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[摘 要] 基于“模型意识”和“方程思想”的教学设计，体现的是对课程标准的坚决执行和对教材的正确理解；基于“教学完整性理念”的教学设计，则侧重于概念教学的连贯性，过于追求完整，而不顾课标和教材的要求，把课堂的“有深度地教学”让位于“完整性”，会导致教学价值缺失. 只有立足“三个理解”，心怀课标、教材，才能在教学中为学生获取最大的利益.
[关键词] 模型意识；方程思想；完整性；三个理解
在名教师送教下乡活动中，笔者有幸聆听了一位特级教师和一位年轻教师的同题异构课，教学内容是苏科版七年级上“4.1 从问题到方程”，两位教师从不同的角度设计了风格迥异的课堂教学，体现了对概念教学不同的理解. 两种教学观的碰撞给笔者留下了深刻的印象，现整理成文，供参考.
两种不同的教学设计
（一） 基于“模型意识”和“方程思想”的教学设计
1. 情境创设
例1 根据图1回答问题.
（1）怎样描述图中天平平衡所表示的数量之间的相等关系？【左托盘中3个球的质量和与右托盘中砝码的质量相等】
（2）如果设相同小球的质量为x g，你可以用什么样的方程来描述？【2x 1=5】
例2 篮球联赛规定：胜一场得2分，负一场得1分，某篮球队赛了12场，共得20分.
（1）怎样描述其中数量之间的相等关系？【胜场得分与负场得分之和为20】
（2）如果设该队胜了x场，你可以用什么样的方程来描述？【2x （12-x）=20】
师：通过上述两例，大家是否有这样的感受——在现实世界的实际问题中，通常有已知的量和未知的量，这些数量之间常常有相等的关系？ 如果设未知的量为x，可把这些相等的关系转化为方程. 对于这一过程，大家结合小学学习的算术方法和方程知识，能说说感受吗？
生1：小学时用算术的方法解答应用题很难，碰到难题问父母，他们也不会用算术方法解，就说要是用方程解就简单多了. 通过上面两例，我感觉以后碰到应用题，就先找等量关系，然后设未知数，再列方程，最后解方程就行了.
师：刚才这位同学说的就是我们这节课的标题——“从问题到方程”. 为什么要列方程呢？方程在解决现实问题中有哪些作用？下面我们继续体会从问题到方程.
2. 体会“从问题到方程”
师：又通过三个实例的学习，大家对用方程解决问题有新的感悟吗？
（经过师生的反复研讨，最后老师总结）
师：通过上面五道例题，我们可以感受到这样一个思想，即“方程是研究数量关系和变化规律的模型”，或者说“方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型”. 通过建立方程可以把现实世界的问题转化为数学问题，通过解决数学问题而解决实际问题，这就是数学的建模思想，是本节课的重点，大家需反复体会.
3. 课堂练习
学生做P98“练一练”1～3题. 做完三条练习，已经花了25分钟左右的时间，教师反复让学生感受“从问题到方程”的过程，体会这一过程中蕴含的“模型意识”和“方程思想”. 教师放慢了教学节奏，拉长了教学过程，留给学生足够的体会、感悟时间.
（课堂小结和作业布置略）
（二）基于“教学完整性理念”的教学设计
1. 创设情境（PPT展示）
例1？摇 篮球联赛规定：胜一场得2分，负一场得1分，某篮球队赛了12场，共得20分，求该球队胜了几场.
（1）在这个问题中，你能读出哪些数字信息？
（2）用算术方法可求出胜______场，负______场.
（3）若设该球队胜了x场，则负了______场，胜的场次得______分，负的场次得______分.
（4）由题意可列方程为_________.
师：通过上面的学习我们知道，解决实际问题不仅可以用算术方法，还可以通过列方程解决，这就是我们今天学习的内容. （板书课题）
2. 探究新知（PPT展示）
例2？摇 观察式子：①3 2=5；②4=6-2；③2x 1=5；④3m 4n=9；⑤0.4x=1200；⑥4 y=2y 5.
（1）说说这些式子的共同特征；
（2）式子①～②和③～⑥分别有什么区别？
师生合作得出：这些式子的共同特征是都是等式，式子③～⑥是含有未知数的等式，像这类含有未知数的等式叫作方程.
3. 学以致用
经过师生的共同分析得出：②③④⑤⑦⑧都是方程；①是等式；⑥是多项式.
师：在上面②③④⑤⑦⑧六个方程中，我们从未知数的个数、未知数的次数、是否是整式方程三个角度来逐一分析它们的特点，并进行归类.
