“数形结合、以形助数”是重要的数学思想方法之一,利用这种思想方法解题直观形象、一目了然.但利用不当往往会出现失误,而且具有一定的隐蔽性.就此试举几种常见的失误,期待对同学们有所帮助.
　　一、作图不规范导致失误
　　例1 若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是
　　错解:在同一坐标系中分别作出y=2a与y=|ax-1|(a>0且a≠1)的图象.
　　∴a∈(0,1)∪(1,+∞)
　　分析与矫正:因作图不规范,少作了渐进线,从而使a的范围扩大,产生增解.规范作图如下:
　　∴0<2a<1,
　　正确答案是∴a∈(0,12).
　　例2 函数y=x2与y=2x的图象的交点个数为 .
　　错解:在同一坐标系中作出函数y=x2与y=2x的图象,如图1,易知为2个.
　　分析与矫正:当x>2时x2>2x不一定成立,如x=5,52<25,故作图失误.事实上当x>4时x2<2x.正确的作图应是图2,交点个数为3个.因此正确的作图是“以形辅数”的首要前提.
　　
　　二、忽视图形的客观合理性导致失误
　　例3 抛物线y2=2px(p>0)的动弦AB长为a,求弦AB中点M到y轴的最短距离.
　　错解:如图3,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过点A、B、M分别作的l的垂线,垂足分别为A′、B′、M′,连接AF、BF,设M到y轴的距离为d,则由抛物线的定义得d=|MM′|-P2=|AA′|+|BB′|2-p2=|AF|+|BF|-P2≥|AB|-P2=a-p2,所以
　　
　　dmin=a-p2.
　　分析与矫正:上述解法中取到最小值的条件是A、B、F共线,即弦AB过焦点F,可以证明抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦的弦长范围是\a-p2,当a∈(0,2p)时,还需另外讨论.
　　三、“思维定势”导致失误
　　例3 设x,y满足x2+y2-8x-6y+16=0,则y+2x-2是否存在最值?若存在,求出此最值.
　　错解:由已知(x,y)是圆(x-4)2+(y-3)2=9上的点,y+2x-2表示点(x,y)与点(2,-2)连线的斜率,如图4当直线与圆相切时取得最值,设过(2,-2)的直线方程为
　　y+2=k(x-2),当直线与圆相切时,有|2k-5|1+k2=3,k=-2±655,所以
　　y+2x-2的最大值为-2+655,y+2x-2的最小值为-2-655.
　　分析与矫正:直线与圆相切是两点连线的斜率的临界状态,但未必此时取得最值,这是“想当然”的思想导致失误.由图4知,k∈\655,+∞)∪(-∞,-2-655\〗,它没有最值.
　　
　　(作者:李忠贵,江苏省板浦高级中学)