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等价转换思想，具有应用范围广，使用频率高，小巧灵活的特点，是历年高考数学中的难点、重点和热点之一.
等价转换思想，就是将待解决的或难解决的问题，通过某种转化过程，归纳化归为一类已经解决或比较容易解决的问题.
应用等价转换思想常用的化归策略有：
（1）未知向已知转化；
（2）几何与代数转化，即数形结合思想；
（3）一般向特殊转化，即特殊化策略；
（4）化生为熟，将陌生问题熟悉化,将陌生问题转化为基本原理、法则及典型问题；
（5）化繁为简，将复杂问题简单化.
实施等价转换的常用途径和方法有：大、中、小三类
（1）小为问题的局部进行转换，调整（如式的恒等变形，化简等）；
（2）中为命题的转化，即换个说法，换个角度，正难则反等方法；
（3）大为问题整体上的转化，如代数、三角、几何及数形结合等广义上的化归.
等价转换不同于恒等变形，其实恒等变形只是式子的保值不变，而等价转换则是命题的保真不变，这是等价转换思想的实质和精髓.
下面先通过一组小题训练，温故知新，了解等价转换思想的含义，感受与体会等价转换思想的若干转换策略，掌握等价转换思想的常用途径和方法.
例1（1）函数f(x)＝3ax＋1-2a在（-1，1）上存在零点，则a的取值范围是________.
解析：f(x)在（-1，1）上存在零点存在x0∈（-1，1）使f(x0)＝0
f(-1)• f(1)＜0(1-5a)(a＋1)＜0a＞15或a＜-1.
（2）若k∈（0，33），则方程kx＝4x-x2-3的实数根的个数有________个.
解析：方程实数根的个数函数y＝kx与y＝4x-x2-3两图像的交点个数y＝kx与半圆(x-2)2＋y2＝1(y≥0)的交点个数.
在同一坐标系中，作出它们的图像，研究直线y＝kx与半圆相切时的k＝33.
故当k∈(0，33)时，直线与半圆有两个交点，即原方程的实数根的个数有两个.
（3）直线l1：x＋3y-7＝0，l2：kx-y-2＝0与两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则k＝________.
分析：如图，四边形有外接圆(四边形的两对角互补l1⊥l2k1•k2＝-1
(-13)•k＝-1得k＝3.
评注：巧用圆的几何性质与数量关系的转化策略，实现数与形的转化.
（4）过双曲线的左焦点F的直线交双曲线于点P1，P2，则满足|P1P2|＝4的直线有________条.
解析：左焦点F(-5，0)，过F的弦有两类.
①同支弦中最短弦即为通径2b2a＝1， |P1P2|＝4＞1，故同支弦中有两条.
②异支弦中实轴为最短弦.现实轴长2a＝4，故异支弦中只有一条实轴符合条件.
综上，满足|P1P2|＝4的直线有3条.
评注：本题等价转换成研究通径和实轴长的大小，即可解决直线条数的问题.
________________________（5）已知函数f(x)＝|log3x|，正实数m，n满足m＜n，且f(m)＝f(n).
若f(x)在区间m3，n〗上的最大值为2，则m＋n＝________.
分析：如图，作出y＝|log3x|的图像，由m＜n，且f(m)＝f(n)，
利用图像知，必有0＜m＜1＜n.
∴f(m)＝f(n)即|log3m|＝|log3n|-log3m＝log3n
∴log3(mn)＝0，∴mn＝1……①
再结合图像分析，f(x)在区间m3，n〗上的最大值必在x＝m3取得.
且m3＜n＜1，∴f(m3)＝|log3m3|＝-log3m3＝log33m＝2.
∴3m＝9，得m＝13.……②
由①②得n＝3.故m＋n＝103.
评注：数缺形时少直观，形离数时难入微.本题借助图形，反复利用等价转换思想逐步推理，实施转化，将复杂问题简单化，陌生问题熟悉化，从而快捷地求解.
（6）已知正三棱锥S—ABC的侧棱长为2，侧面等腰三角形的顶角为40°，过底面顶点A作截面AMN分别交侧棱SB，SC于M、N，则△AMN周长的最小值为________.
分析：△AMN周长的最小值侧面展开图中两点间连线段最短来处理.
将侧面展开可得顶角为120°的等腰△SAA′，AA′,连线的长度即为其周长的最小值，答案为23.