生：②③⑧均只含一个未知数，未知数的次数是1，是整式方程；④含两个未知数，未知数的次数是1，是整式方程；⑤含一个未知数，未知数的次数是2，是整式方程；⑦含一个未知数，未知数的次数是1，不是整式方程. （师：这里未知数的次数不是1）
师：方程历史已经有几千年了，我国最早的数学名著《周髀算经》早有记载. 关于方程我们只能从最简单的方程开始研究，上述三种方程，哪种最简单呢？我们就从最简单的方程开始我们的学习.
师生得出一元一次方程的概念，并对“元”“次”作解释（教学过程常规，不详述）.
两种教学设计的价值分析
“教学有法，教无定法. ”不同的教学设计源于不同的教学观和价值观，也受制于教师的学识和对课标、教材的理解，一句话，有不同的教学观，就有不同的教学设计.
基于“模型意识”和“方程思想”的教学设计，体现的是对课程标准的坚决执行和对教材“从问题到方程”的正确理解. 《义务教育阶段数学课程标准（2011版）》（以下简称标准）在对方程和方程组的教学建议中指出：“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型. ”作为方程的起始课，教师没有在概念教学上花过多的时间，没有纠缠于一元一次方程概念及其辨析，而是不断地创设生活情境，从天平平衡、篮球联赛、以绳测井、搭“小鱼”游戏、年龄问题等，让学生感悟从现实背景的数量关系中列出方程，构建方程这一模型，不断强化学生的“模型意识”和“方程思想”. 在这一抽象概念的教学中，关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式，使学生体会“方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型”和“建立方程思想”这一主题是本节课最大的亮点. 本节课既关注了数学的结果（一元一次方程的概念），也关注了数学结果的形成、发展与应用的过程及蕴含的数学思想方法（建模思想、方程思想），使学生在“过程”中理解一元一次方程的本质，掌握根据数量关系列出方程的方法，体现了“四基”的理念. 基于“教学完整性理念”的教学设计，侧重于概念教学的连贯性. 本设计对教材进行了处理，舍弃了“从问题到方程”的过程，从“篮球联赛”这一情境引入方程，然后遵循“等式——方程——一元一次方程——概念辨析——练习巩固”这一教学流程进行教学，保证了课堂教学的流畅和知识学习的完整性，完成了对一元一次方程的认知过程，但该设计却有两个明显不足，一是虽然重点突出了一元一次方程的概念教学，却将“列方程”这一核心内容删除了，未能突出“方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型”和“建立方程思想”这一主题，二是虽然我们强调“用教材教”，鼓励对教材进行整合，但是整合教材不能失去教材的教育功能和教学价值，整合教材要基于对教材的正确理解，同时保证数学教学的科学性和有效性. “从问题到方程”这一标题就明确提示了本节课的重点，是让学生能从大量现实背景中感知“列方程”是解决问题的需要，从而建立“模型意识”和“方程思想”， 而本节课删除了“从问题到方程”的过程，直接从代数式、等式入手引入方程概念，然后对概念进行教学，从这两个角度看，该教师在没有深刻理解教材的基础上而随意对教材进行了整合.
对概念教学的启示
（一）引入数学概念应着力关注概念产生的“过程”
数学概念的获取可分为概念的形成和概念的同化两种方式，前者是学习者在对客观事物的反复感知和进行分析、类比、抽象的基础上概括出某一类事物本质属性的过程. 一般基于问题情境抽象出概念的教学都适用于概念的形成教学. 上述第一种教学设计通过一系列的问题情境，着力还原概念产生的背景，让学生充分体会方程是刻画现实世界的一种有效模型，并初步建立起方程思想. 课堂上，教师拉长这一教学过程，让学生有足够的时间去感悟、体会，因为只有关注“过程”的教育，才能保证学生思维的完整，才能克服学生机械记忆概念的习惯.
（二）深化数学概念必须坚持“三个理解”
教学是艺术，且教无定法，但教学必须坚持“理解数学、理解学生、理解教学”. 不少课堂，尤其是一些公开课，出于效果的考虑，教师立足于课堂的精彩、完整，不顾课标和教材的要求，任意整合教材，以牺牲教材的教育功能和教学价值为代价，把课堂的“有深度地教学”让位于“完整性”. 上述第二种教学设计之所以不被认可，就是因为教师过于追求概念教学的完整性，没有充分理解数学、学生、教学，一味遵循“等式——方程——一元一次方程——概念辨析——练习巩固”这一教学流程，虽然保证了课堂教学的流畅和知识学习的完整性，但对“模型意识”“方程思想”这一核心内容的忽视，是“捡了芝麻而丢了西瓜”. 只有正确理解数学才能因“材”施教，在规则范围内自由整合教学资源；只有正确理解学生才能立足学生的认知水平，既教知识，又培养能力；只有正确理解教学，才能既遵循教学规律，又打破常规，不拘一格地进行“有深度地教学”.
