论文部分内容阅读
摘要：本文主要通过数学统一性的原理，对概率论中的一些定义、概念进行分析，以便于学生更好的掌握概率论中的思想与学习方法。
关键词：数学;统一性;概率论;教学;应用
数学是研究空间模型、变化、结构以及数量等概念的一门科学，据不完全统计，至今为止，数学已经有100多个分支，其中，概率论是研究不确定性和随机性等现象的数学分支之一，《概率论》也是高等院校必修的一门重要课程。但是我国多数学生比较倾向于爱好确定性的数学内容，对概率论中的定义或者概念感到无法理解，再加上高等教育的普及，多数高等院校在安排课程时，将《高等数学》等数学基础理论课程尽可能的压缩，导致学生的思维能力没有得到较好的发展，在分析能力和理解能力等方面尚有欠缺。
数学的内容以及整个发展过程都在一定程度上贯穿着唯物主义的辩证法，所以数学的统一性不仅表现为共同的数学语言以及统一的数学符号，更表现为数学各个分支之间的内在联系以及各个分支相互结合、相互渗透的趋势。数学的概念是遵循认识规律发展的，是从一般到特殊、简单到复杂，有序达到较高的抽象水平。所以数学概念的统一性是通过逻辑推演、扩大概念的性质结构之后，其于原来概念之间的一致性。概率论在教学过程中，通过数学分析中实数域上映射概念以及数学概念统一性的充分利用，便于学生更好的理解初次接触的概率定义和概念[1]。
在古典概率模型中，将所有可能的结果当成一个集合W，这个集合定义的概率是W-[0，1]的一个映射，根据实数域上映射概念和概率论上的认识规律，可以将古典概率中的集合W看成是任何一个非空集合，也就是样本空间;而α-域A是这个非空集合W中的满足一定条件的子集集合;概率Y是W-[0，1]中的映射之一，将α-域A中的一个子集B对应[0，1]中的一个数，将这个数定义为Y（B）。从这些规律中可以看出，概率空间从本质上说就是上文定义的映射之一与数学分析所学习的集合之一所组成的有序对。
2.随机变量中的数学统一性
概率论学习过程中最难理解的知识点之一就是离散型随机变量如何过度到连续型随机变量以及随机变量的定义。随机变量的定义在教学过程中，要注意其与普通函数、普通变量之间的联系，注意这些因素之间的差异性和统一性，帮助学生更好的理解。离散型随机变量是定义在多个元素或者有限元素的某一集合上;而连续性随机变量是定义在不可数的样本空间内。通过离散函数过度到连续函数以及连续函数与离散函数的差异性以及统一性等知识点的学习，使学生对这些知识点有初步的理解，然后结合定积分定义的讲解，为连续函数作初步定义，然后逐步导出严格定义。实际上，连续函数和离散函数不仅是矛盾的两个方面，也是绝对和相对的统一，也具有一定程度的统一性，连续性的问题经常被当作离散性的问题处理，离散性的问题又常被当作连续性的问题分析。匈牙利著名数学家Laszlo Lovasz也曾说过：“连续数学和离散数学的方法和结构具有较大的差异，但是从更深层次看，连续数学和离散数学是一个事物的两面”。连续和离散这对矛盾如何充分利用也是现代数学的主要矛盾，对这对矛盾在概率论教学过程中的表现进行深入、具体的分析，可以帮助学生更好的理解有关概念[2]。
3.数学期望中的数学统一性
数学期望在教学过程中，将数学分析中的定积分和数列求和与其相联系，可以帮助学生更好的理解“在对离散随机变量的数学期望进行定义时，为什么要求连续随机变量绝对可积、离散随机变量绝对收敛”。同时，向学生介绍连续随机变量的数学期望所蕴涵的定积分和数学思想在很大程度上具备统一性，也就是数学概念中的“以直代曲”，从方法论的角度看时，这些知识点之间又有着惊人的相似，主要表现在取极限、求和、分割等方面。所以教师要引导学生了解在学习概率论的过程中，要善于利用定积分中的变上限积分、换元积分、分部积分等内容来加强对有关知识点的理解，巩固教学效果。数学期望中的数学统一性也在很大程度上体现了概率论和数学分析这两个不同领域在某个方面不仅可以互相转化，还具有一定程度的和谐一致性和统一性[3]。
