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笔者发现，很多学生缺少必要的解题思维意识，表现在解题中或无从下手,或频频出错，或过程繁冗.在高三复习过程中，笔者从强化思维意识这个角度入手，取得了较好的效果.本文结合教学实践，通过梳理学生在解题中最易忽略的几种思维意识，谈些个人的粗浅体会.
1.定义域意识
定义域意识也即范围意识，变量范围是变量存在或不存在的前提，应时时不忘变量范围对变量的限制.而学生在解题过程中，由于范围考虑不慎，出现错解的现象比比皆是，实在令人痛惜!为了避免因范围引起的错误，必须强化“定义域意识”.
例1 已知f(x)=2+log3x，x∈［1,9］，则y=f2(x)+f(x2)的最大值为.
误解 易得y=log23x+6log3x+6，令log3x=t.
∵x∈［1,9］，∴t∈［0,2］.
从而，y=t2+6t+6=(t+3)2-3，故当t=2时，ymax=22.
说明 该例是高三一轮复习函数专题里常见的一道题目，笔者曾在整个高三年级作过统计，错误率竟高达86%.错误的根源就是“定义域意识”的缺失.也只有少部分同学考虑到了：对于函数y=f2(x)+f(x2)，因为x∈［1,9］且x2∈［1,9］，所以其定义域为［1,3］，从而，令log3x=t换元后，t∈［0,1］，故当t=1时，ymax=13.
体会 对概念、公式、定理等存在的前提（常常涉及范围）进行全面而深刻的分析，解题中保持变量范围的等价性（如“换元”后立即写出“新元”范围），重视从条件中挖掘隐含范围，准确区分和限制多变量问题中的变量范围，善于构造不等式或运用函数思想求解变量的范围等，均是强化定义域意识的重要渠道.
2.审题意识
审题过程是一个严谨的思维活动过程，而且审题又是正确、迅速解题的基础和前提，但不少学生常常对此掉以轻心，致使解题失误或陷入繁冗之中.
例2 设集合P＝{y|y=x2，x∈R}，Q＝{y|y=2-|x|，x∈R}，求P∩Q.
误解 由y=x2y=2-|x|x=1,y=1或x=-1,y=1,
∴P∩Q＝{（1,1），（－1,1）}.
分析 以上误解正是由于审题不细致引起的，有些同学总意识不到“抓代表元素的属性”是认清集合本质的关键.实际上集合P，Q皆为数集（它们都是函数的值域），化简可得P＝{y|y≥0}，Q＝{y|y≤2}，∴P∩Q＝{y|0≤y≤2}.
体会 平时的教学过程中，应训练学生养成善于认清已知、明确所求、抓好关键词、挖掘隐含条件等良好的审题意识、审题习惯.这对于成功解题至关重要，而这些也恰恰是相当一部分同学的薄弱环节.
3.求简意识
从教学实践和各种检测可以看出，目前中学生的“求简意识”普遍不强，而求简意识又是正确、迅速解题的需要和保证，忽略了求简意识的解题往往过程繁琐，甚至导致错解.
例3 设定义在［-2,2］上的偶函数f(x)在区间［0,2］上单调递减，若f(1-m) 分析 学生拿到此题，常选择如下思路：根据题意，画出图形，然后对变量1-m与m所在区间讨论（一不小心还会出现讨论“遗漏”情形），致使解题陷入冗繁之中.本题求简的关键是：利用f(x)是偶函数，结合f(x)在区间［0,2］上递减，从而f(x)在区间［-2,0］上递增，这样条件“f(1-m)|m|.这样的脱“f”过程，就避免了不必要的分类讨论.当然还不应忽略定义域［-2,2］对两变量“1-m”与“m”的限制.故由|1-m|>|m|，-2≤1-m≤2,-2≤m≤2-1≤m<12.
体会 要让学生具备求简意识，一方面，教师应不失时机地引导学生“求简”，及时总结、反思、领悟；另一方面，学生应充分主动地进行灵活扎实的思维训练和解题实践.
4.估算意识
许多选择题都有一定的运算量，需要进行一些运算方能获解，但是往往又可以通过深层次的思维减小运算量，只需进行一些简单的估算即可判断出结果.
例4 （1999年高考第10题）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝32，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（）.
A.92
B.5
C.6
D.152
分析 求该不规则多面体（楔体）的体积按常规思路，采用分割法或补形法，转化为规则几何体，虽可以获解，但需要一定的运算量.若连BE，CEVABCDEF=VE-ABCD+VE-BCF，而VE-ABCD=13•h•SABCD=13×2×32=6，故可由局部估算出整体VABCDEF>6，选D.