有什么样的教学观，就有什么样的课堂设计，我们只有立足“三个理解”，心怀课标、教材，才能在教学中为学生获取最大的利益.
[关键词] 模型意识；方程思想；完整性；三个理解
在名教师送教下乡活动中，笔者有幸聆听了一位特级教师和一位年轻教师的同题异构课，教学内容是苏科版七年级上“4.1 从问题到方程”，两位教师从不同的角度设计了风格迥异的课堂教学，体现了对概念教学不同的理解. 两种教学观的碰撞给笔者留下了深刻的印象，现整理成文，供参考.
两种不同的教学设计
（一） 基于“模型意识”和“方程思想”的教学设计
1. 情境创设
例1 根据图1回答问题.
（1）怎样描述图中天平平衡所表示的数量之间的相等关系？【左托盘中3个球的质量和与右托盘中砝码的质量相等】
（2）如果设相同小球的质量为x g，你可以用什么样的方程来描述？【2x 1=5】
例2 篮球联赛规定：胜一场得2分，负一场得1分，某篮球队赛了12场，共得20分.
（1）怎样描述其中数量之间的相等关系？【胜场得分与负场得分之和为20】
（2）如果设该队胜了x场，你可以用什么样的方程来描述？【2x （12-x）=20】
师：通过上述两例，大家是否有这样的感受——在现实世界的实际问题中，通常有已知的量和未知的量，这些数量之间常常有相等的关系？ 如果设未知的量为x，可把这些相等的关系转化为方程. 对于这一过程，大家结合小学学习的算术方法和方程知识，能说说感受吗？
生1：小学时用算术的方法解答应用题很难，碰到难题问父母，他们也不会用算术方法解，就说要是用方程解就简单多了. 通过上面两例，我感觉以后碰到应用题，就先找等量关系，然后设未知数，再列方程，最后解方程就行了.
师：刚才这位同学说的就是我们这节课的标题——“从问题到方程”. 为什么要列方程呢？方程在解决现实问题中有哪些作用？下面我们继续体会从问题到方程.
2. 体会“从问题到方程”
师：又通过三个实例的学习，大家对用方程解决问题有新的感悟吗？
（经过师生的反复研讨，最后老师总结）
师：通过上面五道例题，我们可以感受到这样一个思想，即“方程是研究数量关系和变化规律的模型”，或者说“方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型”. 通过建立方程可以把现实世界的问题转化为数学问题，通过解决数学问题而解决实际问题，这就是数学的建模思想，是本节课的重点，大家需反复体会.
3. 课堂练习
学生做P98“练一练”1～3题. 做完三条练习，已经花了25分钟左右的时间，教师反复让学生感受“从问题到方程”的过程，体会这一过程中蕴含的“模型意识”和“方程思想”. 教师放慢了教学节奏，拉长了教学过程，留给学生足够的体会、感悟时间.
（课堂小结和作业布置略）
（二）基于“教学完整性理念”的教学设计
1. 创设情境（PPT展示）
例1？摇 篮球联赛规定：胜一场得2分，负一场得1分，某篮球队赛了12场，共得20分，求该球队胜了几场.
（1）在这个问题中，你能读出哪些数字信息？
（2）用算术方法可求出胜______场，负______场.
（3）若设该球队胜了x场，则负了______场，胜的场次得______分，负的场次得______分.
（4）由题意可列方程为_________.
师：通过上面的学习我们知道，解决实际问题不仅可以用算术方法，还可以通过列方程解决，这就是我们今天学习的内容. （板书课题）
2. 探究新知（PPT展示）
例2？摇 观察式子：①3 2=5；②4=6-2；③2x 1=5；④3m 4n=9；⑤0.4x=1200；⑥4 y=2y 5.
（1）说说这些式子的共同特征；
（2）式子①～②和③～⑥分别有什么区别？
师生合作得出：这些式子的共同特征是都是等式，式子③～⑥是含有未知数的等式，像这类含有未知数的等式叫作方程.
3. 学以致用
经过师生的共同分析得出：②③④⑤⑦⑧都是方程；①是等式；⑥是多项式.
师：在上面②③④⑤⑦⑧六个方程中，我们从未知数的个数、未知数的次数、是否是整式方程三个角度来逐一分析它们的特点，并进行归类.
生：②③⑧均只含一个未知数，未知数的次数是1，是整式方程；④含两个未知数，未知数的次数是1，是整式方程；⑤含一个未知数，未知数的次数是2，是整式方程；⑦含一个未知数，未知数的次数是1，不是整式方程. （师：这里未知数的次数不是1）
师：方程历史已经有几千年了，我国最早的数学名著《周髀算经》早有记载. 关于方程我们只能从最简单的方程开始研究，上述三种方程，哪种最简单呢？我们就从最简单的方程开始我们的学习.
