摘要:在高中数学中,求解数列的通项公式,方法灵活多样,是高考的重难点之一,本文力求通过几个例子,将数列的相关知识进行梳理.
　　关键词:等比数列;等差数列;化归思想
　　
　　求解数列通项公式,方法灵活多样,对分析、推理能力的要求较高,这是高中数学教学中难点之一. 求数列通项公式的突破口在哪儿呢?笔者认为,在理解定义、运用定义上下工夫,化繁为简,由难变易,教学效果就会显著不同了. 只有理解了等差数列、等比数列的定义后,才会对不少既非等差数列,又非等比数列的数列,通过整理变形化归为一个等差数列或等比数列,从而求出原数列的通项公式.
　　
　　化归为整体成等比数列
　　此方法主要是根据数列递推关系式的特征,通过适当变形,构造出关于某个整体的等比,求出该整体的通项后再求数列的通项公式.
　　例1已知数列{an｝中,a1=1,an=•an-1+1(n≥2),求其通项公式.
　　解由an=an-1+1(n≥2)变形为an-2=(an-1-2),即=,所以{an-2｝是以(a1-2)为首项,公比为的等比数列. 所以an-2=(a1-2)×n-1=(1-2)×n-1=-n-1,从而知an=2-n-1即为所求.
　　小结形如an=kan-1+p(n≥2)这类数列求通项公式,运用待定系数法,令an+x=k(an-1+x),整理为an=kan-1+kx-x与an=kan-1+p,相比较得x,从而构造出新数列{an+x｝为等比数列求解.
　　例2已知在数列{an｝中,a1=1,Sn为其前n项和,且an=-3Sn(Sn-1+1)(n≥2),求an .
　　解因为n≥2,所以an=Sn-Sn-1,所以Sn-Sn-1=-3Sn(Sn-1+1),整理得
　　4Sn-Sn-1=-3SnSn-1.①
　　若Sn=0,则由①可得Sn-1=0,最后必然得到S1=0. 这与题设中S1=a1=1相矛盾,所以SnSn-1≠0. 所以①式可变为=+3.②
　　令bn=,则=4bn-1,所以②式变为bn=4bn-1+3,运用待定系数法得bn+1=4(bn-1+1),所以新数列{bn+1｝是以4为公比,b1+1=+1=2为首项的等比数列. bn+1=2×4n-1=2×22n-2=22n-1,所以bn=22n-1-1. 所以Sn=. 所以an=Sn-Sn-1=-. 所以an=.
　　
　　化归为整体成等差数列
　　例3已知数列{an｝的前n项和为Sn且满足a1=,an=-2SnSn-1(n≥2),求an .
　　解因为n≥2,所以an=Sn-Sn-1,由题意得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,显然Sn-1≠0且Sn≠0(否则S1=a1=矛盾),所以-=-2,即-=2(n≥2),所以新数列是以2为公差,==2为首项的等差数列. 所以=2+(n-1)×2=2n. 所以Sn=(n≥2). 所以an=(n=1),-(n≥2).
　　
　　化归为倒数数列?摇(a≠0)
　　例4已知在数列{an｝中,a1=a,an+1=,求an .
　　分析由递推式公式不容易得到“等差”“等比”类型,如果两边取倒数,即==+=+1,此时若令=bn+1,则有bn+1=bn+.
　　所以新数列{bn-1｝是以为公比,以b1-1=-1=-1=为首项的等比数列. 所以bn-1=×n-1. 所以bn=1+×n-1. 所以an====.
　　在中学教学实践中,求数列通项公式的方法很多,对于给出递推公式的数列,通项公式的求法是将递推公式整理、化归,使之构成一个新数列,然后以这个角度去突破教学难点,学生理解更快,更容易得手.