三角形呢？
演示：利用几何画板课件演示四边形的变化情况，让学生发现任意四边形都可以分割为两个三角形。
小结：从特殊的四边形——长方形、正方形的内角和引发猜想，并举例验证，从而得出一般的结论。由特殊到一般，是获取结论的重要方法。
对四边形内角和的探究是本节课探究活动的重点，让学生在课堂上通过对不同验证方法的比较，感受分割法的简便，初步体会可以将四边形转化成两个三角形来计算其内角和。同时让学生通过回顾对四边形内角和的研究，体会从特殊到一般的研究方法。
2.探究五边形、六边形的内角和。
提问：接下来，你想研究几边形的内角和？
引导：要求五边形、六边形的内角和，你能运用研究四边形内角和的方法也来试一试吗？请同学们拿出画有五边形和六边形的操作纸，想一想，分一分，并算出每个图形的内角和。
汇报：让两名学生到台前汇报。
引导：我发现大多数同学都是从同一个顶点出发向其他顶点连线，这样分割有什么好处呢？
小结：有序操作和思考也是数学学习的重要方法。
通过观察比较，让学生体会到从一个顶点出发，向与它不相邻的顶点连线分割最为有序方便，引导学生学会更加合理的分割方法。
三、发现规律，建立模型
1.任意多边形的内角和。
提问：对于其他多边形，是否也能像刚才那样将它们分割成一些三角形呢？
小组合作，任意画一些多边形，试一试。
小结：任意一个多边形都能分割成一些三角形。
2.探索多边形内角和的计算方法。
提问：如果要求一百边形或边数更多的多边形内角和，要不要将这样的多边形画出来进行研究？多边形的内角和还有什么奥秘呢？
引导：观察刚才的研究记录，你有什么发现？你能通过刚才的研究找出多边形内角和的秘密吗？在小组里说一说。
提问：多边形的内角和与什么有关？你能用一个式子表示多边形的内角和吗？
汇报得出：多边形的内角和=（多边形的边数-2）×180°。
谈话：同学们真了不起！人类经过多年的探究才发现的规律，我们仅在短短一节课中就发现了其中的秘密。
通过让学生求一百边形的内角和激发学生的探究欲望，抓住“多边形的内角和与什么有关？”这一核心问题，引导学生发现多边形的内角和与多边形边数的关系，将学生的思维引向更深处。通过谈话让学生感受数学探究的乐趣，获得快乐的情感体验，增强其数学学习的信心。 四、回顾反思，积累经验
提问：回顾我们刚才探索和发现规律的过程，你有哪些收获和体会？
总结：这节课，我们从特殊到一般，把复杂的问题转化为简单的问题，让我们在今后的学习中，自觉运用这样的思想方法，更加智慧地去学习数学，相信你一定会发现数学中更多的奥秘！
在回顾反思环节，引导学生从知识本身、探究过程中的思考方法及数学思想等三个不同层面进行反思，激发学生的学习兴趣，感受运用转化思想解决问题的价值，为学生今后的数学学习埋下数学思想的种子。
【教后反思】
《多边形的内角和》是苏教版四下“探究规律”专题活动内容，是在学生已经认识了三角形、平行四边形和梯形，知道三角形的内角和是180°、平行四边形的内角和是360°等知识的基础上进行的教学。在教学设计的理念上，笔者力求体现以下三点：
1.关注探究过程，积累活动经验。
本节课作为探索规律的专题内容，教学中不是直接将方法呈现给学生，而是引导学生自己找到解决问题的方法。课中让学生通过观察、操作、归纳、类比等一系列活动，引导学生充分经历从特殊到一般、从简单到复杂的探究过程，自主发现多边形的内角和与边数之间的关系，从而获得计算多边形内角和的一般方法，积累数学活动经验。
通过活动，不仅要让学生计算出多边形的内角和，还要让学生概括求多边形内角和的计算方法，并初步用数学模型来表示。在试教的过程中笔者发现，学生虽然能计算出多边形的内角和是多少度，但让他们总结出求多边形内角和的算法还具有一定困难。为了克服这一困难，我让学生分别把四边形、五边形、六边形……的“边数”“分成三角形的个数”“内角和”等数据依次填入表中，这样容易得出以下结论：图形的边数越多，分成三角形的个数就越多，内角和的度数也就越大；多边形分成三角形的个数总是比它的边数少2；多边形的内角和一定是180°的倍数。这些发现都是概括多边形内角和计算方法的感性认识，让学生在活动的过程中，不断积累活动经验。
