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中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，反映了事物两个方面的属性，数与形也是数学中的两个最古老、最基本的研究对象，它们是有联系的，它们在一定条件下可以相互转化，这种联系称之为“数形结合”。数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系对应起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：一是借助于数的精确性和思维的严密性来阐明形的某些属性，即“以数解形”， 它是以“数”为手段，以“形”为目的，如果有些图形直接观察看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。 二是借助形的生动性和几何直观性来阐明数之间某种关系，即“以形助数”。它是以“形”为手段，以“数”为目的，如应用函数的图象来直观地说明函数的性质，应用数轴直观表达不等式（组）的解集等。数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，其关键是代数问题与图形之间的相互转化。同时，我们要明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义。
著名数学家华罗庚先生曾对数形结合的思想方法赋诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。”从前辈的精彩语言，可以感受到数形结合的重要性和必要性。
实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：
一、解决集合问题
在集合运算中常常借助于数轴来处理集合的等运算，从而使问题得以简化，使计算快捷明了。
示例1.若不等式x>a
5+2x<3x+1的解集是x>4，求a的取值范围。
分析：在数轴上表示5+2x<3x+1的解，即x>4，再根据条件确定a的位置，从而可得a的取值范围是a≤4。当然，也可使用口诀“大大取大”求解，但不如前者直观生动。
二、解决函数问题
借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征完全反映了函数的相关性质，包括函数的定义域、值域、对称性、单调性、周期性、最值、极值等，几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的思想方法。
示例2. 某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数如图①所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩）之间函数关系如图②所示．
（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是 140 元，小张应得的工资总额是 2800元，此时，小李种植水果 10 亩，小李应得的报酬是 1500元；
（2）当10＜n≤30时，求z与n之间的函数关系式；
（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10＜m≤30时，求w与m之间的函数关系式。
图①图②
分析：（1）根据图象数据，结合图像上点的横纵坐标的意义解答即可；
（2）设z=kn+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析A
（3）先求出20＜m≤30时y与m的函数关系式，再分①10＜m≤20时，10＜m≤20；②20＜m≤30时，0＜n≤10两种情况，根据总费用等于两人的费用之和列式整理即可得解．
解：（1）略
（2）z=120n+300（10＜n≤30）；
（3）当10＜m≤30时，设y=km+b，
∵函数图象经过点（10，160），（30，120），
∴10k+b=160
30k+b=120，解得k=-2
b=180，∴y=﹣2m+180，
又∵m+n=30，∴n=30﹣m，
故①当10＜m≤20时，10＜m≤20，
w=m（﹣2m+180）+120n+300，=m（﹣2m+180）+120（30﹣m）+300，=﹣2m2+60m+3900。
②当20＜m≤30时，0＜n≤10，w=m（﹣2m+180）+150n=m（﹣2m+180）+150（30﹣m）=﹣2m2+30m+4500。
所以，w与m之间的函数关系式为
w=-2m2+60m+3900(10＜m≤20)
-2m2+30m+4500(20＜m≤30)
注：本题用函数图像反映事物的规律，难点在于要读懂函数图像所表达的的实际意义，注意分类讨论和m、n不同的取值范围所对应函数关系式。 对于这个问题的分析与解答，可以很好地培养学生数形结合的思想方法，拓展学生思维，提升学生素质。
示例3.如图，点A的坐标是（-1，0），点B在直线y=2x-4上运动，当线段AB最短时，求点B的坐标。
解法1.分析：易知，当直线AB与直线y=2x-4互相垂直时，线段AB最短。此时，直线AB的解析式为y=-12x-12,解方程组y=2x-4
y=-12x-12，
得解x=75
y=-65，即B(75,-65)。
此法先确定点B的位置，再利用直线的交点的求法确定点B的坐标。方程的思想简单易行。
解法2.可设B（m,2m-4)，利用两点的距离公式得
AB2=(m+1)2+(2m-4)2=5m2-14m+17=5(m-75)2+365，从而得知，当m=75时,线段AB最短，此时，B的坐标是(75,-65)。
此法借助距离公式建立二次函数，通过分析函数性质求解，生动有趣。
解法3.可设B（m,2m-4)，则AB=（m+1,2m-4),直线y=2x-4的一个法向量为（2，-1),由（m+1,2m-4)//（2，-1)得2（2m-4)-（-1）×（m+1)=0，从而m=75，B的坐标是(75,-65)。向量的方法可行。
三、解决不等式的问题
从题目的条件与结论出发，联系相关函数，分析其几何意义，从函数图像上找到解题的思路。
示例4. 如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（ ）
A.x< 32 B.x<3C.x>32 D. x>3
分析：先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集是x<32。
示例5.已知A（1，5），B（3，-1）两点，在x轴上取一点M，使｜AM-BM｜取得最大值时，则求M的坐标。
分析：如果设M（x，0），
得｜AM-BM｜= ｜(x-1)2+25-(x-3)2+1 ｜，
再分析此式结构，采用分子有理化等方法，将造成繁琐的计算。但是，如果采用数形结合的思想方法，则思路清晰，过程简单：
做出点A关于x轴的对称点C，易知，MA=MC，若点M、B、C不共线，
｜CM-BM｜ ｜CM-BM｜=BC，可知BC与x轴的交点为所求。
又知C（1，-5），BC：y=2x-7，故M（72，0）。
显然，在直角坐标系中合理利用对称性，结合图像和三角形的相关知识，一定会达到“柳暗花明又一村”的意想不到的效果，充分显示数形结合的伟大功效。