师生得出一元一次方程的概念，并对“元”“次”作解释（教学过程常规，不详述）.
两种教学设计的价值分析
“教学有法，教无定法. ”不同的教学设计源于不同的教学观和价值观，也受制于教师的学识和对课标、教材的理解，一句话，有不同的教学观，就有不同的教学设计.
基于“模型意识”和“方程思想”的教学设计，体现的是对课程标准的坚决执行和对教材“从问题到方程”的正确理解. 《义务教育阶段数学课程标准（2011版）》（以下简称标准）在对方程和方程组的教学建议中指出：“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型. ”作为方程的起始课，教师没有在概念教学上花过多的时间，没有纠缠于一元一次方程概念及其辨析，而是不断地创设生活情境，从天平平衡、篮球联赛、以绳测井、搭“小鱼”游戏、年龄问题等，让学生感悟从现实背景的数量关系中列出方程，构建方程这一模型，不断强化学生的“模型意识”和“方程思想”. 在这一抽象概念的教学中，关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式，使学生体会“方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型”和“建立方程思想”这一主题是本节课最大的亮点. 本节课既关注了数学的结果（一元一次方程的概念），也关注了数学结果的形成、发展与应用的过程及蕴含的数学思想方法（建模思想、方程思想），使学生在“过程”中理解一元一次方程的本质，掌握根据数量关系列出方程的方法，体现了“四基”的理念. 基于“教学完整性理念”的教学设计，侧重于概念教学的连贯性. 本设计对教材进行了处理，舍弃了“从问题到方程”的过程，从“篮球联赛”这一情境引入方程，然后遵循“等式——方程——一元一次方程——概念辨析——练习巩固”这一教学流程进行教学，保证了课堂教学的流畅和知识学习的完整性，完成了对一元一次方程的认知过程，但该设计却有两个明显不足，一是虽然重点突出了一元一次方程的概念教学，却将“列方程”这一核心内容删除了，未能突出“方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型”和“建立方程思想”这一主题，二是虽然我们强调“用教材教”，鼓励对教材进行整合，但是整合教材不能失去教材的教育功能和教学价值，整合教材要基于对教材的正确理解，同时保证数学教学的科学性和有效性. “从问题到方程”这一标题就明确提示了本节课的重点，是让学生能从大量现实背景中感知“列方程”是解决问题的需要，从而建立“模型意识”和“方程思想”， 而本节课删除了“从问题到方程”的过程，直接从代数式、等式入手引入方程概念，然后对概念进行教学，从这两个角度看，该教师在没有深刻理解教材的基础上而随意对教材进行了整合.
对概念教学的启示
（一）引入数学概念应着力关注概念产生的“过程”
数学概念的获取可分为概念的形成和概念的同化两种方式，前者是学习者在对客观事物的反复感知和进行分析、类比、抽象的基础上概括出某一类事物本质属性的过程. 一般基于问题情境抽象出概念的教学都适用于概念的形成教学. 上述第一种教学设计通过一系列的问题情境，着力还原概念产生的背景，让学生充分体会方程是刻画现实世界的一种有效模型，并初步建立起方程思想. 课堂上，教师拉长这一教学过程，让学生有足够的时间去感悟、体会，因为只有关注“过程”的教育，才能保证学生思维的完整，才能克服学生机械记忆概念的习惯.
（二）深化数学概念必须坚持“三个理解”
教学是艺术，且教无定法，但教学必须坚持“理解数学、理解学生、理解教学”. 不少课堂，尤其是一些公开课，出于效果的考虑，教师立足于课堂的精彩、完整，不顾课标和教材的要求，任意整合教材，以牺牲教材的教育功能和教学价值为代价，把课堂的“有深度地教学”让位于“完整性”. 上述第二种教学设计之所以不被认可，就是因为教师过于追求概念教学的完整性，没有充分理解数学、学生、教学，一味遵循“等式——方程——一元一次方程——概念辨析——练习巩固”这一教学流程，虽然保证了课堂教学的流畅和知识学习的完整性，但对“模型意识”“方程思想”这一核心内容的忽视，是“捡了芝麻而丢了西瓜”. 只有正确理解数学才能因“材”施教，在规则范围内自由整合教学资源；只有正确理解学生才能立足学生的认知水平，既教知识，又培养能力；只有正确理解教学，才能既遵循教学规律，又打破常规，不拘一格地进行“有深度地教学”.
有什么样的教学观，就有什么样的课堂设计，我们只有立足“三个理解”，心怀课标、教材，才能在教学中为学生获取最大的利益.