二十世纪二十年代，芬兰数学家R.Nevanlinna引进了亚纯函数的特征函数，并创立了Nevanlinna理论，此理论是二十世纪最伟大的数学成就之一。半个世纪以来，亚纯函数理论在Nevanlinna理论的不断发展与影响下取得了蓬勃的发展。尤其在亚纯函数正规族理论，取得了许多漂亮的结果，本文主要介绍作者在李江涛老师的悉心指导下，所完成的一些工作。全文共分三部分。　　 第一部分，主要介绍Nevanlinna基本理论以及一些基本概念和结果，并对本文提到的一些定义和常用记号作了介绍。　　 第二部分，主要研究亚纯函数的正规定则，改进了王跃飞和方明亮，章文华，李江涛和仪洪勋等人的结果，把f(k)用L(f)来代替，得出一个更一般的正规定则。这里L(f)=f(k)(z)+ak-1(z)f(k-1)(z)+…+a0(z)f(z)，其中ak-1(z)，…，a0(z)是区域D内的全纯函数。　　 第三部分，主要研究了分担多项式的全纯函数的正规定则，推广了徐炎的一个结果。本文主要证明了以下定理　　 定理1设F是区域D内的一族亚纯函数，n,k是正整数，且n≥k+1，b是非零有穷复数，ε是一正数。L(f)=f(k)(z)+ak-1(z)f(k-1)(z)+…+a0(z)f(z)，其中，ak-1(z),…,a0(z)是区域D内的全纯函数。如果对于F中的任意函数f，f的零点重级至少为n，极点重级至少为2，若L(f)=b(→)|f(l)(z)|≥ε(0≤l＜k)，则F在D内正规。　　 定理2设F是区域D内的一族亚纯函数，k是一个正整数，a是一个非零有穷复数，L(f)=f(k)(z)+ak-1(z)f(k-1)(z)+…+a0(z)f(z)，其中ak-1(z),…,a0(z)是区域D内的全纯函数。如果对于F中的任意函数f，满足　　 (1)f和L(f)分担a；　　 (2)f的零点重级至少为k+1；则F在D内正规。　　 定理3设F是区域D内的全纯函数，M,N为两个正实数，定义L(f)=f(k)(z)+ak-1(z)f(k-1)(z)+…+a0(z)f(z)，其中，ak-1(z),…,a0(z)是区域D内的全纯函数。如果对(А)f∈F，f的零点重级至少为k，a(z)为不等于零的全纯函数，满足L(f)=a(z)(→)|f(z)|≥N，f(z)=0(→)|f(k)(z)|≤M，则F在D内正规。　　 定理4设F是区域D内的一族全纯函数，k是一个正整数，a，b≠0,c≠0是三个有穷复数。定义L(f)=f(k)(z)+ak-1(z)f(k-1)(z)+…+a0(z)f(z)，其中，ak-1(z),…,a0(z)是区域D内的全纯函数。如果对于F中的任意函数f,f的零点重级至少为k，满足f=0(→)L(f)=a，L(f)=b(→)f=c，则F在D内正规。　　 定理5设F为区域D内的全纯函数族，k(≥2)是一正整数。若对于任意的f∈F，f与fCM分担R(z)，其中R(z)为n(≥1)次多项式，且当f(z)=R(z)，z∈D时，有f(k)(z)=R(z)，则F在D内正规。　　 定理6设F为区域D内的全纯函数族，k(≥2)是一正整数，K为一正实数。若对于任意的f∈F，f与fCM分担R(z)，其中R(z)为n(≥1)次多项式，且当f(z)=R(z)，z∈D时，有|f(k)(z)|≤K，则F在D内正规。