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【摘要】本文以“二次函数”教学为例，结合具体教学片段，立足建模思想、函数思想、类比思想和直观思想，从创设问题情境、追求“深”“透”“精”、处理课堂意外、关注学生实际四个维度来探索“二次函数”概念教学的有效性策略.
【关键词】概念教学;二次函数;有效性
李邦河院士认为，数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！数学概念的学习是数学能力提升的核心，是培养学生数学思维的根本.概念教学与解题技巧两者存在密切关联，概念教学是强化解题技巧的基础，解题技巧是有效概念教学的直接反映.如果将概念与技巧的位置交换，以表层的解题教学代替深层的概念教学，就违背了数学教育的初衷.因此，探索概念教学的有效性策略具有深刻的现实意义.
一、创设问题情境，引入函数概念
问题情境能够帮助学生在数学知识与生活经验之间建立桥梁，能够以生动的方式呈现数学知识，降低教学内容的抽象性.问题情境的创设要注重科学性、合理性，如果在教学中过分强调情境创设，而忽略了新课内容和学生的实际需要，那么这种不恰当的情境反而会使学生失去兴趣，难以达到理想的教学效果.因此，教师在创设问题情境时，不能盲从主流，需要考虑现实因素.
以“二次函数”问题情境创设为例，设计如下教学片段.
多媒体展示问题1，2和3：
问题1：门前有一块不规则的大草坪，在读幼儿园的小凡突然灵光闪现，想用一条10米长的绳子在那里围一块长方形小草坪，以便搭建城堡.想一想，它的长和宽分别是多少米时，草坪面积是最大的？
问题2：小凡和妈妈一起去逛超市，看到一种草莓口味的饼干.这种饼干售价为每千克15元，则小凡购买饼干的金额y元与饼干重量x千克之间有什么关系？你们能不能列出式子？
问题3：有一家口罩制造厂，若每天安排20位工人，则每人每天可加工口罩120个;若工厂招聘新员工，则每增加1人，每天每人可少加工口罩4个.目前口罩供不应求，工厂领导希望每天加工口罩的数量最多.能不能运用数学知识帮帮忙？
师：现在四位同学为一组，讨论问题1，2，3能分别用什么函数式来表达？
组1：y=-x2 5x，y=15x，y=-4x2 40x 2400.
师：这组同学对题意有了透彻的理解.接下来进一步思考，将上面这三个函数表达式分分类.
组2：第一类是一次函数y=15x，第二类是y=-x2 5x和y=-4x2 40x 2400.
师：很好，这组的同学敏锐地发现了一次函数.说到一次函数，大家是否还记得一次函数的概念？
组3：一次函数的表达式是y=kx b（k≠0）.
师：看来大家对一次函数的印象很深刻.它是关于自变量的一次式，且自变量一次式前的系数不为零.
师：我们知道了第一类是一次函数，那么第二类是什么函数呢？大家有什么新发现吗？
生：……
从问题1，2，3中抽象概括出y=-x2 5x，y=15x，y=-4x2 40x 2400的过程，就是建模过程.建模思想要求学生在较高观点下提炼问题的本质，运用数学语言来简化、刻画和解决问题.教师要从学生的心理特点和学习现状出发有意识地渗透建模思想.此外，问题情境与“在读幼儿园的小凡”这样活生生的人物及生产口罩这样的实际结合起来，添加了生活元素，弱化了数学的抽象性.
深度的情境创设是数学概念教学实现从表层符号学习进入知识内在的结构意义理解的必要条件，也是重要的教学设计途径.教师要从游戏性、故事性、问题性、真实性、重复性、科学性等维度提高概念教学的情境创设水平，通过再现生活场景，让学生感悟数学来源于生活，激发学生学习数学知识的热情，促进后续有效课堂的顺利打造.因此，设计合适的问题情境是提高二次函数概念教学有效性的重要策略.
二、追求“深”“透”“精”，讲解函数概念
“深”“透”“精”指的是知识的深度和厚度.流于表面的知识，最终会随着知识体系的扩大和知识难度的增大而逐渐被淡忘.只有将知识讲“深”，学生才能举一反三，并内化到自身的数学框架之中;只有将知识讲“透”，学生才能透过现象领悟本质;只有将知识讲“精”，学生才能牢固掌握，依托积累的数学知识解决问题.教师在讲解函数概念的同时，需要无形地渗透类比等数学思想方法，这不仅是一个“明确概念”的要求，还是一个“用心感悟”的过程.
