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[摘 要]数学来源于生活，学生要学生活中的数学。以“比例尺意义”的教学为例，教师以典型错例为载体，通过认真剖析、深入访谈，找到学生认知的起点，给“比例尺”注入新的活力。
[关键词]比例尺；典型错例；教学改进
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）35-0006-03
笔者在执教人教版教材六年级下册的比例尺的认识及相关内容时，例题教学开展得十分顺利，学生对于这个全新的概念十分感兴趣，但课堂作业却漏洞百出。针对这种现象，笔者利用《小学数学一至六年级典型错题库》，结合学生及课堂实际对教学进行改进。
一、典型错例再现与剖析
通过对学生的访谈，笔者从两个层面对错例进行了剖析：
学生层面：没有真正理解比例尺的意义，对比例尺定义的理解停留在嘴上的“图上距离[∶]实际距离”，实际计算时就忘记了，也没有深入思考比例尺是长度比例尺，而不是面积比例尺，比例尺只能直接用于计算长度。
教师层面：没有吃透教材。一是教师没有想到比例尺只能直接运用于求长度而不能直接运用于求面积，于是在设计教学预案时没有将其作为重点进行教学引导。二是教师进行比例尺的教学时侧重“1[∶]1000000”这种缩小的比例尺，对于放大的比例尺没有教学，放大和缩小比例尺的对比区分教学不足。
二、教学改进前的思考
学生起点的把握不准。在上课之前，教师并没有对学生进行前测，而是直接引入新知，完全没有考虑学生的学习起点，导致不能很好地把握新知的教学进程与效果。因此，在教学改进之时，前测一事必不可少。
比例尺意义建构缺乏。学生在学习比例尺的意义时，只是得到了“图上距离[∶]实际距离=比例尺”这一表面化知识，然后便是一味地模仿，以致最后出现本质性错误。这是由于教师在课堂中没有让学生体验比例尺产生的过程，因此学生只知其一，不知其二。因此，在教学改进之时，教师要设计能让学生充分体验的环节，让学生从体验中感受到比例尺产生的必要性。
知识间沟通联系缺少。知识不是孤立存在的，哪怕像比例尺这样应用性较强但学生接触少的知识，还是能找到与其相关的知识。在人教版教材四年級下册的“位置与方向”单元中的学会读、画简单的线路图中就有比例尺的“影子”。因此，教师要让学生主动寻找新知与旧知之间的联系，让新知有效迁移，从而消除学生对新知的陌生感。
三、教学改进实践
1.前测开路，了解学生的学习起点
通过3个问题对学生进行课前调查：
（1）你知道比例尺吗？知道（ ） 不知道（ ）
（2）如果你知道比例尺，那请说说：比例尺用在什么地方？是做什么用的？
（3）你还知道比例尺的哪些知识？
测试结果显示：被测的45名学生中，有39名学生对比例尺知识一无所知，只有6人稍加了解。笔者对这6名学生的测试结果进行了细致分析，发现有3名学生是因为提前预习才有话可说；有1名学生是根据表面意思理解的，认为“比例尺在比例中使用，像尺子一样”；另外2名学生是生活经验比较丰富，所以能够说出“地图是根据比例尺绘制的”“用在一些工程、建筑上的，让人们更精确地知道图上的距离与实际距离的关系”。
前测带给笔者的启示：尽管比例尺在某些方面应用广泛，但离学生的生活实际却比较远；小部分学生对比例尺有所认识，但这个认识是感性的、模糊的，他们不能用数学语言描述。因此，教师要选择贴近学生生活的素材，层层深入，让学生由表及里，真正理解比例尺的意义。
2.课堂行动，扎实建构比例尺的意义
师（出示学校体育馆图（体育馆中可以活动的场地是个长方形，图略））：已知这个长方形的长是36米，宽是24米，你能把它画下来吗？
【改进意图：选取学生身边的学校体育馆，吊起其学习的胃口，使得人人都参与其中，并进行充分思考与交流。教师从中可以把握学生对于“比例尺”的初步直觉思维。】
