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古时有这么一句话：“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”其实，在我们解数学问题，苦寻答案不得时，逆转一下思维，也许就会豁然开朗，柳暗花明。
作者简介
张景中：河南汝南人，著名数学家、数学科普作家、中国科学院院士，曾任中国科普作家协会理事长，现任广州大学计算机教育软件研究所所长，
古时有这么一句话：“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处，”其实，在我们解数学问题，苦寻答案不得时，逆转一下思维，也许就会豁然开朗，柳暗花明，
请大家先来跟我做一个游戏：让你的两只手各持绳子的一端，绳端不允许离开手，请问。你能否把绳子打出一个普通的结?
也许你会想不通：绳子与人体形成一个闭合回路，怎么会无端跑出一个结来呢?不过回答却是肯定的，
我们在思考问题的时候，总习惯从原因开始思考结果，而不习惯从结果去追溯原因，上面的问题如果你还没有想出来的话，多半是中了一个小小的思维陷阱，当我们一看到这题，大多数人会去想怎样去摆弄绳子来达到目的，实际上，我们的手只是连接身体与绳子的工具，身体就是一条隐藏的绳子，它通过手与看得见的绳子连成了一个回路，既然看得见的绳子上面没有结，而最后要我们打一个结。说明这个结一定是从隐藏的结(我们的手臂)上面转移过来的，看到这里同学们应该都明白了吧，这个结，其实最开始就在我们的手臂上!至于手臂怎么打结，不用我多说了吧，交叉一下手臂即可，
“抢30”是我国民间的一个两人游戏，具有很强的对抗性和娱乐性，“抢30”游戏通常有两种玩法：
(1)两人从1开始轮流报数，每人每次可报一个数或两个连续的数，谁先报到30。谁就为胜方。
(2)两人从1开始轮流报数，每人每次可报一个数或两个连续的数，同时把两个人报出的所有数累加，谁先使这个累加数最先达到30，谁就为胜方。
解决这个问题的一般策略是用倒推法，以第一种玩法为例，要抢到30，必须抢到27，要抢到27，必须抢到24，如此倒推回去，可得到一系列关键数30，27，24，21，18，……最后一个数是3，根据以上分析，抢30游戏本身并不是一个公平的游戏，初始数和先后顺序已经决定了最后的结果，因为只有后报数者才能抢到3的倍数，后报数者有必胜策略。
在数学中也是一样，有些数学问题如果用常规的解法来处理，则显得耗力费时，还不一定有结果，若采用“倒推法”来解，则显得简捷易求，特别是在用传统“综合法”来解一类数学问题显得力不从心的时候，使用“倒推法”更容易入门，从上面的两个游戏大家应该可以看出，所谓倒推法，通俗地讲就是“还原”，是一种逆向思维的方式，即从事情的结果倒过去想它在开始的时候是怎样的，一般是已知现在(结果)的量，要求原来(开始)的量，
1995年北京市海淀区第十届数学团体赛初一组曾考过这么一道试题：为了从500只外形相同的鸡蛋中找出唯一的一只双黄蛋，检查员将这些蛋按1-500的顺序排成一列，第一次从中取出序号为单数的蛋，发现其中没有双黄蛋，他将剩下的蛋在原来的位置上又按1－250编了号(即原来的2号变为1号，原来的4号变为2号……原来的500号变为250号)，又从中取出新序号为奇数的蛋进行检验，仍没有发现双黄蛋……如此下去，检查到最后一个才是双黄蛋，则这只双黄蛋的最初序号是( )
A 48
B 250
C 256
D 500
此题数目较大且筛选过程烦琐，如果顺着题目的思维从500个蛋往下筛选，虽然最终能够得到答案，但是费时费力，在时间紧张的考试中不宜采用，这里我们不妨使用倒推法，从最后一个被选出的蛋往上推，由题易知在倒数第二次筛选中双黄蛋的序数是2，被筛掉的是1和3，由此我们假没经过n(n为自然数)次时检查到这只双黄蛋，可知第(n-1)次时所剩鸡蛋为3个，此时双黄蛋的编号为2号，倒推上去易知：第(n-2)次时，双黄蛋的编号为2×2=22=4；第(n-3)次时，双黄蛋的编号为2×2×2=23=8…第(n-8)次时，双黄蛋的编号为2×2×…×2=28=256，因为鸡蛋总数是500个，所以这只双黄蛋最初的序号是256，检查员第9次才查到这只双黄蛋，故应选c(此题容易想当然认为最后一个蛋在中间，错选B选项)。
怎么样?大家用顺向思维的方法解答出来了吗?和这个方法比谁更简单呢?其实，逆向思维，自古有之。司马光“砸缸救小孩”便是一个古老而又优美的逆向思维应用的典范，它揭示了一个真理：逆向思维有时比正向思维更能迅速、敏捷地解决实际问题，数学思维方法也无非是这样，另外，由于有些数学定义、公式、定理、运算以及解题过程具有可逆性，所以为我们的逆向思维提供了理论依据。