以上述“二次函数”问题情境的后续教学为例，阐明“深”“透”“精”的具体操作及意义.
师：我们接着刚才的问题研究，能不能知道第二類函数的名称？
生：……
师：联系一次函数的概念来看第二类函数，表达式含有x2，可以称为什么呢？
生：二次函数.
师：猜想正确.根据一次函数的概念，试着运用类比的方法，描述你心中的二次函数.
生：表达式像y=ax2 bx c这样的函数就是二次函数.
师：前面组3提到一次函数的表达式时，明确指出k≠0，这是为什么？
生：当k=0时，y=b，而b是一个常数.此时，不存在未知数x.
师：若a=0，y=ax2 bx c是一次函数、二次函数还是常数？
生：当a=0时，y=bx c，此时是一次函数或者常数.
师：对，“二次函数”中“二次”是针对x2而言的，如果不存在x2，那也就称不上是二次函数了.
函数思想是指利用运动和变化的观点、集合与对应内在联系去分析和研究数学问题中的数量关系，直接或间接地运用函数图像、性质等知识对问题进行分析、转化和解决的思想.譬如，研究投篮后篮球运动的路线或喷水池中喷出水柱的最大高度问题，就能实现生活实例与函数思想的有效结合.教师通过类比一次函数来引导学生猜想第二类函数名称，体现了“深”;教师针对学生回答得不太严谨的概念，提问为什么要限制k≠0的条件，体现了“透”;教师以问题串的形式，步步追问，最终让学生对概念形成了深刻理解，体现了“精”. 章建跃教授认为：适当应用反例，罗列一些似是而非、容易产生错误的对象让学生辨析，是促进学生认识概念的本质、确定概念的外延的有效手段.概念教学与其他领域的教学有所不同，它允许错误概念的存在.不严谨，甚至是错误的概念也有利于学生掌握正确的概念，其关键在于“揭示存在的冲突与矛盾”.因此，将知识讲“深”、讲“透”、讲“精”是提高二次函数概念教学有效性的隐含条件.
三、处理课堂意外，获得惊喜收获
学生有着活跃的思维和独特的个性，充满着无限的活力和创造力，会不时地给课堂带来许多意外和惊喜.教师应鼓励学生在数学课堂上发出不同的声音，促进其自由发展.处理未知的课堂意外考验教师的教学艺术，教师运用自己的教学智慧解决课堂意外，能够进一步推进数学概念教学的深化，这也是教师教学水平和能力的反映.
在前面铺设层层情境和复习回顾一次函数的概念后，可能会发生如下情形.
师：猜一猜第二类是什么函数，有何特点？和已经学习的一次函数是否存在差别呢？
生：是二次函数.
师：什么是二次函数？
生：是指表达式是y=ax2 bx c，并且要求a≠0这样的函数.
师：它的表达式为什么是y=ax2 bx c？你是怎么得到的？
生：因为关于自变量的一次式，我们称作一次函数，而第二类函数中有x2，它是自变量的二次式.
师：为什么要求a≠0？
生：通过提前预习知道的.
师：预习的习惯在数学学习中至关重要.a≠0是二次函数概念中容易遗漏的条件，大家能不能与一次函数相联系来思考一下a≠0是怎么得到的？
类比思想是根据某个概念已知的特征来推测另一概念可能相应存在的特征，并且这两个概念之间存在着一定的隐性联系.类比将具有相同特征的概念联系起来，不断拓宽学生的知识面.学生通过这两类具有相似特征的函数的类比，可以进一步推导出二次函数的概念与性质.
当教师提出问题“什么是二次函数”时，预设学生表达不完整，教师在学生遗漏a≠0的基础上强调其重要性，加深学生的印象，以达到强化的作用.在上述教学片段中，学生的回答与教师预设的教学安排不一致时，教师能够变通化解课堂意外，通过与学生对话，步步深入，指向教学目标，有效地强化二次函数的概念.因此，恰当地处理课堂意外是提高数学教学的“催化剂”.
四、关注学生实际，总结函数概念
数学教学必须以生为本，了解学生可能面临的困难，如难以从生活实例中抽象出函数表达式、难以把握函数思想、难于纳入已有的函数体系等.教师在二次函数课堂的最后总结时，可以让学生自由分组，自主讨论一次函数概念与二次函数概念的共同点和不同点，逐渐将教学重心转移到“教会学生会学知识”，将课堂的一部分时间交给学生，让他们在讨论中碰撞出火花，实现知识的内化.
