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摘 要：函数是数学中最主要的概念之一，而函数贯穿整个中学数学。如数、式、方程、函数、排列组合，数列、极限等都是以函数为中心的代数，学好函数可帮助学生学好其它的数学内容，而掌握函数的概念是学好函数的基石，因此掌握函数的概念对中师生或中学生来说相当重要，而要掌握好函数的概念，首先要掌握映射的概念，但是中师教材多数是先讲函数，再讲映射，这不太符合学生的认知规律，因此学生掌握起来比较困难。
关键词：映射；函数；对应；唯一
我任中师数学教学17年，我曾对毕业的学生进行过调查，通过调查我发现，有30%的学生不知道有函数这个概念，有40%的学生不理解这个概念，有25%的学生虽不理解函数这个概念的本质，但能套用这个概念做有关函数的题，只有5%的学生能理解这个概念，为什么会出现这种情况呢？当然与学校对该门学科重视分不开，但其中最主要的原因还在于学生还没有真正理解映射，就先学习函数，因此我认为对函数的教学过程就如下：
一、通过丰富的实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用
（一）先看两个集合A与B的一些对应的例子
A求平方B A乘以2BA开平方B
集合A={1，2，3，4，5，6}B={90，93，98，92}
F：每次考试成绩
通过观察得知：
（1）、（4）叫“多对一”的对应，（3）叫“一对多”的对应，（2）叫“一对一”的对应，（5）不是对应，通过分析可得（1）（2）（4）中的对应关系有这样的特点：对于集合A的任何一个元素，集合B都有唯一的元素和它对应，于是
定义1：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作
F：A→B
（這种具有对应关系的元素也有自己的名称，引出象与原象的概念。
定义2：给定一个映射F：A→B且a€A，b€B，若元素a与元素b对应，则b叫做a的象，而a叫做b的原象。
（二）映射定义剖析
（1）映射是由三部分构成的一个整体：集合A，集合B，对应法则f，这一点从映射的符号表示f：A→B，其中集合A，B可以是数集，点集或其他集合，可以是有限集也可以是无限集，但不能是空集。
（2）映射F：A→B是一种特殊的对应，它要求A中的任何一个元素在B中都有象，并且象唯一，即元素与元素之间的对应必须是“任一对唯一”，不能是“一对多”。
（3）映射F：A→B中，A中不同的元素允许有相同的象，如（1）。
（4）映身F：A→B中，不要求B中每一个元素都有原象，如（4）中元素9就没有原象。
（5）映射是有序的，即映射F：A→B与F：B→A的含义不同。
（6）不是对应的一定不是映射如（5），是对应的不一定是映射如（3）。
如果上述定义1中的集合A、B是两个非空数集，那么定义1就变成函数的概念。
定义3：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和x的对应，那么就称f为从集合A到集合B的一个函数，记作
Y：f（x），x€A或f：A→B
其中，集合A叫做函数的定义域，与X的值域相对应的y的值叫函数值的集合{f（x）|x€A}叫做函数的值域。
从以上概念可看出，函数概念的核心是“映射，理解函数概念要注意：
（1）两个数集间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中的每一个x，数集B中都有唯一确定的y与它对应。
（2）涉及两个数集A、B，而且这两个数集都是非空数集。
这里的关键词是“每一个”，“唯一确定”，也就是对于集合A中的数不能没有数与之对应，而只能有一个与其对应，不能有两个或者两个以上与之对应。
（3）函数概念中涉及的集合A、B，对应关系f是一个整体，是集合A与集合B之间的一种对应关系，应该从整体的角度来认识函数。
二、定义3与初中学的函数概念有什么区别呢？下面我们先来看看初中函数概念的定义
定义4一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y与x的函数，其中x称为自变量。
这个定义从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系，从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式，后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间的变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制，如果只依据变量观点，那么有此函数就很难进行深入研究，例如：
对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，也说不出x的物理意义，但用集合，对应的观点来解释，就十分自然，由此可看出定义3比定义4更全面合理，而定义4的核心还是映射。
通过以上定义1～4的分析，总结得出，函数就是建立在非空数集A、B之上的映射。
关键词：映射；函数；对应；唯一
我任中师数学教学17年，我曾对毕业的学生进行过调查，通过调查我发现，有30%的学生不知道有函数这个概念，有40%的学生不理解这个概念，有25%的学生虽不理解函数这个概念的本质，但能套用这个概念做有关函数的题，只有5%的学生能理解这个概念，为什么会出现这种情况呢？当然与学校对该门学科重视分不开，但其中最主要的原因还在于学生还没有真正理解映射，就先学习函数，因此我认为对函数的教学过程就如下：
一、通过丰富的实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用
（一）先看两个集合A与B的一些对应的例子
A求平方B A乘以2BA开平方B
集合A={1，2，3，4，5，6}B={90，93，98，92}
F：每次考试成绩
通过观察得知：
（1）、（4）叫“多对一”的对应，（3）叫“一对多”的对应，（2）叫“一对一”的对应，（5）不是对应，通过分析可得（1）（2）（4）中的对应关系有这样的特点：对于集合A的任何一个元素，集合B都有唯一的元素和它对应，于是
定义1：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作
F：A→B
（這种具有对应关系的元素也有自己的名称，引出象与原象的概念。
定义2：给定一个映射F：A→B且a€A，b€B，若元素a与元素b对应，则b叫做a的象，而a叫做b的原象。
（二）映射定义剖析
（1）映射是由三部分构成的一个整体：集合A，集合B，对应法则f，这一点从映射的符号表示f：A→B，其中集合A，B可以是数集，点集或其他集合，可以是有限集也可以是无限集，但不能是空集。
（2）映射F：A→B是一种特殊的对应，它要求A中的任何一个元素在B中都有象，并且象唯一，即元素与元素之间的对应必须是“任一对唯一”，不能是“一对多”。
（3）映射F：A→B中，A中不同的元素允许有相同的象，如（1）。
（4）映身F：A→B中，不要求B中每一个元素都有原象，如（4）中元素9就没有原象。
（5）映射是有序的，即映射F：A→B与F：B→A的含义不同。
（6）不是对应的一定不是映射如（5），是对应的不一定是映射如（3）。
如果上述定义1中的集合A、B是两个非空数集，那么定义1就变成函数的概念。
定义3：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和x的对应，那么就称f为从集合A到集合B的一个函数，记作
Y：f（x），x€A或f：A→B
其中，集合A叫做函数的定义域，与X的值域相对应的y的值叫函数值的集合{f（x）|x€A}叫做函数的值域。
从以上概念可看出，函数概念的核心是“映射，理解函数概念要注意：
（1）两个数集间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中的每一个x，数集B中都有唯一确定的y与它对应。
（2）涉及两个数集A、B，而且这两个数集都是非空数集。
这里的关键词是“每一个”，“唯一确定”，也就是对于集合A中的数不能没有数与之对应，而只能有一个与其对应，不能有两个或者两个以上与之对应。
（3）函数概念中涉及的集合A、B，对应关系f是一个整体，是集合A与集合B之间的一种对应关系，应该从整体的角度来认识函数。
二、定义3与初中学的函数概念有什么区别呢？下面我们先来看看初中函数概念的定义
定义4一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y与x的函数，其中x称为自变量。
这个定义从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系，从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式，后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间的变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制，如果只依据变量观点，那么有此函数就很难进行深入研究，例如：
对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，也说不出x的物理意义，但用集合，对应的观点来解释，就十分自然，由此可看出定义3比定义4更全面合理，而定义4的核心还是映射。
通过以上定义1～4的分析，总结得出，函数就是建立在非空数集A、B之上的映射。