比方说在我们平常数学学习中，许多公式，法则和定律都可用等式表示，等式具有双向性。既可以用左边的式子替换右边的式子，也可以用右边的式子替换左边的式子，
像有这样一道试题，让你比较-6／23，-4/17，-3/13，-1/47这几个数的大小关系。
按照正常思维方法，比较这几个负分数的大小，一般都是将它们通分，化为同分母的分数，再观察它们的分子，分子越大，则负分数的值也就越小，但是，这四个分数的分母都是质数，公分母为四个分母的连乘积，不但通分过程的计算量大，而且比较它们的大小也不容易，如果采取逆向思维的解题策略，把这四个分数化为同分子的分数，于是得到-12/46，-12/51，-12/52、-12/47，再观察它们的分母，分母越大，则负分数的值也就越大，于是得到-12/46<-12/47<-12/51<-12/52即-6/23<-12/47<-4/17<-3/13
另外，在图形变换中也有可能用到哦，假如给你一个三角形，我们不妨标记为AABC，其中AB 我们曾经把梯形剪切后拼成三角形，就是使梯形的一部分绕一条腰的中点旋转180°(如图1所示)，本题正好相反，由此得到启发，再应用等腰梯形的性质，得到如下做法：
如图2所示，作AD-LBC，垂足为D，在曰C上截IRDE=BD，连结AE，则∠AEB=∠B，出A中点M作MP//AE，交BC于P，MP是所求的剪切线，剪下△XMPC，可以拼成等腰梯形ABPN，
从上面这些例子可以看出，逆向思维在解决数学问题时“别开生面”，说它“巧”，巧就巧在简明扼要，使人意想不到，但也应该指出，逆向思维和顺向思维一样，在解决数学问题时都不是万能的，只能说逆向思维是顺向思维的补充，它们两者思维方向互逆，是相辅相成的，同学们在实践过程中，既要克服顺向思维定式，也要克服逆向思维定式，灵活运用，当顺向思维难以解决时，运用逆向思维就比较容易解决；反之，运用逆向思维感到茫然时。最好及时用顺向思维，
最后，数学中还有一种方法被称为“分析法”，所谓分析法，也是一种“执果索因”的逆向思维方法。通常是为了找到解题思路，理清解题线索而从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法，分析法一般不单独作为解题方法，它得出来的只是解题思路，需要与综合法合用完成解题步骤，多用于主观题：而倒睢法得出来的就是最终的答案，多用于客观题。
作者简介
张景中：河南汝南人，著名数学家、数学科普作家、中国科学院院士，曾任中国科普作家协会理事长，现任广州大学计算机教育软件研究所所长，
古时有这么一句话：“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处，”其实，在我们解数学问题，苦寻答案不得时，逆转一下思维，也许就会豁然开朗，柳暗花明，
请大家先来跟我做一个游戏：让你的两只手各持绳子的一端，绳端不允许离开手，请问。你能否把绳子打出一个普通的结?
也许你会想不通：绳子与人体形成一个闭合回路，怎么会无端跑出一个结来呢?不过回答却是肯定的，
我们在思考问题的时候，总习惯从原因开始思考结果，而不习惯从结果去追溯原因，上面的问题如果你还没有想出来的话，多半是中了一个小小的思维陷阱，当我们一看到这题，大多数人会去想怎样去摆弄绳子来达到目的，实际上，我们的手只是连接身体与绳子的工具，身体就是一条隐藏的绳子，它通过手与看得见的绳子连成了一个回路，既然看得见的绳子上面没有结，而最后要我们打一个结。说明这个结一定是从隐藏的结(我们的手臂)上面转移过来的，看到这里同学们应该都明白了吧，这个结，其实最开始就在我们的手臂上!至于手臂怎么打结，不用我多说了吧，交叉一下手臂即可，
“抢30”是我国民间的一个两人游戏，具有很强的对抗性和娱乐性，“抢30”游戏通常有两种玩法：
(1)两人从1开始轮流报数，每人每次可报一个数或两个连续的数，谁先报到30。谁就为胜方。
(2)两人从1开始轮流报数，每人每次可报一个数或两个连续的数，同时把两个人报出的所有数累加，谁先使这个累加数最先达到30，谁就为胜方。
解决这个问题的一般策略是用倒推法，以第一种玩法为例，要抢到30，必须抢到27，要抢到27，必须抢到24，如此倒推回去，可得到一系列关键数30，27，24，21，18，……最后一个数是3，根据以上分析，抢30游戏本身并不是一个公平的游戏，初始数和先后顺序已经决定了最后的结果，因为只有后报数者才能抢到3的倍数，后报数者有必胜策略。