师（针对学生展示的长方形（长3厘米、宽2厘米））：为什么画成长3厘米、宽2厘米？
【改进意图：给足够多的时间让学生尽情作图，让学生充分体验按比缩小的过程。在作品的展示过程中，教师及时引导，语言规范，将学生的画图体验抽象成语言，为接下来学生理解比例尺的意义做好了铺垫。】
师：通过自学你了解到什么？
（学生提出“什么叫比例尺”“比例尺的种类”等）
师（出示学生已展示的长方形平面图）：这幅图的比例尺是多少呢？
3厘米[∶]3600厘米=1[∶]1200
2厘米[∶]2400厘米=1[∶]1200
师：1[∶]1200这个比例尺表示什么意思？
师：为什么同样的一个长方形，画出来的大小却不一样呢？
【改进意图：通过比较按不同比例尺所作的图，一方面让学生明白，按一定的比例缩小后，长方形的形状不变，大小却发生了变化；另一方面告诉学生，可以根据比例尺的大小来判定所画长方形的大小。】
师：你在哪里见过比例尺？（学生自由畅谈）
师（出示房屋平面设计图（如图1））：你能说说这个比例尺的意义吗？
【改进意图：看到有关房屋设计方面的字眼，学生便会想起“每平方米”的相关信息。学生可能会把“1[∶]100”认为是图上面积与实际面积之比。】
师（出示三幅比例尺不同的中国地图（图略））：分别说一说比例尺所代表的含义。图2
【改进意图：学生通过反复描述比例尺的意义，强化体验过程，从而达到对知识本质的理解。同时，在描述与看图的过程中，学生逐渐感受到比例尺的价值和意义所在。】
师（出示一幅标有线段比例尺的中国地图，图略）：这是比例尺吗？你能说说这个比例尺的意义吗？图上1厘米在哪里，谁能指一指？ 师：看着这个线段比例尺，有没有一种“似曾相识”的感觉？
（学生回忆起四年级画线路图时的“图示”）
【改进意图：通过回忆新旧知识间的联系，将新知与旧知进行了有效沟通，消除了学生对新知的陌生感，厚实了他们对新知的理解。】
师（出示一幅标有放大比例尺的零件设计图（图2））：你见过这种比例尺吗？谁能给大家介绍一下吗？
师：能说说缩小比例尺与放大比例尺之间的联系与区别吗？
【改进意图：通过放大比例尺的教学，完善学生的知识建构，深化学生对比例尺意义的理解。同时，通过比较缩小比例尺和放大比例尺的联系与区别，加深学生对比例尺意义的理解。】
师：（1）学校篮球场的长是54米，你能算一算吴校长绘制的平面图的比例尺是多少吗？（2）根据比例尺1[∶]600，学校篮球场的图上距离长9㎝、宽8㎝，算一算篮球场实际有多少平方米。
【改进意图：合理选用学校平面圖作为练习素材，通过缺少的信息引发学生的争辩，让学生在争辩中巩固与反思比例尺的意义，并且明确：比例尺是长度之比，不是面积之比；沟通长度与面积之间的关系，面积之比是比例尺的平方比。】
四、后记
结束比例尺的教学后，笔者带着无限的期待开始批阅学生的作业得通过批阅作业发现：
易错1题的错误率降至11.11%。出错的学生是学困生，但教师稍加提问后，他们也能意识到错误并改正。
易错题2的错误率降至4.44%。出错的学生缺乏对实际情况的敏感度。
笔者还对学生进行了跟踪调查：
比例尺第二课时内容学生基本能独立完成自学。由于对比例尺的意义理解较深刻，学生不但能够灵活运用“图上距离”“实际距离”以及“比例尺”三者之间的数量关系，还能创造更简便的计算方法。如“已知比例尺是1[∶]5000000，图上距离是3.4厘米”，学生在计算实际距离时，没有选择常用的方法“图上距离÷比例尺”，而是先把数值比例尺转化成线段比例尺，然后直接用“3.4×50”来计算出结果，又快又准确，书写也简洁。
图形的放大与缩小更是“不教便通”。其实在教学引入时，让学生想方设法把学校体育馆画在图纸上，这已是图形缩小的体验。学生由于有了体验的心得，不仅能按比例尺把图画得十分准确，而且对于图形放大与缩小的本质能说得头头是道。