2.培养问题意识，提升思维品质。
“问题”是建构课堂的“脚手架”，决定了学生思维的方向。本节课不仅要让学生经历分析问题、解决问题的过程，还要鼓励学生用心发现问题，大胆提出问题。本节课教学的生长点是“三角形的内角和”，基于学生对三角形内角和的认识，可以让学生自主质疑，提出问题。因此，笔者在课始采取开门见山的方式，直接出示课题，让学生说一说已经知道些什么，还想研究些什么，培养学生的问题意识。当学生得出长方形、正方形和平行四边形等特殊的四边形内角和是360°时，引导学生猜想并提出“其他任意四边形的内角和也是360°吗”“其他多边形的内角和是多少度”等问题。通过“一百边形的内角和是多少度”这一具有挑战性的问题，激发学生的探究欲望，进而引导学生观察已有数據，分析存在的规律，得出任意多边形内角和的计算方法。通过问题引领，激发学生的学习兴趣，引发学生进行数学思考，提高学生的数学思维能力。
3.渗透数学思想，彰显数学魅力。
本节课设计注重转化、类比、归纳等思想方法的渗透。由长方形、正方形的内角和是360°入手，引导学生进行猜想，通过举例验证得到一般四边形的内角和；由对四边形内角和的探究类比到对其他多边形内角和的探究；通过对四边形、五边形、六边形等图形内角和的探究，归纳出任意多边形内角和的计算方法；将多边形分割转化为若干个三角形来计算其内角和，将新的问题转化为学过的问题，将复杂的问题转化为简单的问题。
“转化”是一种重要的数学思想，如何将多边形转化成三角形来计算内角和，是本节课教学的关键。将四边形的内角和转化成两个三角形的内角和，这是复杂问题向简单问题的转化，是未知问题向已知问题的转化，是解决多边形内角和问题的一种策略。这种策略不仅能算出四边形的内角和，还能计算边数更多的多边形的内角和。为了建立新、旧知识间的联系，笔者在课堂上让学生先回忆过去学习中将平行四边形或梯形分割成两个三角形的操作经历，引导他们通过分割法将四边形转化为两个三角形。接着再让学生通过对不同验证方法的比较，感受运用分割法的简便，让全体学生都理解并乐意使用这种方法。这样从简单入手，引导学生学会探究，让学生获得对数学内容及方法的本质认识，渗透转化的数学思想，彰显数学魅力。
小学阶段是数学思想渗透的启蒙阶段，“探索规律”教学因其独特的教学内容为渗透数学思想方法提供了便利条件。我们要充分利用教材资源，根据具体的教学内容及学生的心智发展水平，帮助学生经历规律探索的过程，积累活动经验，感悟数学思想，实现数学思维品质的有效提升。
【关键词】活动经验；数学思想；问题意识；探索规律
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）25-0059-03
【作者简介】杜建军，江苏省沭阳县第二实验小学（江苏沭阳，223600）教科室主任，高级教师，宿迁市数学学科带头人，江苏省教育科研先进个人。
“探索规律”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的基本课程内容之一。苏教版教材从三年级起，在每一册教材里都安排一次有明确主题和内容的探索规律专题活动，其教学目标不是指向规律本身的理解和掌握，而是注重引导学生经历探究规律的过程，主要目的是让学生在探索规律的过程中初步学会用数学的眼光去观察世界，用数学的语言去解释现象，用数学的方式思考问题，不断积累数学学习的经验，发展数学素养。下面，笔者以苏教版四下《多边形的内角和》教学为例，谈谈对探索规律教学的一些思考与实践。
一、揭示课题，提出问题
出示课题：多边形的内角和。
提问：对于多边形及内角和，你们已经知道些什么？还想再研究些什么？
引导：你们对这些问题打算怎样进行研究呢？
谈话：这种从简单入手、有序思考的研究策略是一种很好的学习方法。我国古代思想家老子这样说过：“天下难事，必作于易。”它的意思就是说，比较困难的事情，都要从简单的事情做起。今天就让咱们从比较简单的图形——四边形开始研究。