在数学中也是一样，有些数学问题如果用常规的解法来处理，则显得耗力费时，还不一定有结果，若采用“倒推法”来解，则显得简捷易求，特别是在用传统“综合法”来解一类数学问题显得力不从心的时候，使用“倒推法”更容易入门，从上面的两个游戏大家应该可以看出，所谓倒推法，通俗地讲就是“还原”，是一种逆向思维的方式，即从事情的结果倒过去想它在开始的时候是怎样的，一般是已知现在(结果)的量，要求原来(开始)的量，
1995年北京市海淀区第十届数学团体赛初一组曾考过这么一道试题：为了从500只外形相同的鸡蛋中找出唯一的一只双黄蛋，检查员将这些蛋按1-500的顺序排成一列，第一次从中取出序号为单数的蛋，发现其中没有双黄蛋，他将剩下的蛋在原来的位置上又按1－250编了号(即原来的2号变为1号，原来的4号变为2号……原来的500号变为250号)，又从中取出新序号为奇数的蛋进行检验，仍没有发现双黄蛋……如此下去，检查到最后一个才是双黄蛋，则这只双黄蛋的最初序号是( )
A 48
B 250
C 256
D 500
此题数目较大且筛选过程烦琐，如果顺着题目的思维从500个蛋往下筛选，虽然最终能够得到答案，但是费时费力，在时间紧张的考试中不宜采用，这里我们不妨使用倒推法，从最后一个被选出的蛋往上推，由题易知在倒数第二次筛选中双黄蛋的序数是2，被筛掉的是1和3，由此我们假没经过n(n为自然数)次时检查到这只双黄蛋，可知第(n-1)次时所剩鸡蛋为3个，此时双黄蛋的编号为2号，倒推上去易知：第(n-2)次时，双黄蛋的编号为2×2=22=4；第(n-3)次时，双黄蛋的编号为2×2×2=23=8…第(n-8)次时，双黄蛋的编号为2×2×…×2=28=256，因为鸡蛋总数是500个，所以这只双黄蛋最初的序号是256，检查员第9次才查到这只双黄蛋，故应选c(此题容易想当然认为最后一个蛋在中间，错选B选项)。
怎么样?大家用顺向思维的方法解答出来了吗?和这个方法比谁更简单呢?其实，逆向思维，自古有之。司马光“砸缸救小孩”便是一个古老而又优美的逆向思维应用的典范，它揭示了一个真理：逆向思维有时比正向思维更能迅速、敏捷地解决实际问题，数学思维方法也无非是这样，另外，由于有些数学定义、公式、定理、运算以及解题过程具有可逆性，所以为我们的逆向思维提供了理论依据。
比方说在我们平常数学学习中，许多公式，法则和定律都可用等式表示，等式具有双向性。既可以用左边的式子替换右边的式子，也可以用右边的式子替换左边的式子，
像有这样一道试题，让你比较-6／23，-4/17，-3/13，-1/47这几个数的大小关系。
按照正常思维方法，比较这几个负分数的大小，一般都是将它们通分，化为同分母的分数，再观察它们的分子，分子越大，则负分数的值也就越小，但是，这四个分数的分母都是质数，公分母为四个分母的连乘积，不但通分过程的计算量大，而且比较它们的大小也不容易，如果采取逆向思维的解题策略，把这四个分数化为同分子的分数，于是得到-12/46，-12/51，-12/52、-12/47，再观察它们的分母，分母越大，则负分数的值也就越大，于是得到-12/46<-12/47<-12/51<-12/52即-6/23<-12/47<-4/17<-3/13
另外，在图形变换中也有可能用到哦，假如给你一个三角形，我们不妨标记为AABC，其中AB
如图2所示，作AD-LBC，垂足为D，在曰C上截IRDE=BD，连结AE，则∠AEB=∠B，出A中点M作MP//AE，交BC于P，MP是所求的剪切线，剪下△XMPC，可以拼成等腰梯形ABPN，
从上面这些例子可以看出，逆向思维在解决数学问题时“别开生面”，说它“巧”，巧就巧在简明扼要，使人意想不到，但也应该指出，逆向思维和顺向思维一样，在解决数学问题时都不是万能的，只能说逆向思维是顺向思维的补充，它们两者思维方向互逆，是相辅相成的，同学们在实践过程中，既要克服顺向思维定式，也要克服逆向思维定式，灵活运用，当顺向思维难以解决时，运用逆向思维就比较容易解决；反之，运用逆向思维感到茫然时。最好及时用顺向思维，
最后，数学中还有一种方法被称为“分析法”，所谓分析法，也是一种“执果索因”的逆向思维方法。通常是为了找到解题思路，理清解题线索而从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法，分析法一般不单独作为解题方法，它得出来的只是解题思路，需要与综合法合用完成解题步骤，多用于主观题：而倒睢法得出来的就是最终的答案，多用于客观题。