综上，此次教改行动成功了！因为典型错例的“未卜先知”功能，让笔者对比例尺的认识有了别样的思考，真正做到“干预到点，体验到面”。
（责编 金 铃）
[关键词]比例尺；典型错例；教学改进
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）35-0006-03
笔者在执教人教版教材六年级下册的比例尺的认识及相关内容时，例题教学开展得十分顺利，学生对于这个全新的概念十分感兴趣，但课堂作业却漏洞百出。针对这种现象，笔者利用《小学数学一至六年级典型错题库》，结合学生及课堂实际对教学进行改进。
一、典型错例再现与剖析
通过对学生的访谈，笔者从两个层面对错例进行了剖析：
学生层面：没有真正理解比例尺的意义，对比例尺定义的理解停留在嘴上的“图上距离[∶]实际距离”，实际计算时就忘记了，也没有深入思考比例尺是长度比例尺，而不是面积比例尺，比例尺只能直接用于计算长度。
教师层面：没有吃透教材。一是教师没有想到比例尺只能直接运用于求长度而不能直接运用于求面积，于是在设计教学预案时没有将其作为重点进行教学引导。二是教师进行比例尺的教学时侧重“1[∶]1000000”这种缩小的比例尺，对于放大的比例尺没有教学，放大和缩小比例尺的对比区分教学不足。
二、教学改进前的思考
学生起点的把握不准。在上课之前，教师并没有对学生进行前测，而是直接引入新知，完全没有考虑学生的学习起点，导致不能很好地把握新知的教学进程与效果。因此，在教学改进之时，前测一事必不可少。
比例尺意义建构缺乏。学生在学习比例尺的意义时，只是得到了“图上距离[∶]实际距离=比例尺”这一表面化知识，然后便是一味地模仿，以致最后出现本质性错误。这是由于教师在课堂中没有让学生体验比例尺产生的过程，因此学生只知其一，不知其二。因此，在教学改进之时，教师要设计能让学生充分体验的环节，让学生从体验中感受到比例尺产生的必要性。
知识间沟通联系缺少。知识不是孤立存在的，哪怕像比例尺这样应用性较强但学生接触少的知识，还是能找到与其相关的知识。在人教版教材四年級下册的“位置与方向”单元中的学会读、画简单的线路图中就有比例尺的“影子”。因此，教师要让学生主动寻找新知与旧知之间的联系，让新知有效迁移，从而消除学生对新知的陌生感。
三、教学改进实践
1.前测开路，了解学生的学习起点
通过3个问题对学生进行课前调查：
（1）你知道比例尺吗？知道（ ） 不知道（ ）
（2）如果你知道比例尺，那请说说：比例尺用在什么地方？是做什么用的？
（3）你还知道比例尺的哪些知识？
测试结果显示：被测的45名学生中，有39名学生对比例尺知识一无所知，只有6人稍加了解。笔者对这6名学生的测试结果进行了细致分析，发现有3名学生是因为提前预习才有话可说；有1名学生是根据表面意思理解的，认为“比例尺在比例中使用，像尺子一样”；另外2名学生是生活经验比较丰富，所以能够说出“地图是根据比例尺绘制的”“用在一些工程、建筑上的，让人们更精确地知道图上的距离与实际距离的关系”。
前测带给笔者的启示：尽管比例尺在某些方面应用广泛，但离学生的生活实际却比较远；小部分学生对比例尺有所认识，但这个认识是感性的、模糊的，他们不能用数学语言描述。因此，教师要选择贴近学生生活的素材，层层深入，让学生由表及里，真正理解比例尺的意义。
2.课堂行动，扎实建构比例尺的意义
师（出示学校体育馆图（体育馆中可以活动的场地是个长方形，图略））：已知这个长方形的长是36米，宽是24米，你能把它画下来吗？
【改进意图：选取学生身边的学校体育馆，吊起其学习的胃口，使得人人都参与其中，并进行充分思考与交流。教师从中可以把握学生对于“比例尺”的初步直觉思维。】
师（针对学生展示的长方形（长3厘米、宽2厘米））：为什么画成长3厘米、宽2厘米？