师：现在自由分组，根据今天所学的知识，讨论一次函数与二次函数的概念有什么异同点.
经过5分钟的讨论，分享讨论成果.
组1：我发现这两个函数的表达式不同.
师：还有没有其他不同点？
组2：“一次”和“二次”，简单地说就是次数的区别.
师：对，次数是两者最大的区别，二次函数是在一次函数基础上“次”的推广.
师：它们又有什么共同点？
组3：都属于函数的领域，有助于刻画客观世界和解决具体问题.
师：还有其他的共同点吗？
组4：一次函数要求k≠0，二次函数也要求a≠0.
师：对，也就是要求未知数的次数最高项系数不能为0.
教师在学生自由讨论、发言的基础上，以书面化、数学化的语言描述两者的差别，如表1所示.
教师在总结函数概念的过程中，要注重渗透数学直观思想.以表格的形式总结一次函数概念与二次函数概念的异同，使学生直观地认识到二次函数的概念并透彻地理解两者之间的异同点.其中，直观在实质上是指借助某种手段或形式使复杂的数学问题变得形象、易于理解，不能将其简單地理解为用图形表达数学含义.
在上述教学片段中，教师立足于学生现状进行有效的探索，将“关注学生”“从学生出发”落到实处，适当降低数学知识的认知难度，增加具有趣味性的讨论、活动环节，依托自由讨论鼓励学生交流学习收获，让学生自主构建函数概念网络.因此，关注学生实际是提高二次函数概念教学有效性的立足点.
总 结
创设问题情境，降低了概念教学的抽象性和距离感;追求“深”“透”“精”，将厚重的数学知识讲薄、讲清晰;处理课堂意外，深化概念生成，获得意外收获;关注学生实际，使学生在数学学习和心理成长上都取得一定的发展.总之，从上述四个维度入手精心设计教学内容和无声地渗透数学思维方法，有助于实现二次函数概念的精准教学.
【参考文献】
[1] 李邦河.数的概念的发展[J].数学通报，2009，48（08）：1-3.
[2]翟丽萍，吴登文.数学概念深度教学的情境创设策略[J].教学研究，2016（10）：17-18.
[3]董昱洁.普通高中数学函数与方程思想方法教学现状及教学策略研究[D].兰州：西北师范大学，2018.
[4]章建跃.数学课堂教学设计研究[J].数学通报，2006，45（07）：20-26.
【关键词】概念教学;二次函数;有效性
李邦河院士认为，数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！数学概念的学习是数学能力提升的核心，是培养学生数学思维的根本.概念教学与解题技巧两者存在密切关联，概念教学是强化解题技巧的基础，解题技巧是有效概念教学的直接反映.如果将概念与技巧的位置交换，以表层的解题教学代替深层的概念教学，就违背了数学教育的初衷.因此，探索概念教学的有效性策略具有深刻的现实意义.
一、创设问题情境，引入函数概念
问题情境能够帮助学生在数学知识与生活经验之间建立桥梁，能够以生动的方式呈现数学知识，降低教学内容的抽象性.问题情境的创设要注重科学性、合理性，如果在教学中过分强调情境创设，而忽略了新课内容和学生的实际需要，那么这种不恰当的情境反而会使学生失去兴趣，难以达到理想的教学效果.因此，教师在创设问题情境时，不能盲从主流，需要考虑现实因素.
以“二次函数”问题情境创设为例，设计如下教学片段.
多媒体展示问题1，2和3：
问题1：门前有一块不规则的大草坪，在读幼儿园的小凡突然灵光闪现，想用一条10米长的绳子在那里围一块长方形小草坪，以便搭建城堡.想一想，它的长和宽分别是多少米时，草坪面积是最大的？
问题2：小凡和妈妈一起去逛超市，看到一种草莓口味的饼干.这种饼干售价为每千克15元，则小凡购买饼干的金额y元与饼干重量x千克之间有什么关系？你们能不能列出式子？
问题3：有一家口罩制造厂，若每天安排20位工人，则每人每天可加工口罩120个;若工厂招聘新员工，则每增加1人，每天每人可少加工口罩4个.目前口罩供不应求，工厂领导希望每天加工口罩的数量最多.能不能运用数学知识帮帮忙？
师：现在四位同学为一组，讨论问题1，2，3能分别用什么函数式来表达？
组1：y=-x2 5x，y=15x，y=-4x2 40x 2400.
师：这组同学对题意有了透彻的理解.接下来进一步思考，将上面这三个函数表达式分分类.