例2已知函数f(x)＝lg1+2x+4x•aa2-a+1，其中a∈R.
如果x∈(-∞，1〗时，f(x)有意义，求a的取值范围.
分析：f(x)在x∈(-∞，1〗上有意义1+2x+4x•aa2-a+1＞0对x∈(-∞，1〗恒成立.
∵a2-a＋1＝(a-12)2＋34＞0∴上式1＋2x＋4x•a＞0对x∈(-∞，1〗恒成立.
实施参数分离a＞-(14)x-(12)x对x∈(-∞，1〗恒成立.
令g(x)＝-(14)x-(12)x，应用最值思想a＞g(x)的最大值，x∈(-∞，1〗.
易证，g(x)在 (-∞，1〗上单调递增，所以g(x)max＝g(1)＝-34.∴a＞-34.
评注：1．强化应用等价转换思想的自觉性和灵活性.
2．分离参数和最值思想的有机结合，一气呵成，使解题自然流畅，简洁快捷.
3．一般地，a＞g(x)对x∈D恒成立a＞g(x)的最大值，x∈D.
a＜g(x) 对x∈D恒成立a＜g(x)的最小值，x∈D.
例3设三角函数f(x)＝sin(k5x＋π3)，其中k≠0.
（1）写出f(x)的最大值M，最小值m，最小正周期T.
（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数（包括整数本身）间变化时，函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m.
分析：（1）f(x)的最大值M＝1，最小值m＝-1，最小正周期T等于2π|k5|＝10π|k|.
（2）x在任意两整数间，f(x)至少有一个值是M与一个值是m.x在相邻两整数间， f(x)取得最大值M与最小值m.周期T≤110|k|≤1k≥10π≈31.4
∴最小正整数k＝32.
评注：本题灵活运用等价转换思想，即不断转换说法，转换命题，将原题等价转换成周期T≤1，问题就迎刃而解.所以说等价转换思想是解决问题的“金钥匙”.
例4已知函数f(x)＝-x2＋2ex＋m-1，g(x)＝x＋e2x（x＞0）.
（1）若g(x)-m有零点，求实数m的取值范围.
（2）确定m的取值范围，使g(x)-f(x)＝0有两个相异实根.
分析：（1）g(x)-m有零点方程m＝g(x)（x＞0）有解.
m在g(x)的值域内.∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，当且仅当x＝e时取等号.
故g(x)的值域是方程m＝g(x)x2-mx＋e2＝0（※）
原问题方程（※）有大于零的根，
m2＞0Δ=m2-4e2≥0
m＞0m≥2e或m≤-2e
m≥2e即为所求取值范围.
（2）若g(x)-f(x)＝0有两个相异实根函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像有两个不同的交点.作出y＝x＋e2x（x＞0）的图像，
又y＝f(x)＝-x2＋2ex＋m-1
＝-(x-e)2＋m-1＋e2
是对称轴为x＝e，开口向下的抛物线，
最大值为m-1＋e2.
要使y＝g(x)与y＝f(x)有两个不同的交点
m-1＋e2＞2e，即m＞-e2＋2e＋1.
所以m的取值范围是(-e2＋2e＋1，＋∞).
评注：（1）本题强化对等价转换思想的应用，并逐步成为一种自觉行动，才能达到函数、方程、不等式内在联系的转化和数形结合思想的和谐统一.
（2）本题（1）中将函数g(x)-m有零点（x＞0）方程m＝g(x)（x＞0）有解m在g(x)的值域内，进而转换成研究函数g(x)的值域问题求解.
（3）本题（1）中也可将g(x)-m有零点（x＞0）方程g(x)-m＝0有大于零的根.转换成一元二次方程有正根条件的研究，所以说不同的观察角度，就有不同的等价转换的方法.
（4）本题（2）中，g(x)-f(x)＝0有两个相异实根函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像有两个不同的交点，转换成二次函数与“对勾”函数最值的研究.经常且自觉地进行等价转化训练可培养我们思维的发散性、深刻性和创造性.
例5若下列三个方程：x2＋4ax-4a＋3＝0，x2＋(a-1)x＋a2＝0，x2＋2ax-2a＝0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.
分析：正面问题较复杂，反面较简单，可以利用“正难则反”的思想来求解.
先求三个方程都没有实根的a的范围.
