论文部分内容阅读
考虑下面两个非线性二阶离散Hamiltonian系统(差分方程组)△2u(t-1)=±△F(t，u(t))，(A)t∈Z(DHS±)其中，△u(t)=u(t+1)-u(t)，△2u(t)=△(△u(t))，F：Z×RN→R，F(t，x)关于x连续可微，而且关于t是T-周期，即对任意x∈RN，有F(t+T，x)=F(t，x)，T是某正整数，△F(t，x)表示F(t，x)关于x的梯度.
本文首先定义了与系统(DHS±)相对应的泛函，并且证明了此泛函的临界点恰好对应于系统(DHS±)的T-周期解，然后，运用临界点理论来讨论系统解的存在性与多重性.主要结果如下：
定理1定义ψ±：HT→R为ψ±(u)=±1/2∑|△u(t)|2+∑(F(t，u(t))-F(t，0))其中，HT={u：Z→RN|u(t+T)=u(t)，t∈Z}，而且其上的内积为〈u，v〉=T∑t=1(u(t)，v(t))，(A)u，v∈HT范数为‖u‖=(T∑t=1|u(t)|2)1/2,(A)ut∈HT其中(·，·)和|·|分别表示RN中的通常意义下的内积和范数.如果u∈HT是相应的欧拉方程ψ±(u)=0的解，则u是系统(DHS±)的T-周期解，即ψ+的临界点对应系统(DHS+)的T-周期解，ψ-的临界点对应系统(DHS-)的T-周期解.
定理2Nk是HT的一个子空间，定义如下：Nk：={u∈HT|-△2u(t-1)=λku(t)}其中λk=2-2coskω，k∈Z[0，[T/2]]，ω=2π/T，而[·]表示Gauss函数(取整函数)，Z[a，b]：=Z∩[a，b]，这种表示方法对任何的a,b∈Z而且a≤b都成立，则有(i)Nk⊥Nj，k≠j，k，j∈Z[0，[T/2]]；(ii)HT=⊕[T/2]k=0Nk.
定理3定义Hk：=⊕kj=0Nj，H⊥k：=⊕[T/2]j=k+1Nj，k∈Z[0，T/2]-1]，则有T∑t=1|△u(t)|2≤λk‖u‖2,(A)u∈Hk；T∑t=1|△u(t)|2≥λk+1‖u‖2,(A)u∈H⊥k.
定理4假设F(t，x)满足(F1)存在正整数T，使得对任意的(t，x)∈Z[1，T]×RN，有F(t+T，x)=F(t，x)；(F2)对任意的t∈Z[1,T]，当|x|→∞时，有∑Tt=1F(t，x)→+∞；(F3)对任意的t∈Z[1，T]，F(t，x)关于x是凸的，也就是说，对任何的x，y∈RN以及λ∈(0，1)，有F(t，(1-λ)y+λx)≤(1-λ)F(t，y)+λF(t，x)则系统(DHS+)至少有一个T周期解.
定理5如果F(t，x)满足(F1)以及(F4)存在常数Ti＞0，使得对任意的x，y∈RN以及t∈Z[1，T]，有F(t，x+Tiei)=F(t，x)，i∈Z[1，N]其中{ei}(1≤i≤N)表示RN的标准正交基，则系统(DHS+)至少有一个T周期解.
定理6假设F(t，x)满足(F1)以及下面的(F5)存在常数M1＞0，M2＞0，0≤α＜1，使得|△F(t，x)|≤M1|x|α+M2对任意的(t，x)∈Z[1，T]×RN成立；(F6)对任何t∈Z[1，T]，当|x|→∞时，|x|-2α∑Tt=1F(t，x)→+∞.则系统(DHS+)至少有一个解，周期为T.推论1假设(F1)，(F2)成立，而且有(F5)存在常数M0＞0，使得对任意的(t，x)∈Z[1，T]×RN有|△F(t，x)|≤M0成立，则系统(DHS+)至少有一个T周期解.
定理7假设F(t，x)满足(F1)，(F5)，(F6)以及下面的(F7)存在正数δ＞0，κ∈Z[0，[T/2]-1]，使得-1/2λk+1|x|2≤F(t，x)-F(t，0)≤-1/2λk|x|2对任意的|x|≤δ以及t∈Z[1，T]成立，其中λk=2-2coskω，ω=2π/T，T＞2.则系统(DHS+)至少有三个T周期解.推论2如果(F1)，(F2)，(F5)以及(F7)成立，则系统(DHS+)至少有三个T周期解.
定理8假设F(t，x)满足(F1)以及(F8)存在常数δ1，使得当|x|≤δ1时，有F(t，x)≥0，而且当|x|→0时，有F(t,x)/|x|2→0，对任意的t∈Z[1，T]都成立；(F9)当|x|→∞时，F(t,x)/|x|2→+∞，对任意t∈Z[1，T]成立.则系统(DHS-)至少有三个解，周期为T.
定理9假设F(t，x)满足(F1)以及下面的(F10)存在常数δ＞0，κ∈Z[0，[T/2]-1]，使得1/2λk|x|2≤F(t，x)-F(t，0)≤1/2λk+1|x|2对任意的|x|≤δ以及t∈Z[1，T]成立，其中λk=2-2coskω，ω=2π/T，T＞2；(F11)对任意t∈Z[1，T]有，lim|x|→∞F(t,x)/|x|2＞2.则系统(DHS-)至少有三个T周期解.定理10假设F(t，x)满足(F1)，(F5)，(F6)，则系统(DHS-)至少有一个T周期解.
定理11假设F(t，x)满足(F1)以及(F12)对所有的t∈Z[1，T]，当|x|→∞时，有F(t,x)/|x|2→0；(F13)对任意的t∈Z[1，T]，当|x|→∞时，有2F(t，x)-(x，△F(t，x))→+∞.则系统(DHS-)至少有一个T-周期解.
定理12假设F(t，x)满足(F1)以及下面的(F14)存在常数G＞0，0＜β＜2，使得对任意的(t，x)∈Z[1，T]×RN以及|x|≥G，有(x，△F(t，x))≤βF(t，x)(F15)当|x|→∞时，F(t，x)→+∞对任意的t∈Z[1，T].则系统(DHS-)至少有一个周期为T的解.