论文部分内容阅读
【摘要】在这篇文章中，对满足齐次Dirichlet边值条件的椭圆型MongeAmpère方程， 在二维常曲率黎曼流形上借助与解有关的辅助函数，在u的Hessian矩阵特征值满足一定条件时，给出一个与此方程解有关的微分不等式证明.
【关键词】 黎曼流形;曲率;微分不等式
【基金项目】北京电子科技职业学院校内科技重点课题 “有关一类椭圆偏微分方程解的微分不等式”（项目编号：2018Z002-022-KXZ）
一、引言
对完全非线性的MongeAmpère方程det D2u=f（x），近几年有较丰富的研究成果，比如在欧式空间中、空间形式中都有较好的结论，尤其是方程解的凸性估计.主要思路是构造一个与蒙日安培方程解有关的辅助函数，利用这个辅助函数进而证明与该方程解相关的微分不等式，从而去进行更深的凸性估计.
对满足齐次Dirichlet边值条件的椭圆型MongeAmpère方程
det D2u=1 in Ω，
u=0on Ω，
本文将在低维黎曼流形上进行类似的研究，通过构造一个辅助函数得到一个与椭圆型MongeAmpère方程解的微分不等式，并给出详尽的证明.
二、主要结论
定理内容 设（M2，g）是具有非负截面曲率K=ε（ε≥0）的二维常曲率黎曼流形，ΩM2为有界凸区域.u是满足齐次Dirichlet边值条件的MongeAmpère方程
的一个严格凸解， 设函数ψ=∑2k，l=1σ2（D2u）uklukul-2u，若对u的Hessian矩阵特征值uii有uii2≥2成立，则有微分不等式∑2i，j=1uijψij≥0成立.
三、定理证明
在二维黎曼流形上定义曲率张量：
R（X，Y）Z=SymbolQC@XSymbolQC@YZ-SymbolQC@YSymbolQC@XZ-SymbolQC@[X，Y]Z，
记gij=g（ei，ej），定义
Rijkl=〈R（ek，el）ej，ei〉.
在二维常曲率黎曼流形上有
Rijkl=ε（gikgjl-gilgjk），
uijk=uikj-∑2β=1Rkjβiuβ，
uijkl=uijlk ∑2β=1Rβikluβj ∑2β=1Rβjkluiβ.
定义：
akl=σ2（D2u）ukl，
其中（ukl）=（ukl）-1，
akl=∑2j=1，j≠kujj，k=l，
-ukl，k≠l.
定理证明
已知D2u
【关键词】 黎曼流形;曲率;微分不等式
【基金项目】北京电子科技职业学院校内科技重点课题 “有关一类椭圆偏微分方程解的微分不等式”（项目编号：2018Z002-022-KXZ）
一、引言
对完全非线性的MongeAmpère方程det D2u=f（x），近几年有较丰富的研究成果，比如在欧式空间中、空间形式中都有较好的结论，尤其是方程解的凸性估计.主要思路是构造一个与蒙日安培方程解有关的辅助函数，利用这个辅助函数进而证明与该方程解相关的微分不等式，从而去进行更深的凸性估计.
对满足齐次Dirichlet边值条件的椭圆型MongeAmpère方程
det D2u=1 in Ω，
u=0on Ω，
本文将在低维黎曼流形上进行类似的研究，通过构造一个辅助函数得到一个与椭圆型MongeAmpère方程解的微分不等式，并给出详尽的证明.
二、主要结论
定理内容 设（M2，g）是具有非负截面曲率K=ε（ε≥0）的二维常曲率黎曼流形，ΩM2为有界凸区域.u是满足齐次Dirichlet边值条件的MongeAmpère方程
的一个严格凸解， 设函数ψ=∑2k，l=1σ2（D2u）uklukul-2u，若对u的Hessian矩阵特征值uii有uii2≥2成立，则有微分不等式∑2i，j=1uijψij≥0成立.
三、定理证明
在二维黎曼流形上定义曲率张量：
R（X，Y）Z=SymbolQC@XSymbolQC@YZ-SymbolQC@YSymbolQC@XZ-SymbolQC@[X，Y]Z，
记gij=g（ei，ej），定义
Rijkl=〈R（ek，el）ej，ei〉.
在二维常曲率黎曼流形上有
Rijkl=ε（gikgjl-gilgjk），
uijk=uikj-∑2β=1Rkjβiuβ，
uijkl=uijlk ∑2β=1Rβikluβj ∑2β=1Rβjkluiβ.
定义：
akl=σ2（D2u）ukl，
其中（ukl）=（ukl）-1，
akl=∑2j=1，j≠kujj，k=l，
-ukl，k≠l.
定理证明
已知D2u