综合测试(满分100分)3

来源 :数学金刊·高考版 | 被引量 : 0次 | 上传用户:hyb332145820
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  一、选择题:每小题5分,共25分.
  1. 已知平面α,β和直线m ,给出下列条件:①m∥α;②m⊥α;③m?奂α;④α⊥β;⑤α∥β. 为使m⊥β,应选择下面四个选项中的( )
  A. ③⑤ B. ①⑤
  C. ①④ D. ②⑤
  2. 如图29,三棱锥V-ABC中,VA⊥VC,AB⊥BC,∠VAC=∠ACB=30°. 若侧面VAC⊥底面ABC,则其主视图与左视图面积之比为( )
  A. 4∶ B. 4∶
  C. ∶ D. ∶
  图29 图30
  3. 如图30,AB是⊙O的直径,VA垂直⊙O所在的平面,点C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是( )
  A. MN∥AB
  B. MN与BC所成的角为45°
  C. OC⊥平面VAC
  D. 平面VAC⊥平面VBC
  4. 若正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半径为1的球,则当该棱柱体积最大时,它的高h为( )
  A. B.
  C. D. 2
  5. 如图31,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F∥平面D1AE,则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是( )
  图31
  A. t ≤t≤2
  B. t ≤t≤2
  C. t2≤t≤2
  D. t2≤t≤2
  二、填空题:每小题5分,共15分.
  6. 如图32,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是________.
  图32
  7. 给出下面五个命题:
  ①在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行;
  ②设l,m是不同的直线,α是一个平面,若l⊥α,l∥m,则m⊥α;
  ③已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件;
  ④若点P到三角形三个顶点的距离相等,则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心;
  ⑤a,b是两条异面直线,P为空间一点,过P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一个平行.
  其中正确的命题是__________(只填序号).
  8. 如图33,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点. 现将△AFD沿AF折起,使平面ADF⊥平面ABC. 在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足. 设AK=t,则t的取值范围是__________.
  图33
  三、解答题:每小题15分,共60分.
  9. 如图34,四边形ABCD和四边形ABEF都是直角梯形,AD∥BC,AF∥BE,∠DAB=∠FAB=90°,且平面ABCD⊥平面ABEF,DA=AB=BE=2,BC=1.
  (1)证明:DA⊥EF;
  (2)求直线BE与平面DCE所成角的正弦值.
  图34
  10. 如图35,边长为4的菱形ABCD中,∠A=60°,E为线段CD上的中点,以BE为折痕,将△BCE折起,使得二面角C′-BE-C成θ角.
  (1)当θ在(0,π)内变化时,直线AD与平面BC′E是否会平行?请说明理由;
  (2)若θ=90°,求直线C′A与平面BC′E所成角的正弦值.
  图35
  11. 如图36,PA⊥平面ABC,点C在以AB为直径的圆O上,∠CBA=30°,PA=AB=2,点E为线段PB的中点,点M在弧AB上,且OM∥AC.
  图36
  (1)求证:平面MOE∥平面PAC;
  (2)求证:平面PAC⊥平面PCB;
  (3)设二面角M-BP-C的大小为θ,求cosθ的值.
  12. 如图37,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB∥DC,AA1=1,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k(k>0).
  (1)求证:CD⊥平面ADD1A1;
  (2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为 ,求k的值;
  (3)现将与四棱柱ABCD-A1B1C1D1的形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱,规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案. 问:共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为f(k),写出f(k)的表达式. (直接写出答案,不必要说明理由)
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