4概率密度函数与分布函数的数学统一性
概率密度函数和连续性随机变量分布函数是高校学生经常容易混淆的知识点，尤其是概率密度函数这一概念，学生通常很难理解。所以教师可以引导学生利用物理知识中的质量、密度、体积三者之间的关系，启发学生思考概率密度和概率之间的关系。实际上，如果将某一区间上的长度作为“物体的体积”，其概率作为“物体的重量”，那么“物体的体积”和“物体的重量”之间的比值则是“物体的密度”。所以概率密度函数在某点值的大小也在一定程度上反应了随机变量落在该点附近概率的大小，连续性随机变量落在某区间上的概率则可以转化为该密度函数在这一区间上的积分，可以完全转化为已学过的、较为简单的数学分析中的定积分问题。这时，学生就会理解，数学来源于物理，在数学教学和学习的过程中，通过运用一些物理知识，也可以更好的理解数学上的概念，数学与物理之间也具有一定程度的和谐统一性[4]。
作为高等院校中的数学教师，在教授数学的过程中，要站在数学统一性的高度，否则就会使数学知识变成一堆枯燥无味的字母、数字以及“定理-引理-证明”的步骤。所以，教师在概率率或者其他数学教学过程中，要善于处理教学内容与其他知识点之间的统一性，注意其中蕴含的相互转化和辩证关系。在概率论教学过程中，融入数学统一性的思想，可以帮助学生提高学习能力，更好的理解数学以及概率论的知识点，提高学生对知识点的融会贯通能力，并且传授知识时，对学生进行马克思主义哲学思想的教育，不仅要教书，更重要的是育人，培养学生的辩证思维能力。
参考文献：
[1]谢琳，刘剑涛.从两个争议看高中概率论基本概念教学中存在的问题[J].数学教育学报，2010（06）
[2]王幼军.《决疑数学》——一部拉普拉斯概率论风格的著作[J].自然科学史研究，2006（02）
[3]李进文. 二房室模型药物体内表观吸收速率估算的概率论法[J].中国药学杂志，2013（10）
关键词：数学;统一性;概率论;教学;应用
数学是研究空间模型、变化、结构以及数量等概念的一门科学，据不完全统计，至今为止，数学已经有100多个分支，其中，概率论是研究不确定性和随机性等现象的数学分支之一，《概率论》也是高等院校必修的一门重要课程。但是我国多数学生比较倾向于爱好确定性的数学内容，对概率论中的定义或者概念感到无法理解，再加上高等教育的普及，多数高等院校在安排课程时，将《高等数学》等数学基础理论课程尽可能的压缩，导致学生的思维能力没有得到较好的发展，在分析能力和理解能力等方面尚有欠缺。
- 概率空间中的数学统一性
数学的内容以及整个发展过程都在一定程度上贯穿着唯物主义的辩证法，所以数学的统一性不仅表现为共同的数学语言以及统一的数学符号，更表现为数学各个分支之间的内在联系以及各个分支相互结合、相互渗透的趋势。数学的概念是遵循认识规律发展的，是从一般到特殊、简单到复杂，有序达到较高的抽象水平。所以数学概念的统一性是通过逻辑推演、扩大概念的性质结构之后，其于原来概念之间的一致性。概率论在教学过程中，通过数学分析中实数域上映射概念以及数学概念统一性的充分利用，便于学生更好的理解初次接触的概率定义和概念[1]。
在古典概率模型中，将所有可能的结果当成一个集合W，这个集合定义的概率是W-[0，1]的一个映射，根据实数域上映射概念和概率论上的认识规律，可以将古典概率中的集合W看成是任何一个非空集合，也就是样本空间;而α-域A是这个非空集合W中的满足一定条件的子集集合;概率Y是W-[0，1]中的映射之一，将α-域A中的一个子集B对应[0，1]中的一个数，将这个数定义为Y（B）。从这些规律中可以看出，概率空间从本质上说就是上文定义的映射之一与数学分析所学习的集合之一所组成的有序对。
2.随机变量中的数学统一性
