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【摘要】本文主要讨论了一类带有不确定项的线性周期时变切换系统的输出反馈镇定问题。对于周期系统,首先通过对每个子系统运用Floquet变换,将带有不确定项的线性时变系统变换为带有不确定项的线性定常系统,进一步利用离散化的方法,在一定的条件下通过松弛变量条件约束下的线性矩阵不等式,给出了在任意切换律下带有不确定项的线性时变切换系统的输出反馈镇定的充分条件。
【关键字】线性时变周期切换系统 输出反馈镇定 线性矩阵不等式
【中图分类号】TH123+.1 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)11(a)-0211-02
切换系统是由一系列连续时间子系统利用一定的切换信号将它们联结而成的混杂动力系统。近年来,切换系统的研究已成为控制界的前沿热点课题。周期系统的切换是切换系统的一类重要组成部分。对于周期线性时变系统,多采用Floquet变换,将带有不确定项的线性时变系统变换为带有不确定项的线性定常系统,从而可应用定常线性切换系统的稳定性理论解决线性周期切换系统的稳定性问题。如文献[5]利用Floquet定理给出了周期线性定常切换系统指数稳定的充分必要条件。文献[6]通过Lyapunov函数分析了离散切换系统的反馈控制问题。文献[7]利用离散化的方法,通过矩阵不等式研究周期时变切换系统的全局镇定问题,并给出了切换律。基于上述文献,本文利用Floquet变换和离散化的方法,通过在松弛变量条件约束下的线性矩阵不等式来研究一类带有不确定项的线性周期时变切换系统的输出反馈镇定的充分条件。
1 问题描述
考虑如下带有不确定项的线性周期时变切换系统
(2.1)
其中为系统的状态变量,为系统的输入变量,为系统的输出变量,均为相应维数且是关于t的连续函数,周期为T。
设是分段常值切换函数,其值可能在处改变,且。
假设均为行满秩矩阵。
对离散切换系统
(2.2)
定义指标函数
其中
则切换系统(2.2)可以写成
(2.4)
定义1:对系统(2.4),若存在N个对称正定矩阵,使得
(2.5)
且
则称系统(2.2)的原点是全局渐近稳定的,此时称为系统(2.2)的切换Lyapunov函数。
引理:对系统(2.2)渐近稳定,下列说法是等价的:
(i)若存在一个切换Lyapunov函数
是正定的,且差分
是负定的,其中
(ii)若存在N个对称正定矩阵，满足
(2.6)
(iii)若存在N个对称正定矩阵和N个矩阵,满足
(2.7)
2 主要结果
设是系统的状态转移矩阵。令
(3.8)
定理1:若系统(2.1)在假设条件下存在对称正定矩阵Si和矩阵Ui,使得
(3.9)
且
(3.10)
则在静态输出状态反馈Ki下,系统(2.1)是渐近稳定的,其中
(3.11)
证明:对系统(2.1)作Floquet变换,其中,则
(3.12)
其中
由于均是以T为周期的函数,故也是以T为周期的函数。
下面将连续系统(3.12)离散化,首先作如下两个假设:
(1)采样方式取以常数T为周期的等间隔采样;
(2)
则
(3.13)
上面利用了性质
记
则上述系统(3.13)可以写为
(3.14)
由于,得
记,则上述系统(3.14)变成如下形式
(3.15)
取输出状态反馈
则,此时系统(3.15)变成如下闭环系统
(3.16)
下面证明闭环系统(3.16)是渐近稳定的。
由于假设行满秩,Si是正定矩阵,由(3.10)知Vi是满秩的,且由(3.10)(3.11)得
(3.17)
代入(3.9)
(3.18)
整理得
(3.19)
令,利用相似变换上式变为
(3.20)
由引理(ii)知,闭环系统(3.16)是渐近稳定的,从而系统在反馈控制下状态输出反馈镇定的,因此,时,,对系统(2.1)在上用Cauchy表达式表示以为初值的系统的解。则对任意的存在,使得当有
(3.21)
取输出反馈控制
则
(3.22)
又由于,则
(3.23)
因为对任意,矩阵
一致有界,故而当时,,系统(2.1)的解,从而定理得证。
定理2:若系统(2.1)在假设条件下存在对称正定矩阵Si和矩阵Gi,Ui,Vi,使得
(3.24)
且
(3.25)
则在静态输出状态反馈下,系统(2.1)是渐近稳定性的,其中
(3.26)
证明:类似定理1的证明(略)。
3 结束语
本文主要讨论了带不确定项的线性周期时变子系统切换的输出反馈镇定问题。利用Floquet变换和离散化的方法,通过在松弛变量约束下的线性矩阵不等式,给出了在任意切换下带有不确定项的线性周期时变切换系统的输出反馈镇定的充分条件。
参考文献
[1] M..S.Branicky,Stability of switched and hybrid systems.Proc[J].IEEE Conf.on Decision and Control,Lake Buena Vista,FL,pp,3498-3503,December 1994.
