若用直接证法证明命题“两内角平分线相等的三角形是等腰三角形”, 在很多资料上表明问题已被用不同方法得到完全解决,但证题过程较为复杂,寻找简捷的证明方法有待于进一步探索,在间接证法中最多见的是反证法,读者在阅读、理解方面都存在诸多不便,如果选用间接证法中的“同一法”,可使证题过程简化,且便于理解,于是将该证法整理如下,并作一些探讨.
　　定理 两内角平分线相等的三角形是等腰三角形.
　　已知:如图1,△ABC中,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,且BD=CE.
　　求证:AB=AC.
　　分析 结合题目的条件,要证AB=AC,必先证∠ABC=∠ACB,又两角被平分,且平分后的角不易找到直接的相等关系,仔细观察发现∠EBD与∠ECD所对的是同一条边DE,若转化在圆中就是两圆周角所对的公共弦,便可找出互相之间的联系,于是可以考虑B、E、C、D是否在同一个圆上,恰好用“同一法”可以解决这一点,问题就得到简化.
　　证明 过点B、D、C作⊙O交CE或其延长线于点H,因为BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,所以CD[TX(]=HD[TX(],HD[TX(]=BH[TX(],所以CDH[TX(]=BHD[TX(].
　　所以CH=BD.因为BD=CE,所以CH=CE,又点H在CE上,所以点H与点E重合.所以∠ABC=∠ACB.所以AB=AC.所以三角形ABC是等腰三角形.
　　上面过B、C、D三点作一个辅助圆后,把角平分线与弧之间的关系紧密联系,从而使弧与CE的交点H和点E之间的关系成为解题的主线,然后证得点H与点E 重合,问题获得解决,这就应用了反证法中“同一法”的思想.经过这一证明,在相同条件下,图中许多关系非常明显,若用命题形式表达出来,则有以下两个命题尤为重要.
　　命题1 三角形中两内角平分线相等,则角平分线与对边的交点的连线平行于第三边.
　　已知:如图2,△ABC中,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,且BD=CE.求证:DE∥BC.
　　证明 由以上定理的证明得△ABC是等腰三角形,易证∠1=∠2.所以 PB=PC.
　　因为BD=CE,所以PE=PD,所以∠3=∠PED.因为 ∠EPD=∠CPB,所以∠1=∠3,所以DE∥BC.
　　此命题是在定理的基础上作出的进一步推理,只要满足三角形两内角平分线相等,则推得线段之间的平行关系,在相关三角形问题的证明中能起到条件转换的作用,可使一部分问题简化.
　　命题2 对角线平分两锐角且相等的四边形是等腰梯形.
　　已知:如图3,在四边形ABCD中,AC、BD是对角线, BD平分锐角∠ABC. CA平分锐角∠DCB,且BD=AC.求证:四边形ABCD是等腰梯形.
　　证明 延长BA、CD相交于点F.根据定理易得BF=CF.由命题1可证得AD∥BC.所以∠FAD=∠ABC,∠FDA=∠DCB.
　　因为 ∠ABC=∠DCB,
　　所以∠FAD=∠FDA,
　　所以AF=FD,
　　所以BF-AF=CF-FD,
　　所以AB=CD.即四边形ABCD是等腰梯形.
　　此题与前面问题相比不同之处是,三角形中两内角已经隐含了角为锐角的条件,所以扩充到四边形中必须把锐角这一条件补出,否则条件被放宽,导致命题的结论不成立.
　　这个定理和相关命题的证明,应用了圆和三角形的许多重要性质,分析这些问题的思考和解决过程,说明认真观察图形、分析问题找到相互之间的联系是使问题得到解决的前提,只要加以训练,有助于提高应用圆的一些性质和定理解决角相等、线段相等、两直线平行、垂直等问题,不断让解综合题的能力得到加强,对复杂的问题,可以大胆地对各种量相互之间的联系作出某些猜想,形成命题,最终再努力寻求解决途径,促使自已专业知识不断发展.
　　
　　参考文献
　　[1] 刘晓玫,章 飞. 九年级数学(上)[M].北京:北京师范大学出版社,2007:6.[ZK)]
　　[2] 朱德祥.初等几何研究[M].北京:高等教育出版社出版,1995:30.[ZK)]
　　[3] 徐彦明.也谈斯坦纳—雷米欧斯定理的证明[J].中小学数学(初中教师版),2003,(12).
　　[4] 施联华.斯坦纳—莱默斯定理[J].中学数学教学参考(学生版),2003,(12).
　　作者简介:何正权,男,汉族,贵州威宁人,中学一级教师.