Δ1=16a2-4(-4a+3)＜0Δ2=(a-1)2-4a2＜0Δ3=4a2+8a＜0-32＜a＜-1.
所以，三个方程至少有一个方程有实根的实数a的取值范围是{a|a≥-1或a≤-32}.
评注：三个方程至少有一个有实根的反面是三个方程都没有实根，正面入手较复杂，反面较简单，可以利用“正难则反”，巧用补集思想实施等价转换.
例6设数列{an}的通项公式为：an＝nn.
（1）求证：当n≥3时，数列{an}是递减数列.
（2）求数列{an}的最大项和最小项.
分析：（1）数列{an}是递减数列(n≥3)an＋1＜an (n≥3)n+1n+1＜nn
(n＋1)n＜nn＋1 (n≥3)……（※）
nln (n＋1)＜(n＋1)ln nln (n+1)n+1＜ln nn（n≥3）
为此，考察函数f(x)＝ln xx在(3，＋∞)上的单调性.
∵f ′(x)＝1-ln xx2，当x＞3时，f ′(x)＜0.
∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减.∴ln nn＞ln(n+1)n+1（n≥3）
从而an＋1＜an (n≥3)成立.即数列{an}是递减数列（n≥3）.
（2）由（1）知，n≥3时，an＞an＋1，∴a3＞a4＞a5＞……
即数列{an}中，当n≥3时，a3最大.
又a1＝1，a2＝2，a3＝33，a62＝8＜a63＝9，
∴a1＜a2＜a3 ，故在数列{an}中，a3最大，a3＝33.
又an＝nn≥1（n∈N*），故a1最小，a1＝1.
评注：（1）本题实施了多次等价转换思想.数列的单调性;不等式的大小比较；分数指数幂的大小比较;正整数指数幂的大小比较.最后化归为函数性质的讨论.本题跨度大，能力要求高，技巧性强，经常这样的训练，才能培养我们思维的广阔性和深刻性，进而培养我们具有顽强的意志和毅力，不畏艰难，勇于探索的科学精神.
（2）一题多解和多题一解.思考将（※）式作另一等价转换：(1＋1n)n＜n(n≥3)将如何证明.（尝试用数学归纳法证明）
（作者:钱建良、吴天添,江苏宜兴）
等价转换思想，就是将待解决的或难解决的问题，通过某种转化过程，归纳化归为一类已经解决或比较容易解决的问题.
应用等价转换思想常用的化归策略有：
（1）未知向已知转化；
（2）几何与代数转化，即数形结合思想；
（3）一般向特殊转化，即特殊化策略；
（4）化生为熟，将陌生问题熟悉化,将陌生问题转化为基本原理、法则及典型问题；
（5）化繁为简，将复杂问题简单化.
实施等价转换的常用途径和方法有：大、中、小三类
（1）小为问题的局部进行转换，调整（如式的恒等变形，化简等）；
（2）中为命题的转化，即换个说法，换个角度，正难则反等方法；
（3）大为问题整体上的转化，如代数、三角、几何及数形结合等广义上的化归.
等价转换不同于恒等变形，其实恒等变形只是式子的保值不变，而等价转换则是命题的保真不变，这是等价转换思想的实质和精髓.
下面先通过一组小题训练，温故知新，了解等价转换思想的含义，感受与体会等价转换思想的若干转换策略，掌握等价转换思想的常用途径和方法.
例1（1）函数f(x)＝3ax＋1-2a在（-1，1）上存在零点，则a的取值范围是________.
解析：f(x)在（-1，1）上存在零点存在x0∈（-1，1）使f(x0)＝0
f(-1)• f(1)＜0(1-5a)(a＋1)＜0a＞15或a＜-1.
（2）若k∈（0，33），则方程kx＝4x-x2-3的实数根的个数有________个.
解析：方程实数根的个数函数y＝kx与y＝4x-x2-3两图像的交点个数y＝kx与半圆(x-2)2＋y2＝1(y≥0)的交点个数.
在同一坐标系中，作出它们的图像，研究直线y＝kx与半圆相切时的k＝33.
故当k∈(0，33)时，直线与半圆有两个交点，即原方程的实数根的个数有两个.
（3）直线l1：x＋3y-7＝0，l2：kx-y-2＝0与两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则k＝________.
分析：如图，四边形有外接圆(四边形的两对角互补l1⊥l2k1•k2＝-1
(-13)•k＝-1得k＝3.