【改进意图：给足够多的时间让学生尽情作图，让学生充分体验按比缩小的过程。在作品的展示过程中，教师及时引导，语言规范，将学生的画图体验抽象成语言，为接下来学生理解比例尺的意义做好了铺垫。】
师：通过自学你了解到什么？
（学生提出“什么叫比例尺”“比例尺的种类”等）
师（出示学生已展示的长方形平面图）：这幅图的比例尺是多少呢？
3厘米[∶]3600厘米=1[∶]1200
2厘米[∶]2400厘米=1[∶]1200
师：1[∶]1200这个比例尺表示什么意思？
师：为什么同样的一个长方形，画出来的大小却不一样呢？
【改进意图：通过比较按不同比例尺所作的图，一方面让学生明白，按一定的比例缩小后，长方形的形状不变，大小却发生了变化；另一方面告诉学生，可以根据比例尺的大小来判定所画长方形的大小。】
师：你在哪里见过比例尺？（学生自由畅谈）
师（出示房屋平面设计图（如图1））：你能说说这个比例尺的意义吗？
【改进意图：看到有关房屋设计方面的字眼，学生便会想起“每平方米”的相关信息。学生可能会把“1[∶]100”认为是图上面积与实际面积之比。】
师（出示三幅比例尺不同的中国地图（图略））：分别说一说比例尺所代表的含义。图2
【改进意图：学生通过反复描述比例尺的意义，强化体验过程，从而达到对知识本质的理解。同时，在描述与看图的过程中，学生逐渐感受到比例尺的价值和意义所在。】
师（出示一幅标有线段比例尺的中国地图，图略）：这是比例尺吗？你能说说这个比例尺的意义吗？图上1厘米在哪里，谁能指一指？ 师：看着这个线段比例尺，有没有一种“似曾相识”的感觉？
（学生回忆起四年级画线路图时的“图示”）
【改进意图：通过回忆新旧知识间的联系，将新知与旧知进行了有效沟通，消除了学生对新知的陌生感，厚实了他们对新知的理解。】
师（出示一幅标有放大比例尺的零件设计图（图2））：你见过这种比例尺吗？谁能给大家介绍一下吗？
师：能说说缩小比例尺与放大比例尺之间的联系与区别吗？
【改进意图：通过放大比例尺的教学，完善学生的知识建构，深化学生对比例尺意义的理解。同时，通过比较缩小比例尺和放大比例尺的联系与区别，加深学生对比例尺意义的理解。】
师：（1）学校篮球场的长是54米，你能算一算吴校长绘制的平面图的比例尺是多少吗？（2）根据比例尺1[∶]600，学校篮球场的图上距离长9㎝、宽8㎝，算一算篮球场实际有多少平方米。
【改进意图：合理选用学校平面圖作为练习素材，通过缺少的信息引发学生的争辩，让学生在争辩中巩固与反思比例尺的意义，并且明确：比例尺是长度之比，不是面积之比；沟通长度与面积之间的关系，面积之比是比例尺的平方比。】
四、后记
结束比例尺的教学后，笔者带着无限的期待开始批阅学生的作业得通过批阅作业发现：
易错1题的错误率降至11.11%。出错的学生是学困生，但教师稍加提问后，他们也能意识到错误并改正。
易错题2的错误率降至4.44%。出错的学生缺乏对实际情况的敏感度。
笔者还对学生进行了跟踪调查：
比例尺第二课时内容学生基本能独立完成自学。由于对比例尺的意义理解较深刻，学生不但能够灵活运用“图上距离”“实际距离”以及“比例尺”三者之间的数量关系，还能创造更简便的计算方法。如“已知比例尺是1[∶]5000000，图上距离是3.4厘米”，学生在计算实际距离时，没有选择常用的方法“图上距离÷比例尺”，而是先把数值比例尺转化成线段比例尺，然后直接用“3.4×50”来计算出结果，又快又准确，书写也简洁。
图形的放大与缩小更是“不教便通”。其实在教学引入时，让学生想方设法把学校体育馆画在图纸上，这已是图形缩小的体验。学生由于有了体验的心得，不仅能按比例尺把图画得十分准确，而且对于图形放大与缩小的本质能说得头头是道。
综上，此次教改行动成功了！因为典型错例的“未卜先知”功能，让笔者对比例尺的认识有了别样的思考，真正做到“干预到点，体验到面”。
（责编 金 铃）