[2] M..S.Branicky,Multiple Lyapunov Function and Other Analysis Tools for Switched and Hybrid Systems[J].IEEE Trans.Automatic.Contr,1998,43(4):475-482.
[3] D.Liberzon and A.S.Morse,Basic problems in stability and design of switched systems,IEEE Control system,Proceeding of the IEEE,88(2000):1069-1082.
[4] Hassan K.Khalil,Nonlinear systems,London:Prentice-Hall[M],北京,电子工业出版社,1996.
[5] H.Lin,P.J.Atsaklis,Switching Stability for Contious-Time Uncertain Switched Linear Systems[J].IEEE Trans.on Automatic Control,2007,52(4):633-646.
[6] C.Gokcek,Stability Analysis of Periodically Switched Linear Systems Using Floquet Theory.Mathematical Problems in Engineering,2004,1:1-10.
[7] 牛彦杰,一类切换系统的分析与控制[D]。南京:南京工业大学硕士学位论文,2005年4月.
[8] V.N.Phat.P.Satiracoo,Global Stabilization of linear periodically Time-varying Switched Systems via Matrix Inequalities.Journal of Control Theory and Appli-cations,2006,1:26-31.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键字】线性时变周期切换系统 输出反馈镇定 线性矩阵不等式
【中图分类号】TH123+.1 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)11(a)-0211-02
切换系统是由一系列连续时间子系统利用一定的切换信号将它们联结而成的混杂动力系统。近年来,切换系统的研究已成为控制界的前沿热点课题。周期系统的切换是切换系统的一类重要组成部分。对于周期线性时变系统,多采用Floquet变换,将带有不确定项的线性时变系统变换为带有不确定项的线性定常系统,从而可应用定常线性切换系统的稳定性理论解决线性周期切换系统的稳定性问题。如文献[5]利用Floquet定理给出了周期线性定常切换系统指数稳定的充分必要条件。文献[6]通过Lyapunov函数分析了离散切换系统的反馈控制问题。文献[7]利用离散化的方法,通过矩阵不等式研究周期时变切换系统的全局镇定问题,并给出了切换律。基于上述文献,本文利用Floquet变换和离散化的方法,通过在松弛变量条件约束下的线性矩阵不等式来研究一类带有不确定项的线性周期时变切换系统的输出反馈镇定的充分条件。
1 问题描述
考虑如下带有不确定项的线性周期时变切换系统
(2.1)
其中为系统的状态变量,为系统的输入变量,为系统的输出变量,均为相应维数且是关于t的连续函数,周期为T。
设是分段常值切换函数,其值可能在处改变,且。
假设均为行满秩矩阵。
对离散切换系统
(2.2)
定义指标函数
其中
则切换系统(2.2)可以写成
(2.4)
定义1:对系统(2.4),若存在N个对称正定矩阵,使得
(2.5)
且
则称系统(2.2)的原点是全局渐近稳定的,此时称为系统(2.2)的切换Lyapunov函数。
引理:对系统(2.2)渐近稳定,下列说法是等价的:
(i)若存在一个切换Lyapunov函数
是正定的,且差分
是负定的,其中
(ii)若存在N个对称正定矩阵，满足
(2.6)
(iii)若存在N个对称正定矩阵和N个矩阵,满足
(2.7)
2 主要结果
设是系统的状态转移矩阵。令
(3.8)
定理1:若系统(2.1)在假设条件下存在对称正定矩阵Si和矩阵Ui,使得
(3.9)
且
(3.10)