评注：巧用圆的几何性质与数量关系的转化策略，实现数与形的转化.
（4）过双曲线的左焦点F的直线交双曲线于点P1，P2，则满足|P1P2|＝4的直线有________条.
解析：左焦点F(-5，0)，过F的弦有两类.
①同支弦中最短弦即为通径2b2a＝1， |P1P2|＝4＞1，故同支弦中有两条.
②异支弦中实轴为最短弦.现实轴长2a＝4，故异支弦中只有一条实轴符合条件.
综上，满足|P1P2|＝4的直线有3条.
评注：本题等价转换成研究通径和实轴长的大小，即可解决直线条数的问题.
________________________（5）已知函数f(x)＝|log3x|，正实数m，n满足m＜n，且f(m)＝f(n).
若f(x)在区间m3，n〗上的最大值为2，则m＋n＝________.
分析：如图，作出y＝|log3x|的图像，由m＜n，且f(m)＝f(n)，
利用图像知，必有0＜m＜1＜n.
∴f(m)＝f(n)即|log3m|＝|log3n|-log3m＝log3n
∴log3(mn)＝0，∴mn＝1……①
再结合图像分析，f(x)在区间m3，n〗上的最大值必在x＝m3取得.
且m3＜n＜1，∴f(m3)＝|log3m3|＝-log3m3＝log33m＝2.
∴3m＝9，得m＝13.……②
由①②得n＝3.故m＋n＝103.
评注：数缺形时少直观，形离数时难入微.本题借助图形，反复利用等价转换思想逐步推理，实施转化，将复杂问题简单化，陌生问题熟悉化，从而快捷地求解.
（6）已知正三棱锥S—ABC的侧棱长为2，侧面等腰三角形的顶角为40°，过底面顶点A作截面AMN分别交侧棱SB，SC于M、N，则△AMN周长的最小值为________.
分析：△AMN周长的最小值侧面展开图中两点间连线段最短来处理.
将侧面展开可得顶角为120°的等腰△SAA′，AA′,连线的长度即为其周长的最小值，答案为23.
例2已知函数f(x)＝lg1+2x+4x•aa2-a+1，其中a∈R.
如果x∈(-∞，1〗时，f(x)有意义，求a的取值范围.
分析：f(x)在x∈(-∞，1〗上有意义1+2x+4x•aa2-a+1＞0对x∈(-∞，1〗恒成立.
∵a2-a＋1＝(a-12)2＋34＞0∴上式1＋2x＋4x•a＞0对x∈(-∞，1〗恒成立.
实施参数分离a＞-(14)x-(12)x对x∈(-∞，1〗恒成立.
令g(x)＝-(14)x-(12)x，应用最值思想a＞g(x)的最大值，x∈(-∞，1〗.
易证，g(x)在 (-∞，1〗上单调递增，所以g(x)max＝g(1)＝-34.∴a＞-34.
评注：1．强化应用等价转换思想的自觉性和灵活性.
2．分离参数和最值思想的有机结合，一气呵成，使解题自然流畅，简洁快捷.
3．一般地，a＞g(x)对x∈D恒成立a＞g(x)的最大值，x∈D.
a＜g(x) 对x∈D恒成立a＜g(x)的最小值，x∈D.
例3设三角函数f(x)＝sin(k5x＋π3)，其中k≠0.
（1）写出f(x)的最大值M，最小值m，最小正周期T.
（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数（包括整数本身）间变化时，函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m.
分析：（1）f(x)的最大值M＝1，最小值m＝-1，最小正周期T等于2π|k5|＝10π|k|.
（2）x在任意两整数间，f(x)至少有一个值是M与一个值是m.x在相邻两整数间， f(x)取得最大值M与最小值m.周期T≤110|k|≤1k≥10π≈31.4
∴最小正整数k＝32.
评注：本题灵活运用等价转换思想，即不断转换说法，转换命题，将原题等价转换成周期T≤1，问题就迎刃而解.所以说等价转换思想是解决问题的“金钥匙”.
例4已知函数f(x)＝-x2＋2ex＋m-1，g(x)＝x＋e2x（x＞0）.
（1）若g(x)-m有零点，求实数m的取值范围.
（2）确定m的取值范围，使g(x)-f(x)＝0有两个相异实根.