课始的提问唤醒了学生原有的知识经验，架起新旧知识间的桥梁，通过“你们打算怎样进行研究”引导学生自己去寻找研究方法，初步渗透由简单到复杂的探究策略。
二、选择策略，研究个案
1.探究四边形的内角和。
提问：在我们学过的图形中，有哪些是四边形？在这些图形中，你能一眼看出哪个图形的内角和呢？你是怎样知道的？
引导：猜一猜，任意四边形的内角和是多少度？数学学习离不开大胆的猜想，同时也得进行科学验证。请同学们拿出课前发放的红色四边形图片（图1），想办法求出它的内角和。
这里选择直角梯形作为学具，其中有两个角是直角，另两个角分别是120°和60°，便于有些学生用测量的办法求出其内角和。这里把直角梯形当作一般的四边形让学生进行度量和计算，得出360°为一般四边形的内角和。
操作：學生用不同方法进行验证。
汇报：请用不同方法验证的同学到讲台前来汇报，明确测量的方法有时会产生误差，重点引导学生理解为什么可以用分割法。
追问：像这样将四边形分割为两个三角形以后，原来四边形的四个角都“躲”到哪去了呢？
引导学生发现分割后两个三角形的内角的总和就是原来四边形的内角和。
谈话：我们把四边形的内角和转化为两个三角形的内角总和。原来，不用量也能求出四边形的内角和。
比较：刚才我们用测量法、分割法分别求出了四边形的内角和，现在你觉得哪种方法更为简单呢？
追问：任意一个四边形是否都能转化成两个三角形呢？
演示：利用几何画板课件演示四边形的变化情况，让学生发现任意四边形都可以分割为两个三角形。
小结：从特殊的四边形——长方形、正方形的内角和引发猜想，并举例验证，从而得出一般的结论。由特殊到一般，是获取结论的重要方法。
对四边形内角和的探究是本节课探究活动的重点，让学生在课堂上通过对不同验证方法的比较，感受分割法的简便，初步体会可以将四边形转化成两个三角形来计算其内角和。同时让学生通过回顾对四边形内角和的研究，体会从特殊到一般的研究方法。
2.探究五边形、六边形的内角和。
提问：接下来，你想研究几边形的内角和？
引导：要求五边形、六边形的内角和，你能运用研究四边形内角和的方法也来试一试吗？请同学们拿出画有五边形和六边形的操作纸，想一想，分一分，并算出每个图形的内角和。
汇报：让两名学生到台前汇报。
引导：我发现大多数同学都是从同一个顶点出发向其他顶点连线，这样分割有什么好处呢？
小结：有序操作和思考也是数学学习的重要方法。
通过观察比较，让学生体会到从一个顶点出发，向与它不相邻的顶点连线分割最为有序方便，引导学生学会更加合理的分割方法。
三、发现规律，建立模型
1.任意多边形的内角和。
提问：对于其他多边形，是否也能像刚才那样将它们分割成一些三角形呢？
小组合作，任意画一些多边形，试一试。
小结：任意一个多边形都能分割成一些三角形。
2.探索多边形内角和的计算方法。
提问：如果要求一百边形或边数更多的多边形内角和，要不要将这样的多边形画出来进行研究？多边形的内角和还有什么奥秘呢？
引导：观察刚才的研究记录，你有什么发现？你能通过刚才的研究找出多边形内角和的秘密吗？在小组里说一说。
提问：多边形的内角和与什么有关？你能用一个式子表示多边形的内角和吗？
汇报得出：多边形的内角和=（多边形的边数-2）×180°。
谈话：同学们真了不起！人类经过多年的探究才发现的规律，我们仅在短短一节课中就发现了其中的秘密。
通过让学生求一百边形的内角和激发学生的探究欲望，抓住“多边形的内角和与什么有关？”这一核心问题，引导学生发现多边形的内角和与多边形边数的关系，将学生的思维引向更深处。通过谈话让学生感受数学探究的乐趣，获得快乐的情感体验，增强其数学学习的信心。 四、回顾反思，积累经验
提问：回顾我们刚才探索和发现规律的过程，你有哪些收获和体会？
总结：这节课，我们从特殊到一般，把复杂的问题转化为简单的问题，让我们在今后的学习中，自觉运用这样的思想方法，更加智慧地去学习数学，相信你一定会发现数学中更多的奥秘！
