【摘 要】以两个幂级数展开式，x∈（-1，1）和，x∈（-∞，+∞）得出的结果为基础，探讨幂级数在不等式证明中的一些应用。
　　【关键词】幂级数 展开式 不等式
　　【中图分类号】G【文献标识码】A
　　【文章编号】0450-9889（2015）03B-0073-02
　　不等式的证明在数学中有着举足轻重的作用和地位，是数学内容的重要组成部分，引起许多学者的广泛关注。幂级数又是分析数学的重要工具，其在不等式的证明、函数逼近论等领域有着广泛的应用，其中，结合幂级数展开式，x∈（-1，1），获得如下结果：
　　定理A 对任意的a，b，c∈（-1，1），恒有
　　，及
　　结合幂级数展开式，x∈（-∞，+∞），可获得如下结果：
　　定理1 对任意的a，b，c∈（-∞，+∞），恒有
　　定理2 对任意的a，b，c∈（-1，1），恒有
　　定理3 对任意的x，y，z∈（-∞，+∞），恒有
　　受以上启发，本文结合一些新的幂级数的展开式，给出了一些新的不等式及其证明，并推广了以上的结果。为了获得本文的结果，先给出如下几个关键引理：
　　引理1 对任意的a，b，c∈（-∞，+∞），n∈N（自然数集），恒有
　　引理2 对任意的a，b，c∈（-1，1），n∈N（自然数集），恒有
　　引理3 对任意的x，y，z∈（-∞，+∞），n∈N（自然数集），恒有
　　引理4 ，x∈（-∞，+∞），a>0
　　引理5 ，x∈（-1，1）
　　引理6 ，x∈（-1，1）
　　引理7
　　主要结果及其证明如下：
　　定理2.1 对任意的a，b，c∈（-∞，+∞），d>2，恒有
　　证明 由引理1可得
　　上式关于n累加可得
　　结合引理4可得
　　定理2.2 对任意的a，b，c∈（-1，1），d>1，恒有
　　证明 由引理2可得
　　，n=0，1，2，···
　　上式关于n累加可得
　　结合引理4可得
　　定理2.3 对任意的x，y，z∈（-∞，+∞），恒有
　　证明 由引理3可得
　　n=0，1，2，···
　　上式关于n累加可得
　　结合引理4可得
　　注1：如果取d=e，则定理2.1，定理2.2，定理2.3分别变为文的定理1，定理2，定理3.
　　结合引理7，类似定理2.2和定理2.3的证明，可得
　　定理2.4 对任意的a，b，c∈（-d，d），这里d>0，恒有
　　及
　　注2：在定理2.4中，如果取d=1，则定理2.4变成文中的定理A。
　　结合引理5，类似定理2.1、定理2.2、定理2.3的证明，可得
　　定理2.5 对任意的a，b，c∈（-1，1），恒有
　　定理2.6 对任意的a，b，c∈（-1，1），恒有
　　定理2.7 对任意的x，y，z∈（-1，1），恒有
　　结合引理6，类似定理2.1、定理2.2、定理2.3的证明，可得
　　定理2.8 对任意的a，b，c∈（-1，1），恒有
　　定理2.9 对任意的a，b，c∈（-1，1），恒有
　　定理2.10 对任意的x，y，z∈（-1，1），恒有
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