【摘 要】
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图中特型支撑树的存在性问题一直是结构图论研究中的一个重要课题.该问题的产生和发展与图论中的哈密顿问题有着密切联系.判断一个图是否存在一条哈密顿路,亦可看成判断该图中是否存在至多两个叶子点的支撑树.那么就出现了一个自然的问题:对于任意正整数k≥ 2,在什么条件下,图G中存在至多k个叶子点的支撑树.Kyaw在文献[12]中,从度和的角度出发给出了在连通K1,4-free图中存在叶子点数至多为k的支撑树
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图中特型支撑树的存在性问题一直是结构图论研究中的一个重要课题.该问题的产生和发展与图论中的哈密顿问题有着密切联系.判断一个图是否存在一条哈密顿路,亦可看成判断该图中是否存在至多两个叶子点的支撑树.那么就出现了一个自然的问题:对于任意正整数k≥ 2,在什么条件下,图G中存在至多k个叶子点的支撑树.Kyaw在文献[12]中,从度和的角度出发给出了在连通K1,4-free图中存在叶子点数至多为k的支撑树的一个充分条件,即:对任意正整数k≥ 3,如果G是连通K1,4-free图,并且σk+1（G）≥ |G|-k/2,那么图G中存在一个叶子点数至多为k的支撑树.虽然该结果是最好可能的,但其极图的连通度为1.于是产生一个自然的问题:是否存在整数a ≥ 2及b使得所有满足σk+a（G）≥|G|+b的2-连通K1,4-free图都含有至多k个叶子点的支撑树?Chen等人在文献[6]中给出了k-连通K1,4-free图中存在叶子点数至多为3的支撑树的一个充分条件:设图G是k-连通K1,4-free图,其中k≥2.如果σk+3（G）≥ |G|+2k-2,则G中存在叶子点数至多为3的支撑树.本文对k=2的情况进行了更进一步的研究,利用6个点的独立集的度和,得到了 2-连通K1,4-free图中存在叶子点数至多为3的支撑树的一个充分条件.全文一共分为四章,主要内容如下:在本文第一章,我们介绍了图的支撑树问题的研究背景,研究意义以及现有的国内外研究成果,并且介绍了本文的主要结论.在本文第二章,我们给出了文中出现的一些基本概念,基本定义,以及符号.在本文第三章,我们利用反证法给出了本文主要定理的证明.通过适当地选取2-连通K1,4-free图中恰含四个叶子点的最大树,我们将定理的证明分为四种情形.对每种情形选取适当的6点独立集,并估计其中点的度和,分别得到矛盾.在本文第四章,我们对图中支撑树存在性问题的进一步研究进行了展望.
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