体会 数学估算的基本方法有近似计算、由特殊估算一般、由局部估算整体、由一般规律估算个体情况等.现在广泛使用的特例法（也称特值法），其实就是一种简单的估算，让学生了解估算的意义，增强估算意识，对提高处理实际问题的能力大有裨益.
5.动态思维意识
有些问题按常规思路求解，思维容易受阻或运算较繁.若能将研究的问题置于运动的情景之中，用运动变化的观点（有时还要结合极限思维考虑极端位置）来处理，则会使思路新颖、解法简捷.这就是动态思维意识.
6.正难（繁）则反意识
对于一些数学问题，当从正面思考难以奏效（或正面研究情形较繁）时，就可以尝试从反面入手.这就是正难（繁）则反意识，如常用的补集法、反证法或举反例等，其实质是一种逆向思维.
7.特殊化与一般化意识
特殊包含于一般之中，凡一般情况下具有的性质，特殊情况下也应具有；而在特殊情况下不具备的，一般情况下也必不具备.常可利用该关系将问题作“特殊化”或“一般化”处理.
（1）利用“一般情况下正确的命题，在特殊情况下也正确”这一性质来解题.
（2）利用“在特殊情况下错误的命题，在一般情况下也必错误”这一性质来解题.
8.解题后的反思意识
所谓反思，就是对问题及解决问题的思维过程从全方位、多角度、不同层次进行考察、分析和思考.教师在平时的教学中，注意引导学生对问题进行一些反思和探索.通过反思，一方面，可以使学生意识到思维过程的不足，从而能够主动去完善解题过程；另一方面，也可以提高他们发现问题的能力，训练他们思维的严密性和批判性，有利于在原有基础上建立更高层次的认知结构，有利于他们养成严谨细致的学习作风和学习习惯，是一个极其重要而又容易被忽视的环节.著名数学家波利亚说得好：“数学问题的解决仅仅只是一半，而更重要的是解题之后的回顾与反思.”
反思是一种积极的思维活动和探索行为，反思是发现的源泉，是开发解题智慧、优化思维品质的可靠途径.很多数学思想方法，数学的技能技巧，没有学生的反思、没有学生的体验和感悟是无法真正变成学生自己的，这一点是毋庸置疑的.
而从调查反馈来看，大部分中学生的“反思意识”尤为淡薄，笔者认为有两方面的原因：一是缺少教师的示范，二是学生不良的解题习惯.笔者在此强烈呼吁：作为教师一定要给学生一些特别的指导，经常鼓励学生对自己的解题活动进行自觉的反思与调控；作为学生必须重视、必须学会解题后的反思.
【参考文献】
［1］［美］G.波利亚.怎样解题.阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.
［2］任樟辉.数学思维论.南宁：广西教育出版社，1996.
［3］姜伟.强化思维意识，提高数学素养.数学教学通讯，2002（6）.
1.定义域意识
定义域意识也即范围意识，变量范围是变量存在或不存在的前提，应时时不忘变量范围对变量的限制.而学生在解题过程中，由于范围考虑不慎，出现错解的现象比比皆是，实在令人痛惜!为了避免因范围引起的错误，必须强化“定义域意识”.
例1 已知f(x)=2+log3x，x∈［1,9］，则y=f2(x)+f(x2)的最大值为.
误解 易得y=log23x+6log3x+6，令log3x=t.
∵x∈［1,9］，∴t∈［0,2］.
从而，y=t2+6t+6=(t+3)2-3，故当t=2时，ymax=22.
说明 该例是高三一轮复习函数专题里常见的一道题目，笔者曾在整个高三年级作过统计，错误率竟高达86%.错误的根源就是“定义域意识”的缺失.也只有少部分同学考虑到了：对于函数y=f2(x)+f(x2)，因为x∈［1,9］且x2∈［1,9］，所以其定义域为［1,3］，从而，令log3x=t换元后，t∈［0,1］，故当t=1时，ymax=13.
体会 对概念、公式、定理等存在的前提（常常涉及范围）进行全面而深刻的分析，解题中保持变量范围的等价性（如“换元”后立即写出“新元”范围），重视从条件中挖掘隐含范围，准确区分和限制多变量问题中的变量范围，善于构造不等式或运用函数思想求解变量的范围等，均是强化定义域意识的重要渠道.
2.审题意识
审题过程是一个严谨的思维活动过程，而且审题又是正确、迅速解题的基础和前提，但不少学生常常对此掉以轻心，致使解题失误或陷入繁冗之中.
例2 设集合P＝{y|y=x2，x∈R}，Q＝{y|y=2-|x|，x∈R}，求P∩Q.
误解 由y=x2y=2-|x|x=1,y=1或x=-1,y=1,
∴P∩Q＝{（1,1），（－1,1）}.