概率论学习过程中最难理解的知识点之一就是离散型随机变量如何过度到连续型随机变量以及随机变量的定义。随机变量的定义在教学过程中，要注意其与普通函数、普通变量之间的联系，注意这些因素之间的差异性和统一性，帮助学生更好的理解。离散型随机变量是定义在多个元素或者有限元素的某一集合上;而连续性随机变量是定义在不可数的样本空间内。通过离散函数过度到连续函数以及连续函数与离散函数的差异性以及统一性等知识点的学习，使学生对这些知识点有初步的理解，然后结合定积分定义的讲解，为连续函数作初步定义，然后逐步导出严格定义。实际上，连续函数和离散函数不仅是矛盾的两个方面，也是绝对和相对的统一，也具有一定程度的统一性，连续性的问题经常被当作离散性的问题处理，离散性的问题又常被当作连续性的问题分析。匈牙利著名数学家Laszlo Lovasz也曾说过：“连续数学和离散数学的方法和结构具有较大的差异，但是从更深层次看，连续数学和离散数学是一个事物的两面”。连续和离散这对矛盾如何充分利用也是现代数学的主要矛盾，对这对矛盾在概率论教学过程中的表现进行深入、具体的分析，可以帮助学生更好的理解有关概念[2]。
3.数学期望中的数学统一性
数学期望在教学过程中，将数学分析中的定积分和数列求和与其相联系，可以帮助学生更好的理解“在对离散随机变量的数学期望进行定义时，为什么要求连续随机变量绝对可积、离散随机变量绝对收敛”。同时，向学生介绍连续随机变量的数学期望所蕴涵的定积分和数学思想在很大程度上具备统一性，也就是数学概念中的“以直代曲”，从方法论的角度看时，这些知识点之间又有着惊人的相似，主要表现在取极限、求和、分割等方面。所以教师要引导学生了解在学习概率论的过程中，要善于利用定积分中的变上限积分、换元积分、分部积分等内容来加强对有关知识点的理解，巩固教学效果。数学期望中的数学统一性也在很大程度上体现了概率论和数学分析这两个不同领域在某个方面不仅可以互相转化，还具有一定程度的和谐一致性和统一性[3]。
4概率密度函数与分布函数的数学统一性
概率密度函数和连续性随机变量分布函数是高校学生经常容易混淆的知识点，尤其是概率密度函数这一概念，学生通常很难理解。所以教师可以引导学生利用物理知识中的质量、密度、体积三者之间的关系，启发学生思考概率密度和概率之间的关系。实际上，如果将某一区间上的长度作为“物体的体积”，其概率作为“物体的重量”，那么“物体的体积”和“物体的重量”之间的比值则是“物体的密度”。所以概率密度函数在某点值的大小也在一定程度上反应了随机变量落在该点附近概率的大小，连续性随机变量落在某区间上的概率则可以转化为该密度函数在这一区间上的积分，可以完全转化为已学过的、较为简单的数学分析中的定积分问题。这时，学生就会理解，数学来源于物理，在数学教学和学习的过程中，通过运用一些物理知识，也可以更好的理解数学上的概念，数学与物理之间也具有一定程度的和谐统一性[4]。
作为高等院校中的数学教师，在教授数学的过程中，要站在数学统一性的高度，否则就会使数学知识变成一堆枯燥无味的字母、数字以及“定理-引理-证明”的步骤。所以，教师在概率率或者其他数学教学过程中，要善于处理教学内容与其他知识点之间的统一性，注意其中蕴含的相互转化和辩证关系。在概率论教学过程中，融入数学统一性的思想，可以帮助学生提高学习能力，更好的理解数学以及概率论的知识点，提高学生对知识点的融会贯通能力，并且传授知识时，对学生进行马克思主义哲学思想的教育，不仅要教书，更重要的是育人，培养学生的辩证思维能力。
参考文献：
[1]谢琳，刘剑涛.从两个争议看高中概率论基本概念教学中存在的问题[J].数学教育学报，2010（06）
[2]王幼军.《决疑数学》——一部拉普拉斯概率论风格的著作[J].自然科学史研究，2006（02）
[3]李进文. 二房室模型药物体内表观吸收速率估算的概率论法[J].中国药学杂志，2013（10）