则在静态输出状态反馈Ki下,系统(2.1)是渐近稳定的,其中
(3.11)
证明:对系统(2.1)作Floquet变换,其中,则
(3.12)
其中
由于均是以T为周期的函数,故也是以T为周期的函数。
下面将连续系统(3.12)离散化,首先作如下两个假设:
(1)采样方式取以常数T为周期的等间隔采样;
(2)
则
(3.13)
上面利用了性质
记
则上述系统(3.13)可以写为
(3.14)
由于,得
记,则上述系统(3.14)变成如下形式
(3.15)
取输出状态反馈
则,此时系统(3.15)变成如下闭环系统
(3.16)
下面证明闭环系统(3.16)是渐近稳定的。
由于假设行满秩,Si是正定矩阵,由(3.10)知Vi是满秩的,且由(3.10)(3.11)得
(3.17)
代入(3.9)
(3.18)
整理得
(3.19)
令,利用相似变换上式变为
(3.20)
由引理(ii)知,闭环系统(3.16)是渐近稳定的,从而系统在反馈控制下状态输出反馈镇定的,因此,时,,对系统(2.1)在上用Cauchy表达式表示以为初值的系统的解。则对任意的存在,使得当有
(3.21)
取输出反馈控制
则
(3.22)
又由于,则
(3.23)
因为对任意,矩阵
一致有界,故而当时,,系统(2.1)的解,从而定理得证。
定理2:若系统(2.1)在假设条件下存在对称正定矩阵Si和矩阵Gi,Ui,Vi,使得
(3.24)
且
(3.25)
则在静态输出状态反馈下,系统(2.1)是渐近稳定性的,其中
(3.26)
证明:类似定理1的证明(略)。
3 结束语
本文主要讨论了带不确定项的线性周期时变子系统切换的输出反馈镇定问题。利用Floquet变换和离散化的方法,通过在松弛变量约束下的线性矩阵不等式,给出了在任意切换下带有不确定项的线性周期时变切换系统的输出反馈镇定的充分条件。
参考文献
[1] M..S.Branicky,Stability of switched and hybrid systems.Proc[J].IEEE Conf.on Decision and Control,Lake Buena Vista,FL,pp,3498-3503,December 1994.
[2] M..S.Branicky,Multiple Lyapunov Function and Other Analysis Tools for Switched and Hybrid Systems[J].IEEE Trans.Automatic.Contr,1998,43(4):475-482.
[3] D.Liberzon and A.S.Morse,Basic problems in stability and design of switched systems,IEEE Control system,Proceeding of the IEEE,88(2000):1069-1082.
[4] Hassan K.Khalil,Nonlinear systems,London:Prentice-Hall[M],北京,电子工业出版社,1996.
[5] H.Lin,P.J.Atsaklis,Switching Stability for Contious-Time Uncertain Switched Linear Systems[J].IEEE Trans.on Automatic Control,2007,52(4):633-646.
[6] C.Gokcek,Stability Analysis of Periodically Switched Linear Systems Using Floquet Theory.Mathematical Problems in Engineering,2004,1:1-10.
[7] 牛彦杰,一类切换系统的分析与控制[D]。南京:南京工业大学硕士学位论文,2005年4月.
[8] V.N.Phat.P.Satiracoo,Global Stabilization of linear periodically Time-varying Switched Systems via Matrix Inequalities.Journal of Control Theory and Appli-cations,2006,1:26-31.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”