在回顾反思环节，引导学生从知识本身、探究过程中的思考方法及数学思想等三个不同层面进行反思，激发学生的学习兴趣，感受运用转化思想解决问题的价值，为学生今后的数学学习埋下数学思想的种子。
【教后反思】
《多边形的内角和》是苏教版四下“探究规律”专题活动内容，是在学生已经认识了三角形、平行四边形和梯形，知道三角形的内角和是180°、平行四边形的内角和是360°等知识的基础上进行的教学。在教学设计的理念上，笔者力求体现以下三点：
1.关注探究过程，积累活动经验。
本节课作为探索规律的专题内容，教学中不是直接将方法呈现给学生，而是引导学生自己找到解决问题的方法。课中让学生通过观察、操作、归纳、类比等一系列活动，引导学生充分经历从特殊到一般、从简单到复杂的探究过程，自主发现多边形的内角和与边数之间的关系，从而获得计算多边形内角和的一般方法，积累数学活动经验。
通过活动，不仅要让学生计算出多边形的内角和，还要让学生概括求多边形内角和的计算方法，并初步用数学模型来表示。在试教的过程中笔者发现，学生虽然能计算出多边形的内角和是多少度，但让他们总结出求多边形内角和的算法还具有一定困难。为了克服这一困难，我让学生分别把四边形、五边形、六边形……的“边数”“分成三角形的个数”“内角和”等数据依次填入表中，这样容易得出以下结论：图形的边数越多，分成三角形的个数就越多，内角和的度数也就越大；多边形分成三角形的个数总是比它的边数少2；多边形的内角和一定是180°的倍数。这些发现都是概括多边形内角和计算方法的感性认识，让学生在活动的过程中，不断积累活动经验。
2.培养问题意识，提升思维品质。
“问题”是建构课堂的“脚手架”，决定了学生思维的方向。本节课不仅要让学生经历分析问题、解决问题的过程，还要鼓励学生用心发现问题，大胆提出问题。本节课教学的生长点是“三角形的内角和”，基于学生对三角形内角和的认识，可以让学生自主质疑，提出问题。因此，笔者在课始采取开门见山的方式，直接出示课题，让学生说一说已经知道些什么，还想研究些什么，培养学生的问题意识。当学生得出长方形、正方形和平行四边形等特殊的四边形内角和是360°时，引导学生猜想并提出“其他任意四边形的内角和也是360°吗”“其他多边形的内角和是多少度”等问题。通过“一百边形的内角和是多少度”这一具有挑战性的问题，激发学生的探究欲望，进而引导学生观察已有数據，分析存在的规律，得出任意多边形内角和的计算方法。通过问题引领，激发学生的学习兴趣，引发学生进行数学思考，提高学生的数学思维能力。
3.渗透数学思想，彰显数学魅力。
本节课设计注重转化、类比、归纳等思想方法的渗透。由长方形、正方形的内角和是360°入手，引导学生进行猜想，通过举例验证得到一般四边形的内角和；由对四边形内角和的探究类比到对其他多边形内角和的探究；通过对四边形、五边形、六边形等图形内角和的探究，归纳出任意多边形内角和的计算方法；将多边形分割转化为若干个三角形来计算其内角和，将新的问题转化为学过的问题，将复杂的问题转化为简单的问题。
“转化”是一种重要的数学思想，如何将多边形转化成三角形来计算内角和，是本节课教学的关键。将四边形的内角和转化成两个三角形的内角和，这是复杂问题向简单问题的转化，是未知问题向已知问题的转化，是解决多边形内角和问题的一种策略。这种策略不仅能算出四边形的内角和，还能计算边数更多的多边形的内角和。为了建立新、旧知识间的联系，笔者在课堂上让学生先回忆过去学习中将平行四边形或梯形分割成两个三角形的操作经历，引导他们通过分割法将四边形转化为两个三角形。接着再让学生通过对不同验证方法的比较，感受运用分割法的简便，让全体学生都理解并乐意使用这种方法。这样从简单入手，引导学生学会探究，让学生获得对数学内容及方法的本质认识，渗透转化的数学思想，彰显数学魅力。
小学阶段是数学思想渗透的启蒙阶段，“探索规律”教学因其独特的教学内容为渗透数学思想方法提供了便利条件。我们要充分利用教材资源，根据具体的教学内容及学生的心智发展水平，帮助学生经历规律探索的过程，积累活动经验，感悟数学思想，实现数学思维品质的有效提升。