分析：（1）g(x)-m有零点方程m＝g(x)（x＞0）有解.
m在g(x)的值域内.∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，当且仅当x＝e时取等号.
故g(x)的值域是方程m＝g(x)x2-mx＋e2＝0（※）
原问题方程（※）有大于零的根，
m2＞0Δ=m2-4e2≥0
m＞0m≥2e或m≤-2e
m≥2e即为所求取值范围.
（2）若g(x)-f(x)＝0有两个相异实根函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像有两个不同的交点.作出y＝x＋e2x（x＞0）的图像，
又y＝f(x)＝-x2＋2ex＋m-1
＝-(x-e)2＋m-1＋e2
是对称轴为x＝e，开口向下的抛物线，
最大值为m-1＋e2.
要使y＝g(x)与y＝f(x)有两个不同的交点
m-1＋e2＞2e，即m＞-e2＋2e＋1.
所以m的取值范围是(-e2＋2e＋1，＋∞).
评注：（1）本题强化对等价转换思想的应用，并逐步成为一种自觉行动，才能达到函数、方程、不等式内在联系的转化和数形结合思想的和谐统一.
（2）本题（1）中将函数g(x)-m有零点（x＞0）方程m＝g(x)（x＞0）有解m在g(x)的值域内，进而转换成研究函数g(x)的值域问题求解.
（3）本题（1）中也可将g(x)-m有零点（x＞0）方程g(x)-m＝0有大于零的根.转换成一元二次方程有正根条件的研究，所以说不同的观察角度，就有不同的等价转换的方法.
（4）本题（2）中，g(x)-f(x)＝0有两个相异实根函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像有两个不同的交点，转换成二次函数与“对勾”函数最值的研究.经常且自觉地进行等价转化训练可培养我们思维的发散性、深刻性和创造性.
例5若下列三个方程：x2＋4ax-4a＋3＝0，x2＋(a-1)x＋a2＝0，x2＋2ax-2a＝0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.
分析：正面问题较复杂，反面较简单，可以利用“正难则反”的思想来求解.
先求三个方程都没有实根的a的范围.
Δ1=16a2-4(-4a+3)＜0Δ2=(a-1)2-4a2＜0Δ3=4a2+8a＜0-32＜a＜-1.
所以，三个方程至少有一个方程有实根的实数a的取值范围是{a|a≥-1或a≤-32}.
评注：三个方程至少有一个有实根的反面是三个方程都没有实根，正面入手较复杂，反面较简单，可以利用“正难则反”，巧用补集思想实施等价转换.
例6设数列{an}的通项公式为：an＝nn.
（1）求证：当n≥3时，数列{an}是递减数列.
（2）求数列{an}的最大项和最小项.
分析：（1）数列{an}是递减数列(n≥3)an＋1＜an (n≥3)n+1n+1＜nn
(n＋1)n＜nn＋1 (n≥3)……（※）
nln (n＋1)＜(n＋1)ln nln (n+1)n+1＜ln nn（n≥3）
为此，考察函数f(x)＝ln xx在(3，＋∞)上的单调性.
∵f ′(x)＝1-ln xx2，当x＞3时，f ′(x)＜0.
∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减.∴ln nn＞ln(n+1)n+1（n≥3）
从而an＋1＜an (n≥3)成立.即数列{an}是递减数列（n≥3）.
（2）由（1）知，n≥3时，an＞an＋1，∴a3＞a4＞a5＞……
即数列{an}中，当n≥3时，a3最大.
又a1＝1，a2＝2，a3＝33，a62＝8＜a63＝9，
∴a1＜a2＜a3 ，故在数列{an}中，a3最大，a3＝33.
又an＝nn≥1（n∈N*），故a1最小，a1＝1.
评注：（1）本题实施了多次等价转换思想.数列的单调性;不等式的大小比较；分数指数幂的大小比较;正整数指数幂的大小比较.最后化归为函数性质的讨论.本题跨度大，能力要求高，技巧性强，经常这样的训练，才能培养我们思维的广阔性和深刻性，进而培养我们具有顽强的意志和毅力，不畏艰难，勇于探索的科学精神.
（2）一题多解和多题一解.思考将（※）式作另一等价转换：(1＋1n)n＜n(n≥3)将如何证明.（尝试用数学归纳法证明）
（作者:钱建良、吴天添,江苏宜兴）