分析 以上误解正是由于审题不细致引起的，有些同学总意识不到“抓代表元素的属性”是认清集合本质的关键.实际上集合P，Q皆为数集（它们都是函数的值域），化简可得P＝{y|y≥0}，Q＝{y|y≤2}，∴P∩Q＝{y|0≤y≤2}.
体会 平时的教学过程中，应训练学生养成善于认清已知、明确所求、抓好关键词、挖掘隐含条件等良好的审题意识、审题习惯.这对于成功解题至关重要，而这些也恰恰是相当一部分同学的薄弱环节.
3.求简意识
从教学实践和各种检测可以看出，目前中学生的“求简意识”普遍不强，而求简意识又是正确、迅速解题的需要和保证，忽略了求简意识的解题往往过程繁琐，甚至导致错解.
例3 设定义在［-2,2］上的偶函数f(x)在区间［0,2］上单调递减，若f(1-m)
体会 要让学生具备求简意识，一方面，教师应不失时机地引导学生“求简”，及时总结、反思、领悟；另一方面，学生应充分主动地进行灵活扎实的思维训练和解题实践.
4.估算意识
许多选择题都有一定的运算量，需要进行一些运算方能获解，但是往往又可以通过深层次的思维减小运算量，只需进行一些简单的估算即可判断出结果.
例4 （1999年高考第10题）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝32，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（）.
A.92
B.5
C.6
D.152
分析 求该不规则多面体（楔体）的体积按常规思路，采用分割法或补形法，转化为规则几何体，虽可以获解，但需要一定的运算量.若连BE，CEVABCDEF=VE-ABCD+VE-BCF，而VE-ABCD=13•h•SABCD=13×2×32=6，故可由局部估算出整体VABCDEF>6，选D.
体会 数学估算的基本方法有近似计算、由特殊估算一般、由局部估算整体、由一般规律估算个体情况等.现在广泛使用的特例法（也称特值法），其实就是一种简单的估算，让学生了解估算的意义，增强估算意识，对提高处理实际问题的能力大有裨益.
5.动态思维意识
有些问题按常规思路求解，思维容易受阻或运算较繁.若能将研究的问题置于运动的情景之中，用运动变化的观点（有时还要结合极限思维考虑极端位置）来处理，则会使思路新颖、解法简捷.这就是动态思维意识.
6.正难（繁）则反意识
对于一些数学问题，当从正面思考难以奏效（或正面研究情形较繁）时，就可以尝试从反面入手.这就是正难（繁）则反意识，如常用的补集法、反证法或举反例等，其实质是一种逆向思维.
7.特殊化与一般化意识
特殊包含于一般之中，凡一般情况下具有的性质，特殊情况下也应具有；而在特殊情况下不具备的，一般情况下也必不具备.常可利用该关系将问题作“特殊化”或“一般化”处理.
（1）利用“一般情况下正确的命题，在特殊情况下也正确”这一性质来解题.
（2）利用“在特殊情况下错误的命题，在一般情况下也必错误”这一性质来解题.
8.解题后的反思意识
所谓反思，就是对问题及解决问题的思维过程从全方位、多角度、不同层次进行考察、分析和思考.教师在平时的教学中，注意引导学生对问题进行一些反思和探索.通过反思，一方面，可以使学生意识到思维过程的不足，从而能够主动去完善解题过程；另一方面，也可以提高他们发现问题的能力，训练他们思维的严密性和批判性，有利于在原有基础上建立更高层次的认知结构，有利于他们养成严谨细致的学习作风和学习习惯，是一个极其重要而又容易被忽视的环节.著名数学家波利亚说得好：“数学问题的解决仅仅只是一半，而更重要的是解题之后的回顾与反思.”
反思是一种积极的思维活动和探索行为，反思是发现的源泉，是开发解题智慧、优化思维品质的可靠途径.很多数学思想方法，数学的技能技巧，没有学生的反思、没有学生的体验和感悟是无法真正变成学生自己的，这一点是毋庸置疑的.
而从调查反馈来看，大部分中学生的“反思意识”尤为淡薄，笔者认为有两方面的原因：一是缺少教师的示范，二是学生不良的解题习惯.笔者在此强烈呼吁：作为教师一定要给学生一些特别的指导，经常鼓励学生对自己的解题活动进行自觉的反思与调控；作为学生必须重视、必须学会解题后的反思.
【参考文献】
［1］［美］G.波利亚.怎样解题.阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.
［2］任樟辉.数学思维论.南宁：广西教育出版社，1996.
［3］姜伟.强化思维意识，提高数学素养.数学教学通讯，2002（6）.