组2：第一类是一次函数y=15x，第二类是y=-x2 5x和y=-4x2 40x 2400.
师：很好，这组的同学敏锐地发现了一次函数.说到一次函数，大家是否还记得一次函数的概念？
组3：一次函数的表达式是y=kx b（k≠0）.
师：看来大家对一次函数的印象很深刻.它是关于自变量的一次式，且自变量一次式前的系数不为零.
师：我们知道了第一类是一次函数，那么第二类是什么函数呢？大家有什么新发现吗？
生：……
从问题1，2，3中抽象概括出y=-x2 5x，y=15x，y=-4x2 40x 2400的过程，就是建模过程.建模思想要求学生在较高观点下提炼问题的本质，运用数学语言来简化、刻画和解决问题.教师要从学生的心理特点和学习现状出发有意识地渗透建模思想.此外，问题情境与“在读幼儿园的小凡”这样活生生的人物及生产口罩这样的实际结合起来，添加了生活元素，弱化了数学的抽象性.
深度的情境创设是数学概念教学实现从表层符号学习进入知识内在的结构意义理解的必要条件，也是重要的教学设计途径.教师要从游戏性、故事性、问题性、真实性、重复性、科学性等维度提高概念教学的情境创设水平，通过再现生活场景，让学生感悟数学来源于生活，激发学生学习数学知识的热情，促进后续有效课堂的顺利打造.因此，设计合适的问题情境是提高二次函数概念教学有效性的重要策略.
二、追求“深”“透”“精”，讲解函数概念
“深”“透”“精”指的是知识的深度和厚度.流于表面的知识，最终会随着知识体系的扩大和知识难度的增大而逐渐被淡忘.只有将知识讲“深”，学生才能举一反三，并内化到自身的数学框架之中;只有将知识讲“透”，学生才能透过现象领悟本质;只有将知识讲“精”，学生才能牢固掌握，依托积累的数学知识解决问题.教师在讲解函数概念的同时，需要无形地渗透类比等数学思想方法，这不仅是一个“明确概念”的要求，还是一个“用心感悟”的过程.
以上述“二次函数”问题情境的后续教学为例，阐明“深”“透”“精”的具体操作及意义.
师：我们接着刚才的问题研究，能不能知道第二類函数的名称？
生：……
师：联系一次函数的概念来看第二类函数，表达式含有x2，可以称为什么呢？
生：二次函数.
师：猜想正确.根据一次函数的概念，试着运用类比的方法，描述你心中的二次函数.
生：表达式像y=ax2 bx c这样的函数就是二次函数.
师：前面组3提到一次函数的表达式时，明确指出k≠0，这是为什么？
生：当k=0时，y=b，而b是一个常数.此时，不存在未知数x.
师：若a=0，y=ax2 bx c是一次函数、二次函数还是常数？
生：当a=0时，y=bx c，此时是一次函数或者常数.
师：对，“二次函数”中“二次”是针对x2而言的，如果不存在x2，那也就称不上是二次函数了.
函数思想是指利用运动和变化的观点、集合与对应内在联系去分析和研究数学问题中的数量关系，直接或间接地运用函数图像、性质等知识对问题进行分析、转化和解决的思想.譬如，研究投篮后篮球运动的路线或喷水池中喷出水柱的最大高度问题，就能实现生活实例与函数思想的有效结合.教师通过类比一次函数来引导学生猜想第二类函数名称，体现了“深”;教师针对学生回答得不太严谨的概念，提问为什么要限制k≠0的条件，体现了“透”;教师以问题串的形式，步步追问，最终让学生对概念形成了深刻理解，体现了“精”. 章建跃教授认为：适当应用反例，罗列一些似是而非、容易产生错误的对象让学生辨析，是促进学生认识概念的本质、确定概念的外延的有效手段.概念教学与其他领域的教学有所不同，它允许错误概念的存在.不严谨，甚至是错误的概念也有利于学生掌握正确的概念，其关键在于“揭示存在的冲突与矛盾”.因此，将知识讲“深”、讲“透”、讲“精”是提高二次函数概念教学有效性的隐含条件.
三、处理课堂意外，获得惊喜收获
学生有着活跃的思维和独特的个性，充满着无限的活力和创造力，会不时地给课堂带来许多意外和惊喜.教师应鼓励学生在数学课堂上发出不同的声音，促进其自由发展.处理未知的课堂意外考验教师的教学艺术，教师运用自己的教学智慧解决课堂意外，能够进一步推进数学概念教学的深化，这也是教师教学水平和能力的反映.
