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一、恒成立问题的基本类型
在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题。
函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:①在给定区间上某关系恒成立;②某函数的定义域为全体实数R;③某不等式的解为一切实数;④某表达式的值恒大于a等等……
恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:
①一次函数型;②二次函数型;③变量分离型;④根据函数的奇偶性、周期性等性质;⑤直接根据函数的图象。
二、恒成立问题解决的基本策略
(一)两个基本思想解决"恒成立问题"
思路1、mf(x)在x∈D上恒成立m[f(x)]max
思路2、mf(x)在x∈D上恒成立m[f(x)]min
如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f(x)的最值。
这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛,在处理上也有许多特殊性,也是近年来高考中频频出现的试题类型,希望同学们在日常学习中注意积累。
(二)赋值型--利用特殊值求解
等式中的恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对解决填空题、选择题能很快求得。
例1.由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定义映射f:(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,则f:(4,3,2,1) → ( )
A.10 B.7 C.-1 D.0
略解:取x=0,则 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ,故选D
例2.如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-π8对称,那么a=( ).
A.1 B.-1 C .2 D. -2
略解:取x=0及x=-π4,则f(0)=f( -π4),即a=-1,故选B.
此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想。
(三)分清基本类型,运用相关基本知识,把握基本的解题策略
1、一次函数型:
若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷。
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于f(m)>0
f(n)>0
同理,若在[m,n]内恒有f(x)<0, 则有f(m)<0
f(n)<0
例2.对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围。
分析:在不等式中出现了两个字母:x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.显然可将a视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题。
解:原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|2时恒成立,
设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0,故有:
f(-2)>0
f(2)>0即x2-4x+3>0
x2-1>0
解得:x>3或x<1
x>1或x<-1
∴x<-1或x>3. 即x∈(-∞,-1)∪(3,+∞)
此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段,故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即可。
2、二次函数型
涉及到二次函数的问题是复习的重点,同学们要加强学习、归纳、总结,提炼出一些具体的方法,在今后的解题中自觉运用。
(1)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)大于0恒成立,则有a>0且△<0
(2)若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。
例3.若函数f(x)=(a2-1)x2+(a-1)x+2a+1的定义域为R,求实数a的取值范围.
分析:该题就转化为被开方数(a2-1)x2+(a-1)x+2a+10在R上恒成立问题,并且注意对二次项系数的讨论。
解:依题意,当x∈R时,(a2-1)x2+(a-1)x+2a+1 恒成立,
所以,①当a2-1=0时,即当a2-1=0,
a+1≠0,时,a=1,
此时(a2-1)x2+(a-1)x+2a+1=10;∴a=1.
②当a2-1≠0时,即当a2-1>0,
△=(a-1)2-4(a2-1)2a+10时,
有a2>1,
a2-10a+90,1 综上所述,f(x)的定义域为R时,a∈[1,9]
3、变量分离型
若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论:若对于x取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立,则g(a)f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分别为f(x)的最大值和最小值 ) 例4.已知三个不等式①x2-4x+3<0,②x2-6x+8<0,③2x2-9x+m<0.要使同时满足①②的所有x的值满足③,求m的取值范围.
略解:由①②得2 要使同时满足①②的所有x的值满足③,即不等式2x2-9x+m<0在x∈(2,3)上恒成立,
即m<-2x2+9x在x∈(2,3)上恒成立,
又-2x2+9x在x∈(2,3)上大于9,
所以m9
利用变量分离解决恒成立问题,主要是要把它转化为函数的最值问题。
三、在恒成立问题中,主要是求参数的取值范围问题,是一种热点题型,介绍一些基本的解题策略,在学习中学会把问题分类、归类,熟练基本方法。
(一)换元引参,显露问题实质 1、对于所有实数x,不等式x2log24(a+1)a+2xlog22aa+1+log2(a+1)24a2>0恒成立,求a的取值范围。
解:因为log22aa+1的值随着参数a的变化而变化,若设t=log22aa+1,
则上述问题实质是"当t为何值时,不等式(3-t)x2+2tx-2t>0恒成立"。
这是我们较为熟悉的二次函数问题,它等价于
求解关于t的不等式组:3-t>0
△=(2t)2+8t(3-t)<0。 解得t<0,即有log22aa+1<0,易得0 2、设点P(x,y)是圆x2+(y-1)2=4上任意一点,若不等式x+y+c0恒成立,求实数c的取值范围。
(二)分离参数,化归为求值域问题 3、若对于任意角θ总有sin2θ+2mcosθ+4m-1<0成立,求m的范围。
解:此式是可分离变量型,由原不等式得m(2cosθ+4) 又cosθ+2>0,则原不等式等价变形为2m 根据边界原理知,2m必须小于f(θ)=cos2θcosθ+2的最小值,这样问题化归为怎样求cos2θcosθ+2的最小值。因为f(θ)=cos2θcosθ+2=(cosθ+2)2-4(cosθ+2)+4cosθ+2 =cosθ+2+4cosθ+2-44-4=0
即cosθ=0时,有最小值为0,故m<0。
(三)变更主元,简化解题过程
4、若对于0m1,方程x2+mx-2m-1=0都有实根,求实根的范围。
解:此题一般思路是先求出方程含参数m的根,再由m的范围来确定根x的范围,但这样会遇到很多麻烦,若以m为主元,则m(x-2)=(1-x)2,
由原方程知x≠2,得m=1-x2x-2
又0m1,即01-x2x-21
解之得-1-132x-1或1x-1+132。
在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题。
函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:①在给定区间上某关系恒成立;②某函数的定义域为全体实数R;③某不等式的解为一切实数;④某表达式的值恒大于a等等……
恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:
①一次函数型;②二次函数型;③变量分离型;④根据函数的奇偶性、周期性等性质;⑤直接根据函数的图象。
二、恒成立问题解决的基本策略
(一)两个基本思想解决"恒成立问题"
思路1、mf(x)在x∈D上恒成立m[f(x)]max
思路2、mf(x)在x∈D上恒成立m[f(x)]min
如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f(x)的最值。
这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛,在处理上也有许多特殊性,也是近年来高考中频频出现的试题类型,希望同学们在日常学习中注意积累。
(二)赋值型--利用特殊值求解
等式中的恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对解决填空题、选择题能很快求得。
例1.由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定义映射f:(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,则f:(4,3,2,1) → ( )
A.10 B.7 C.-1 D.0
略解:取x=0,则 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ,故选D
例2.如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-π8对称,那么a=( ).
