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中图分类号：G640 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2015）31-0210-01
高中数学中引进向量，给中学数学带来了广阔的天地，无论是在平面几何﹑立体几何﹑解析几何﹑三角函数等方面都有着大大拓宽解题思路的重要作用.向量融“形”“数”于一体，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合.毫不夸张地说，向量的数形迁移思想在中学数学中能得到很好的体现.《普通高中数学课程标准》对其教学要求为重基础，突出向量作为工具的作用。高中数学教科书中的向量内容进行分析，把向量作为数学工具来解决数学问题。本文列举在教学中积累的应用向量解决问题的实例，并进行分类讨论，内容如下：
一、向量的应用
1.三角函数中向量的运用
证明正余弦的两角和与差公式，是向量数量积的一个直接运用，较之传统证明方法更加简洁明了。
例1、利用向量方法证明公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
证明：在单位圆中作向量 ， 它们与x轴正向的夹角分别是α、β，则点a的坐标是 （cosα， sinα） ，点b的坐标是 （cosβ， sinβ） ，
可见，从向量角度解决三角函数方面的问题更方便快捷。
2.平面几何中向量的运用
向量方法是借助向量的几何意义，把问题转化为向量的计算，通过向量计算达到求解目的，用向量方法解决几何问题，一方面体现向量的运用性，另一方面能在运用中加深对向量知识的理解与掌握。
即为所证。
由于此例只须通过向量的运算便可得出结论，学生得到很大的启发，既巩固了向量运算的方法，又有了运用向量解决数学问题的体验，从而提高学习数学的兴趣。
3.在解析几何中向量的运用
高考命题中对知识综合性的考查，往往在知识网络交汇点上设计试题，注重学科的内在联系和综合，而向量则是三角函数、解析几何等多个部分的知识交汇点。因此也是将来的高考命题热点。
4.在立体几何中向量的运用
新教材增加了向量的内容，是因为向量是解决问题的有效的思想方法，它为教材增加了新鲜的血液，使得教材体系更加富有活力，更有利于学生思维的发展。我们要重视三角函数、向量与其他学科的联系，强调用三角函数与向量知识解决有关实际问题，经历建模过程，发展学生运用数学的意识现行立体几何最大的变化是引进空间向量。在实际的演练中，以向量为工具可以把几何图形的性质转化为向量的运算性质，实现“数与形”的结合，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，这样通过向量就能比较容易地解决几何中的问题。
二、向量教学应注意的问题
1.注重向量的几何意义
在向量的教学中，应注意揭示向量代数性质的几何意义。向量代数性质的几何意义对于运用向量刻画几何对象是非常重要的。
例3：向量数乘运算λa的几何意义是与a平行的向量。两个不共线向量a与b的线性组合λa+γb表示向量a与b所确定的平面。
这就把向量的线性运算与直线、平面联系起来了。aa的几何意义就是向量a的长度的平方，这就把向量的数量积运算与向量的长度联系起来，从而，也就把向量的数量积运算与两点间的距离公式联系起来了。ab=0的几何意义是向量a与b垂直，这就把向量的数量积运算与向量的位置关系联系起来，从而，也就把向量的数量积运算与直线的位置关系以及点到直线的距离联系起来了。
2.突出物理背景
向量具有丰富的物理背景。力、位移、速度、加速度等物理量是向量的原型，这些物理量是学生在日常生活中能够经常感受到的，这为理解向量的概念、向量运算提供了直观、现实的背景。在教学中，应注重突出向量的这些物理背景。
三、向量的教育价值
向量具有丰富的现实背景和物理背景。向量是刻画位置的重要数学工具，在诸如卫星定位、飛船设计、可运动机器人设计与操控中有着广泛的应用。向量也是刻画物理量──力、位移、速度、加速度等的数学工具，它体现了数学与物理的天然联系。力、位移、速度、加速度这些物理量在实际生活中是随处可见的。因此，向量的学习，有助于学生认识数学与实际生活以及物理等学科的紧密联系，体会向量在刻画和解决实际问题中的作用，从中感受数学的应用价值。
综上所述，我们发现向量集数与形于一体，沟通了代数、几何与三角函数的联系.利用向量的运算法则、数量积可解决长度、角度、垂直问题，应用实数与向量的积，则可以证明共线、平行等问题，以及它的巧妙应用.其中运用到的数形迁移思想，是重要的数学思想方法.在高中数学中引进向量，充分体现出新教材新思路﹑新方法的优越性，并且对于培养直觉思维﹑逻辑思维﹑运算求解等理性思维能力，具有重要意义。
