在数学教学活动中,学生们常遇到一些题目涉及求“某一点到两定点之间的距离之和最短”(距离之差最长)或某一个三角形、四边形周长最小的问题。碰到这类题目,他们常常束手无策。事实上,解决这类题目的基本思路,是将不在同一直线上的两条(或几条)线段通过对称、平移,转化成一条线段的办法解决问题。
　　一、基本图形
　　
　　如图:A、B两点是直线L同侧的定点,在L上求作一点P,使PA+PB最短。
　　
　　方法:作A、B两点中任一点关于L的对称点A′(B′),连接A′B(AB′)交L于点P,则P为L上所求作的点。此时PA+PB=A′B,故PA+PB最短。
　　这是常用办法,学生理解了这个基本图形的解题思路,就能以不变应万变。
　　二、变式图形
　　变式图形常将基本图形与三角形、四边形、平面直角坐标系、圆等知识融合。
　　
　　(一)如图:四边形ABCD是边长为8的正方形,E为CD边上的定点,CE=2,M为对角线BD上的一点,且能满足ME+MC最短,试在图中确定M点的位置,并求出MC+ME的最小值。
　　
　　分析:此题应将BD视为基本图形中的直线L,C、E为BD同侧两点,考虑到A、C关于直线BD对称,故只需直接连接AE,与BD的交点即为M,此时MC+ME=AE=62+82=10。
　　
　　(二)如图:在平面直角坐标系中,A、B两点在第四象限,两点的坐标分别是A(1,-1)、B(3,-2),在x轴上求作一点P,使PA+PB最短,并求出P点的坐标。
　　
　　分析:作出A点关于x轴的对称点A′(1,1),连接A′B交x轴于P,P点即为所求作的点。求出直线A′B的解析式为y=-23x+52,令y=0可得出P点的横坐标为(53,0)。
　　
　　(三)如图:∠MON=30°,A为ON上的定点,OA=4,B为OM上的动点,过点B作BH⊥ON于H,试问:当B点运动至何处时,AB+BH最短?
　　
　　分析:此题的關键是将BH+AB转化成一条线段,可通过轴对称和“点到直线的距离最短”来实现这种转化。
　　方法:作A点关于OM的对称点A′,过A′作A′H⊥ON交OM与B点,则B为所求的点。
　　此时AB+BH=A′H。要求A′H的长,可连接OA′,不难得到三角形AOA′是等边三角形,其边长为4,易得高A′H=42-22=23,故AB+BH的最小值为23。
　　三、拓展创新
　　求x2+1+(4-x)2+9的最小值。
　　
　　运用数形结合思考,将x2+1看成以x和1为直角边的直角三角形的斜边长,将(4-x)2+9看成以4-x和3为直角边的直角三角线的斜边长,可构成如右图形:
　　图中AB=4,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=1,BD=3,P为AB上的一点,设AP=x,则 BP=4-x。∴PC=x2+1,PD=(4-x)2+9,则求代数式x2+1+(4-x)2+9的最小值,即使PC+PD最短,可利用基本图形解决这一问题(过程略),其最终结果为42。