A.1 B.-1 C .2 D. -2
略解:取x=0及x=-π4,则f(0)=f( -π4),即a=-1,故选B.
此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想。
(三)分清基本类型,运用相关基本知识,把握基本的解题策略
1、一次函数型:
若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷。
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于f(m)>0
f(n)>0
同理,若在[m,n]内恒有f(x)<0, 则有f(m)<0
f(n)<0
例2.对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围。
分析:在不等式中出现了两个字母:x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.显然可将a视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题。
解:原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|2时恒成立,
设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0,故有:
f(-2)>0
f(2)>0即x2-4x+3>0
x2-1>0
解得:x>3或x<1
x>1或x<-1
∴x<-1或x>3. 即x∈(-∞,-1)∪(3,+∞)
此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段,故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即可。
2、二次函数型
涉及到二次函数的问题是复习的重点,同学们要加强学习、归纳、总结,提炼出一些具体的方法,在今后的解题中自觉运用。
(1)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)大于0恒成立,则有a>0且△<0
(2)若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。
例3.若函数f(x)=(a2-1)x2+(a-1)x+2a+1的定义域为R,求实数a的取值范围.
分析:该题就转化为被开方数(a2-1)x2+(a-1)x+2a+10在R上恒成立问题,并且注意对二次项系数的讨论。
解:依题意,当x∈R时,(a2-1)x2+(a-1)x+2a+1 恒成立,
所以,①当a2-1=0时,即当a2-1=0,
a+1≠0,时,a=1,
此时(a2-1)x2+(a-1)x+2a+1=10;∴a=1.
②当a2-1≠0时,即当a2-1>0,
△=(a-1)2-4(a2-1)2a+10时,
有a2>1,
a2-10a+90,1 综上所述,f(x)的定义域为R时,a∈[1,9]
3、变量分离型
若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论:若对于x取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立,则g(a)f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分别为f(x)的最大值和最小值 ) 例4.已知三个不等式①x2-4x+3<0,②x2-6x+8<0,③2x2-9x+m<0.要使同时满足①②的所有x的值满足③,求m的取值范围.
略解:由①②得2 要使同时满足①②的所有x的值满足③,即不等式2x2-9x+m<0在x∈(2,3)上恒成立,
即m<-2x2+9x在x∈(2,3)上恒成立,
又-2x2+9x在x∈(2,3)上大于9,
所以m9
利用变量分离解决恒成立问题,主要是要把它转化为函数的最值问题。
三、在恒成立问题中,主要是求参数的取值范围问题,是一种热点题型,介绍一些基本的解题策略,在学习中学会把问题分类、归类,熟练基本方法。
(一)换元引参,显露问题实质 1、对于所有实数x,不等式x2log24(a+1)a+2xlog22aa+1+log2(a+1)24a2>0恒成立,求a的取值范围。
解:因为log22aa+1的值随着参数a的变化而变化,若设t=log22aa+1,
则上述问题实质是"当t为何值时,不等式(3-t)x2+2tx-2t>0恒成立"。
这是我们较为熟悉的二次函数问题,它等价于
求解关于t的不等式组:3-t>0
△=(2t)2+8t(3-t)<0。 解得t<0,即有log22aa+1<0,易得0 2、设点P(x,y)是圆x2+(y-1)2=4上任意一点,若不等式x+y+c0恒成立,求实数c的取值范围。
(二)分离参数,化归为求值域问题 3、若对于任意角θ总有sin2θ+2mcosθ+4m-1<0成立,求m的范围。
解:此式是可分离变量型,由原不等式得m(2cosθ+4) 又cosθ+2>0,则原不等式等价变形为2m 根据边界原理知,2m必须小于f(θ)=cos2θcosθ+2的最小值,这样问题化归为怎样求cos2θcosθ+2的最小值。因为f(θ)=cos2θcosθ+2=(cosθ+2)2-4(cosθ+2)+4cosθ+2 =cosθ+2+4cosθ+2-44-4=0
即cosθ=0时,有最小值为0,故m<0。
(三)变更主元,简化解题过程
4、若对于0m1,方程x2+mx-2m-1=0都有实根,求实根的范围。
解:此题一般思路是先求出方程含参数m的根,再由m的范围来确定根x的范围,但这样会遇到很多麻烦,若以m为主元,则m(x-2)=(1-x)2,
由原方程知x≠2,得m=1-x2x-2
又0m1,即01-x2x-21
解之得-1-132x-1或1x-1+132。