数形结合是数学解题中常用的思想方法，它可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，易发现解题途径，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，能避免复杂的计算与推理，这在解选择题、填空题中更显其优越，可起到事半功倍的效果，而且能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；同时，也可以运用数的精确性定位、定值，寻找事物的规律，使思维达到一定的高度。
所以，我们在思考数学问题时，要有意识地大量使用数形结合的方法，争取见图有数、有数想图，以开拓自己的思维视野，培养数形结合的思想意识，体验数学的无穷魅力，提升数学素养，让数学之花在我们的生活、生产、科研中开得更鲜艳、更美丽！
著名数学家华罗庚先生曾对数形结合的思想方法赋诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。”从前辈的精彩语言，可以感受到数形结合的重要性和必要性。
实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：
一、解决集合问题
在集合运算中常常借助于数轴来处理集合的等运算，从而使问题得以简化，使计算快捷明了。
示例1.若不等式x>a
5+2x<3x+1的解集是x>4，求a的取值范围。
分析：在数轴上表示5+2x<3x+1的解，即x>4，再根据条件确定a的位置，从而可得a的取值范围是a≤4。当然，也可使用口诀“大大取大”求解，但不如前者直观生动。
二、解决函数问题
借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征完全反映了函数的相关性质，包括函数的定义域、值域、对称性、单调性、周期性、最值、极值等，几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的思想方法。
示例2. 某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数如图①所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩）之间函数关系如图②所示．
（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是 140 元，小张应得的工资总额是 2800元，此时，小李种植水果 10 亩，小李应得的报酬是 1500元；
（2）当10＜n≤30时，求z与n之间的函数关系式；
（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10＜m≤30时，求w与m之间的函数关系式。
图①图②
分析：（1）根据图象数据，结合图像上点的横纵坐标的意义解答即可；
（2）设z=kn+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析A
（3）先求出20＜m≤30时y与m的函数关系式，再分①10＜m≤20时，10＜m≤20；②20＜m≤30时，0＜n≤10两种情况，根据总费用等于两人的费用之和列式整理即可得解．
解：（1）略
（2）z=120n+300（10＜n≤30）；
（3）当10＜m≤30时，设y=km+b，
∵函数图象经过点（10，160），（30，120），
∴10k+b=160
30k+b=120，解得k=-2
b=180，∴y=﹣2m+180，
又∵m+n=30，∴n=30﹣m，
故①当10＜m≤20时，10＜m≤20，
w=m（﹣2m+180）+120n+300，=m（﹣2m+180）+120（30﹣m）+300，=﹣2m2+60m+3900。
②当20＜m≤30时，0＜n≤10，w=m（﹣2m+180）+150n=m（﹣2m+180）+150（30﹣m）=﹣2m2+30m+4500。
所以，w与m之间的函数关系式为
w=-2m2+60m+3900(10＜m≤20)
-2m2+30m+4500(20＜m≤30)
注：本题用函数图像反映事物的规律，难点在于要读懂函数图像所表达的的实际意义，注意分类讨论和m、n不同的取值范围所对应函数关系式。 对于这个问题的分析与解答，可以很好地培养学生数形结合的思想方法，拓展学生思维，提升学生素质。
示例3.如图，点A的坐标是（-1，0），点B在直线y=2x-4上运动，当线段AB最短时，求点B的坐标。
解法1.分析：易知，当直线AB与直线y=2x-4互相垂直时，线段AB最短。此时，直线AB的解析式为y=-12x-12,解方程组y=2x-4
y=-12x-12，
得解x=75
y=-65，即B(75,-65)。
此法先确定点B的位置，再利用直线的交点的求法确定点B的坐标。方程的思想简单易行。
解法2.可设B（m,2m-4)，利用两点的距离公式得
AB2=(m+1)2+(2m-4)2=5m2-14m+17=5(m-75)2+365，从而得知，当m=75时,线段AB最短，此时，B的坐标是(75,-65)。
此法借助距离公式建立二次函数，通过分析函数性质求解，生动有趣。
解法3.可设B（m,2m-4)，则AB=（m+1,2m-4),直线y=2x-4的一个法向量为（2，-1),由（m+1,2m-4)//（2，-1)得2（2m-4)-（-1）×（m+1)=0，从而m=75，B的坐标是(75,-65)。向量的方法可行。
三、解决不等式的问题
从题目的条件与结论出发，联系相关函数，分析其几何意义，从函数图像上找到解题的思路。
示例4. 如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（ ）
A.x< 32 B.x<3C.x>32 D. x>3
分析：先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集是x<32。
示例5.已知A（1，5），B（3，-1）两点，在x轴上取一点M，使｜AM-BM｜取得最大值时，则求M的坐标。
分析：如果设M（x，0），
得｜AM-BM｜= ｜(x-1)2+25-(x-3)2+1 ｜，
再分析此式结构，采用分子有理化等方法，将造成繁琐的计算。但是，如果采用数形结合的思想方法，则思路清晰，过程简单：
做出点A关于x轴的对称点C，易知，MA=MC，若点M、B、C不共线，
｜CM-BM｜
又知C（1，-5），BC：y=2x-7，故M（72，0）。
显然，在直角坐标系中合理利用对称性，结合图像和三角形的相关知识，一定会达到“柳暗花明又一村”的意想不到的效果，充分显示数形结合的伟大功效。
数形结合是数学解题中常用的思想方法，它可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，易发现解题途径，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，能避免复杂的计算与推理，这在解选择题、填空题中更显其优越，可起到事半功倍的效果，而且能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；同时，也可以运用数的精确性定位、定值，寻找事物的规律，使思维达到一定的高度。
所以，我们在思考数学问题时，要有意识地大量使用数形结合的方法，争取见图有数、有数想图，以开拓自己的思维视野，培养数形结合的思想意识，体验数学的无穷魅力，提升数学素养，让数学之花在我们的生活、生产、科研中开得更鲜艳、更美丽！