论文部分内容阅读
随着对黎曼几何研究的深入和推广,芬斯勒几何成为现代数学中的重要前沿学科.其中,包括为人们所熟知的Randers度量在内的(α,β)-度量是一类重要芬斯勒度量,在物理学和生物学等领域都有着广泛的应用.本文研究了光滑流形M上的一大类特殊的(α,β)-度量,即拟对称(α,β)-度量:F=αφ(s),其中φ(s)满足φ(s)-sφ(s)=(p+rs2)φ"(s),(p,r均为常数),φ(0)=1.本文致力于研究拟对称(α,β)-度量的性质,重点研究了1)拟对称(α,β)-度量局部射影平坦的等价条件及其曲率性质；2)拟对称(α,β)-度量具有迷向S-曲率的等价条件；3)拟对称(α,β)-度量成为Landsber9度量的等价条件.主要得到如下结论:
定理3.5设Finsler度量F=αφ(s)为光滑流形M上的拟对称(α,β)-度量,则F局部射影平坦当且仅当(1)bi|j=2()[(p=b2)aij+(r-1)bibj],(2)Giα=θyi-()α2bi.
定理4.1设F=αφ(s)为n维(n≥3)光滑流形M上的拟对称(α,β)-度量,其中r≠1且b不恒为常数.则F具有迷向S-曲率当且仅当β为关于α长度恒定的killing1-形式.此时,S=0,F为弱Berwald度量.定理4.3设F=αφ(s)为n维(n≥3)光滑流形M上的拟对称(α,β)-度量,其中r≠1且b不恒为常数.则F是Douglas度量且具有迷向S-曲率,当且仅当F为Berwald度量.
定理5.2设F=αφ(s)为n维(n≥3)光滑流形M上的拟对称(α,β)-度量,其中r≠1.则F是Landsberg度量当且仅当β关于α平行.
推论5.3设F=αφ(s)为n维(n≥3)光滑流形M上的拟对称(α,β)-度量,其中r≠1且6不恒为常数.则下列条件等价(1)F射影平坦且与α射影等价.
(2)F是Douglas度量且具有迷向S-曲率.
(3)β关于α平行.
(4)F为Berwald度量.
(5)F是Landsberg度量.