【摘 要】
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众所周知,几何测度问题已成为当今学术界的热点,在凸几何分析的学习和研究过程中占据重要地位.本篇论文主要研究凸体的几何测度及体积差不等式,该问题与相关算子的性质、影子系统的探讨以及截面测度问题等有着密切的联系.第一章引入了问题的来源背景、研究现状及论文的大致结构.第二章呈现了本文所涉及的基本概念和符号说明,以及二元运算的相关问题.第三章主要研究关于星体的截面测度和半体积测度在稳定性中的应用.考虑星体
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众所周知,几何测度问题已成为当今学术界的热点,在凸几何分析的学习和研究过程中占据重要地位.本篇论文主要研究凸体的几何测度及体积差不等式,该问题与相关算子的性质、影子系统的探讨以及截面测度问题等有着密切的联系.第一章引入了问题的来源背景、研究现状及论文的大致结构.第二章呈现了本文所涉及的基本概念和符号说明,以及二元运算的相关问题.第三章主要研究关于星体的截面测度和半体积测度在稳定性中的应用.考虑星体K的截面测度和半体积测度V（K ∩ u+）,其中u+={x:x∈Rd,x·u≥0}.基于Hausdorff度量,使用Radon变换,球面积分变换及梯度算子,我们证明了如果星体K,L有相等的中心截面测度和半体积测度,则它们相同,也证明了结果的稳定性.得到如下定理.定理1.设K和L是Rd上关于原点的两个星体.若它们有相同的中心截面测度和半体积测度,则K=L.定理2.设K,L ∈Kd（r,R）,d≥3.若对于任意的u ∈Sd-1和某个0≤ε≤1,‖V（K∩u+）-V（L∩u+）‖≤ε,‖V（K∩u⊥）-V（L∩u⊥）‖≤ε,则δ（K,L）≤c（d,r,R）ε d/（d+1）（d+4）,其中常数c（d,r,R）只依赖于d,r,R.第四章主要研究了质心体的体积差不等式及其相关问题.我们证明了Lp质心算子对Lp-调和Blaschke加法满足线性运算,引入均质积分涉及的不等式,呈现出Lp质心体的Brunn-Minkowski不等式的相关增强形式.在此基础上,通过著名的Bellman’s不等式以及Busemann-Petty质心不等式,借助Steiner对称化,使用两种方法证明了Lp质心体体积差的Brunn-Minkowski不等式,从而得到相关Minkowski不等式,它们则是质心体的Brunn-Minkowski不等式和Minkowski不等式的另外增强形式.有如下定理.定理3.设K,L是Rd上的两个星体,p≥1,0≤α≤1,则V（Γp（K+pL））p/d≥V（Γp（αK+p（1-α）L））p/d+V（Γp（（1-α）K+pαL））p/d等式成立,当且仅当ΓpK,ΓpL互为膨胀.定理4.设K,L是Rd上的两个星体,E1,E2为椭球,其中E1（?）K,E2（?）L,E2是E1的同质复制.对于p ≥ 1,则（V（Γp（K+pL））-V（Γp（E1+pE2）））p/d≥（V（ΓpK）-V（ΓpE1））p/d+（V（ΓpL）-V（ΓpE2））p/d等式成立,当且仅当ΓpK,ΓpL互为膨胀,(V（ΓpK）,V（ΓpE1）=μ（V（ΓpL）,V（ΓpE2））,其中μ是一个常数.第五章主要研究凸体影子系统的相关性质.为了进一步探讨Busemann-Petty投影不等式的新证明方法,我们首先对已有的一些基本事实进行深入分析证明,同时借助Steiner对称化,运用投影算子,来研究ΠKt是否是影子系统,这为以后在影子系统方面发现更多新的想法提供了大致思路.
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