作为数学的一个重要分支，黎曼流形的概念不仅渗透到数学内部的很多领域，在理论物理中也得到了越来越广泛、深刻而富有成效的应用。由于流形上的每一点都有一个邻域与欧氏空间中的一个开集同胚。所以，复杂的流形结构可以简单地通过欧氏空间已有的相关性质处理、理解并表示。另一方面，流形本身具有分析、代数、几何的性质，而在流形的切空间中引入黎曼度量即可得到黎曼流形。作为研究黎曼流形的工具，我们引入了外微分形式的概念。　　本文中涉及到关于A-调和方程的Caccioppoli不等式，而Caccioppoli不等式在张量分析、位势理论、偏微分方程、拟正则映射等方面有广泛的应用。本文的目的是将欧氏空间的Caccioppoli不等式推广到黎曼流形上。根据积分区域的不同，将Caccioppoli不等式分为两类：一类是局部的Caccioppoli不等式，另一类是整体的Caccioppoli不等式。最后引入了双权和Ar(λ)-权的定义，得到了双权和Ar(λ)-权的Caccioppoli不等式。