【摘 要】
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图的染色问题一直是图论的热门问题,不仅具有理论价值,而且具有重要的现实意义.连通性是图论中的重要理论之一,基于这些,图的彩虹连通数问题应时而生,是经典连通性概念的一种加强版本.2008年,Chartrand等人首次提出并研究了图的彩虹连通数.引入至今,彩虹连通数被国内外众多学者关注,已成为图论研究中的一个热点课题.之后又出现了彩虹顶点连通数,全彩虹连通数,正常连通数,正常顶点连通数,全正常连通数,
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图的染色问题一直是图论的热门问题,不仅具有理论价值,而且具有重要的现实意义.连通性是图论中的重要理论之一,基于这些,图的彩虹连通数问题应时而生,是经典连通性概念的一种加强版本.2008年,Chartrand等人首次提出并研究了图的彩虹连通数.引入至今,彩虹连通数被国内外众多学者关注,已成为图论研究中的一个热点课题.之后又出现了彩虹顶点连通数,全彩虹连通数,正常连通数,正常顶点连通数,全正常连通数,彩虹指标及正常指标等新概念.本文共包括四章.第1章,我们介绍了文章中需要用到的基本概念,同时给出了需要用到的若干符号和术语.第2章,我们首先根据补图Γ的若干约束条件,研究了图Γ的全正常连通数,其主要结果如下:若diam（Γ）不属于下面两种情况:（1）diam（Γ）=2或3,（2）Γ恰好包含两个分支且其中一个是平凡的,则tpc（Γ）≤4;若Γ是不包含三角形的连通图,则tpc（Γ）=3.其次我们研究了具有较大团数ω（Γ）=n-s的图Γ的全正常连通数,其中1≤s≤3,并确定了circular ladders图,M¨obius ladders图以及所有点数为8或更少的三度正则图的全正常k-连通数.最后我们研究了几类图运算对全正常连通数的影响,例如:删边,加边,两图的并,卡氏积,直积等;此外,我们还考虑了如下极值问题:对于整数k和n,1≤k≤l＜n.求最小的整数s（n,k,l）,使得任意阶数为n,直径为k的连通图Γ存在一个边集合F?E（Γ）满足|F|≤s（n,k,l）和tpc（Γ+F）≤l.第3章,作为一个自然的推广,我们给出了k-全正常指标的定义,并做了如下工作:首先我们决定了圈Cn的k-全正常指标:当n为偶数且k=n-1时,则tpxk（Cn）=2;其他情况时,tpxk（Cn）=3.其次我们确定了轮图Wn的k-全正常指标:当k=n时,则tpxk（Wn）=2;当k≤n-1时,则tpxk（Wn）=3.然后,我们研究了唯一圈图Γ的k-全正常指标,记Γ是阶至少为3的仅包含一个圈的非圈图,若Γ最多包含两个最大度点且这些点都在Γ的唯一圈上,使得这两个点在Γ的唯一圈上相邻（如果这两个点都存在）,则tpxk（Γ）=?（Γ）;否则,我们有tpxk（Γ）=?（Γ）+1.随后,我们为2-连通图的3-全正常指标提供了一个上界,并研究了完全二部图Ks,t的3-全正常指标.最后我们分别刻画了k-全正常指标为n和n-1的图类.第4章,我们总结了本文的研究结果,并提出了后续的研究方向.
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