在前面铺设层层情境和复习回顾一次函数的概念后，可能会发生如下情形.
师：猜一猜第二类是什么函数，有何特点？和已经学习的一次函数是否存在差别呢？
生：是二次函数.
师：什么是二次函数？
生：是指表达式是y=ax2 bx c，并且要求a≠0这样的函数.
师：它的表达式为什么是y=ax2 bx c？你是怎么得到的？
生：因为关于自变量的一次式，我们称作一次函数，而第二类函数中有x2，它是自变量的二次式.
师：为什么要求a≠0？
生：通过提前预习知道的.
师：预习的习惯在数学学习中至关重要.a≠0是二次函数概念中容易遗漏的条件，大家能不能与一次函数相联系来思考一下a≠0是怎么得到的？
类比思想是根据某个概念已知的特征来推测另一概念可能相应存在的特征，并且这两个概念之间存在着一定的隐性联系.类比将具有相同特征的概念联系起来，不断拓宽学生的知识面.学生通过这两类具有相似特征的函数的类比，可以进一步推导出二次函数的概念与性质.
当教师提出问题“什么是二次函数”时，预设学生表达不完整，教师在学生遗漏a≠0的基础上强调其重要性，加深学生的印象，以达到强化的作用.在上述教学片段中，学生的回答与教师预设的教学安排不一致时，教师能够变通化解课堂意外，通过与学生对话，步步深入，指向教学目标，有效地强化二次函数的概念.因此，恰当地处理课堂意外是提高数学教学的“催化剂”.
四、关注学生实际，总结函数概念
数学教学必须以生为本，了解学生可能面临的困难，如难以从生活实例中抽象出函数表达式、难以把握函数思想、难于纳入已有的函数体系等.教师在二次函数课堂的最后总结时，可以让学生自由分组，自主讨论一次函数概念与二次函数概念的共同点和不同点，逐渐将教学重心转移到“教会学生会学知识”，将课堂的一部分时间交给学生，让他们在讨论中碰撞出火花，实现知识的内化.
师：现在自由分组，根据今天所学的知识，讨论一次函数与二次函数的概念有什么异同点.
经过5分钟的讨论，分享讨论成果.
组1：我发现这两个函数的表达式不同.
师：还有没有其他不同点？
组2：“一次”和“二次”，简单地说就是次数的区别.
师：对，次数是两者最大的区别，二次函数是在一次函数基础上“次”的推广.
师：它们又有什么共同点？
组3：都属于函数的领域，有助于刻画客观世界和解决具体问题.
师：还有其他的共同点吗？
组4：一次函数要求k≠0，二次函数也要求a≠0.
师：对，也就是要求未知数的次数最高项系数不能为0.
教师在学生自由讨论、发言的基础上，以书面化、数学化的语言描述两者的差别，如表1所示.
教师在总结函数概念的过程中，要注重渗透数学直观思想.以表格的形式总结一次函数概念与二次函数概念的异同，使学生直观地认识到二次函数的概念并透彻地理解两者之间的异同点.其中，直观在实质上是指借助某种手段或形式使复杂的数学问题变得形象、易于理解，不能将其简單地理解为用图形表达数学含义.
在上述教学片段中，教师立足于学生现状进行有效的探索，将“关注学生”“从学生出发”落到实处，适当降低数学知识的认知难度，增加具有趣味性的讨论、活动环节，依托自由讨论鼓励学生交流学习收获，让学生自主构建函数概念网络.因此，关注学生实际是提高二次函数概念教学有效性的立足点.
总 结
创设问题情境，降低了概念教学的抽象性和距离感;追求“深”“透”“精”，将厚重的数学知识讲薄、讲清晰;处理课堂意外，深化概念生成，获得意外收获;关注学生实际，使学生在数学学习和心理成长上都取得一定的发展.总之，从上述四个维度入手精心设计教学内容和无声地渗透数学思维方法，有助于实现二次函数概念的精准教学.
【参考文献】
[1] 李邦河.数的概念的发展[J].数学通报，2009，48（08）：1-3.
[2]翟丽萍，吴登文.数学概念深度教学的情境创设策略[J].教学研究，2016（10）：17-18.
[3]董昱洁.普通高中数学函数与方程思想方法教学现状及教学策略研究[D].兰州：西北师范大学，2018.
[4]章建跃.数学课堂教学设计研究[J].数学通报，2006，45（07）：20-26.