高中数学中引进向量，给中学数学带来了广阔的天地，无论是在平面几何﹑立体几何﹑解析几何﹑三角函数等方面都有着大大拓宽解题思路的重要作用.向量融“形”“数”于一体，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合.毫不夸张地说，向量的数形迁移思想在中学数学中能得到很好的体现.《普通高中数学课程标准》对其教学要求为重基础，突出向量作为工具的作用。高中数学教科书中的向量内容进行分析，把向量作为数学工具来解决数学问题。本文列举在教学中积累的应用向量解决问题的实例，并进行分类讨论，内容如下：
一、向量的应用
1.三角函数中向量的运用
证明正余弦的两角和与差公式，是向量数量积的一个直接运用，较之传统证明方法更加简洁明了。
例1、利用向量方法证明公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
证明：在单位圆中作向量 ， 它们与x轴正向的夹角分别是α、β，则点a的坐标是 （cosα， sinα） ，点b的坐标是 （cosβ， sinβ） ，
可见，从向量角度解决三角函数方面的问题更方便快捷。
2.平面几何中向量的运用
向量方法是借助向量的几何意义，把问题转化为向量的计算，通过向量计算达到求解目的，用向量方法解决几何问题，一方面体现向量的运用性，另一方面能在运用中加深对向量知识的理解与掌握。
即为所证。
由于此例只须通过向量的运算便可得出结论，学生得到很大的启发，既巩固了向量运算的方法，又有了运用向量解决数学问题的体验，从而提高学习数学的兴趣。
3.在解析几何中向量的运用
高考命题中对知识综合性的考查，往往在知识网络交汇点上设计试题，注重学科的内在联系和综合，而向量则是三角函数、解析几何等多个部分的知识交汇点。因此也是将来的高考命题热点。
4.在立体几何中向量的运用
新教材增加了向量的内容，是因为向量是解决问题的有效的思想方法，它为教材增加了新鲜的血液，使得教材体系更加富有活力，更有利于学生思维的发展。我们要重视三角函数、向量与其他学科的联系，强调用三角函数与向量知识解决有关实际问题，经历建模过程，发展学生运用数学的意识现行立体几何最大的变化是引进空间向量。在实际的演练中，以向量为工具可以把几何图形的性质转化为向量的运算性质，实现“数与形”的结合，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，这样通过向量就能比较容易地解决几何中的问题。
二、向量教学应注意的问题
1.注重向量的几何意义
在向量的教学中，应注意揭示向量代数性质的几何意义。向量代数性质的几何意义对于运用向量刻画几何对象是非常重要的。
例3：向量数乘运算λa的几何意义是与a平行的向量。两个不共线向量a与b的线性组合λa+γb表示向量a与b所确定的平面。
这就把向量的线性运算与直线、平面联系起来了。aa的几何意义就是向量a的长度的平方，这就把向量的数量积运算与向量的长度联系起来，从而，也就把向量的数量积运算与两点间的距离公式联系起来了。ab=0的几何意义是向量a与b垂直，这就把向量的数量积运算与向量的位置关系联系起来，从而，也就把向量的数量积运算与直线的位置关系以及点到直线的距离联系起来了。
2.突出物理背景
向量具有丰富的物理背景。力、位移、速度、加速度等物理量是向量的原型，这些物理量是学生在日常生活中能够经常感受到的，这为理解向量的概念、向量运算提供了直观、现实的背景。在教学中，应注重突出向量的这些物理背景。
三、向量的教育价值
向量具有丰富的现实背景和物理背景。向量是刻画位置的重要数学工具，在诸如卫星定位、飛船设计、可运动机器人设计与操控中有着广泛的应用。向量也是刻画物理量──力、位移、速度、加速度等的数学工具，它体现了数学与物理的天然联系。力、位移、速度、加速度这些物理量在实际生活中是随处可见的。因此，向量的学习，有助于学生认识数学与实际生活以及物理等学科的紧密联系，体会向量在刻画和解决实际问题中的作用，从中感受数学的应用价值。
综上所述，我们发现向量集数与形于一体，沟通了代数、几何与三角函数的联系.利用向量的运算法则、数量积可解决长度、角度、垂直问题，应用实数与向量的积，则可以证明共线、平行等问题，以及它的巧妙应用.其中运用到的数形迁移思想，是重要的数学思想方法.在高中数学中引进向量，充分体现出新教材新思路﹑新方法的优越性，并且对于培养直觉思维﹑逻辑思维﹑运算求解等理性思维能力，具有重要意义。