论文部分内容阅读
一、选题
放牛娃骑在牛背上赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁四头牛，甲牛过河需要1分钟，乙牛需要2分钟，丙牛需要5分钟，丁牛需要6分钟。每次只能赶两头牛过河。问要把4头牛赶过河，最少要几分钟？
二、题目背景
过河问题与人教版义务教科书四年级上册的烙饼问题、沏茶问题、卸货问题等，都蕴含着运筹思想，此题源于教材高于教材。统筹思想是现代数学的一个重要分支，最优策略就是其中的一种重要思想，其核心是：在解决问题的多种方案中，寻找最合理、最省时、最节约等最优方案。
在小学数学思维训练中，这类问题较常见，它有利于培养学生的独立探究问题的能力，此题中蕴含着统筹思想、类比思想、组合思想、化归思想等。为学生构建数学模型，培养学生能够跳出模型看问题的能力。
三、题目分析
这是一个最优化的问题，其实无论怎么赶牛，牛都可以到达对岸，只不过时间不同罢了。但要求时间最少，那么就得抓住关键，这里的关键就是有牛到对岸之后，还得载着牧童回来。因此，过河的时间分为去和回的时间，我们考虑用时最少，可以从這两个方面来思考如何安排会最省时。去的时候是两头牛同时过，时间只能以两者之慢者相同，用时最多的牛只能走一次，骑回来的牛只能是用时最少的。此题的重点是认识到解决同一问题有多种策略，能够找到最优的解决方案。难点是如何找到用时最少的解决方案，并构建数学模型。
四、解题思路
教学时，我试图让学生通过例举、观察、分析、比较、归纳、验证，形成解决这类问题的思路和方法。
这是一道最优化问题，要使时间最少，应抓住三点。
时间要最少，那么在赶4头牛的过程当中，牧童要来回赶5个单趟。其中有2次是骑回来。也就是说肯定有牛是要走多趟。那么应该尽量让时间少的牛回来。这样就可以确定让时间多的牛直接走一趟到对岸就行了。那么只能将较慢的安排在一起走一趟。一是在赶4头牛的过程中，小明要来回走5次，其中去3次回2次。也就是有牛要走多次。那么应该骑用时最少的牛回来。二是为了省时，尽量把时间差小的两头牛一起赶。三是保证用时最多的牛与用时次多的一起过直接走一趟过河。
五、题目解法
第一步：“走几趟”。
一、二头牛过河，只需走一趟;
三头牛，第一次过两头，骑回来一头，再过去两头，就是去2次，回1次;
四头牛，在三头牛的基础上，放牛娃得再骑回来一次，再过赶一次过去，就是去3次，回2次;
五头牛，同理推断，每增加一头牛，就要分别增加一次去和回趟数。
因此，我们可以得出：有N头牛过河（3头以上），就要去（N-1）次，回（N-2）次，也就是共要走（2N-3）趟。
第二步：优化组合。
学生想到的第一种方案是：每次都骑用时最少的甲牛回来，认为这样，确保了回来的时间最少。但是，我们具体分析一下：2、5、6分钟的牛分别都要与它同行，这样过去的时间就不是最少的。共用时：6+5+2+1+1=15分钟。
既然想到了回来用时最少的方案，学生就不难想到如果确保过去用时最少，那会是怎样的效果呢？首先，要使去的时间最少，我们需要把这些牛进行合理的组合，用时最多的6分钟的牛一定要走一次，这6分钟是不能省的，那么与它同行的选择哪头呢？想必是用时次多的5分钟的牛，这样省出一个5分钟。1分和2分的一起走，省出1分钟。其次，我们还要考虑回来的时间最少，这两组谁先过呢？当然是1、2分钟的，它们先过，放牛娃骑用1分钟的回来，5、6分钟的一起过去，骑2分钟的牛回来，最后，1、2分钟的一起过。这样，我们保证了去的时间最少，共用时6+2+1+2+2=13分钟。
第三步：比较方案、择优建模
比较这两种方案的结果，我们得出答案：用时最少的是13分钟。那么，第一种方案，有它的实用价值吗？
假设甲乙丙丁四头牛过河时间分别为a、b、c、d分钟，其中0<a<b<c<d，第一种方案共用时：b+c+d+a+a， 第二种方案共用时：b+d+b+a+b。
观察这两个算式，相同的部分都有a、b、d，不同的部分就是a+c与2b
要使用时最少，就得看a+c与2b的关系，如果a+c<2b，那么采用第一种方案;如果a+c>2b，那么采用么第二种方案;如果2b=a+c，那么两种方案是结果相同。
六、题目变化
4个旅行者因赶路而不得不在夜晚过一座木桥。但他们只有一个仅能照亮29秒的手电筒。这座木桥最多只能同时载2人，4人通过桥的时间分别是3秒、5秒、6秒、12秒。这些旅行者怎样可以安全地过桥呢 5人过桥，要走几趟？2×5-3=7趟。采用哪种方法最省时呢？比较一下2b与a+c的关系：2×5>3+6，2b>a+c， 第一种方案，过桥用时最少的人分别和其他人一同行，由他拿手电筒回来，所以共用时：5+6+12+3+3=29（秒）。解决这种题型，我们要做到具体问题具体分析。
七、题目拓展
小明骑在牛背上赶牛过河，共甲乙丙丁戊己六头牛，分别需要时间是1分钟，2分钟，4分钟，6分钟，7分钟， 9分钟，每次只能骑一头牛，赶一头牛过河，请你帮小明想一想，过河时间最少需多少分钟？
解题思路：
第一，共要走2×6-3=9（趟）。
第二，2×2<1+4即：2b<a+c，采用第一种方法
第三，1和2分钟、4和6分钟、7和9分钟分别进行组合。
1、2过去，2分钟，1回1分钟。
4、6过去，6分钟，2回2分钟。
1、2过去，2分钟，1回1分钟。
7、9过去，9分钟，2回2分钟。
1、2过去2分钟。
4、计算：5 ×2+2 ×1+6+9=29（分）
八、感悟与反思
作为学生的引导者，我们如何为学生选择源于教材、高于教材、与时俱进，精益求精的素材;尽可能地呈现数学的本质，挖掘其思维价值，让学生体验数学问题的现实性、探索性和挑战性。
放牛娃骑在牛背上赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁四头牛，甲牛过河需要1分钟，乙牛需要2分钟，丙牛需要5分钟，丁牛需要6分钟。每次只能赶两头牛过河。问要把4头牛赶过河，最少要几分钟？
二、题目背景
过河问题与人教版义务教科书四年级上册的烙饼问题、沏茶问题、卸货问题等，都蕴含着运筹思想，此题源于教材高于教材。统筹思想是现代数学的一个重要分支，最优策略就是其中的一种重要思想，其核心是：在解决问题的多种方案中，寻找最合理、最省时、最节约等最优方案。
在小学数学思维训练中，这类问题较常见，它有利于培养学生的独立探究问题的能力，此题中蕴含着统筹思想、类比思想、组合思想、化归思想等。为学生构建数学模型，培养学生能够跳出模型看问题的能力。
三、题目分析
这是一个最优化的问题，其实无论怎么赶牛，牛都可以到达对岸，只不过时间不同罢了。但要求时间最少，那么就得抓住关键，这里的关键就是有牛到对岸之后，还得载着牧童回来。因此，过河的时间分为去和回的时间，我们考虑用时最少，可以从這两个方面来思考如何安排会最省时。去的时候是两头牛同时过，时间只能以两者之慢者相同，用时最多的牛只能走一次，骑回来的牛只能是用时最少的。此题的重点是认识到解决同一问题有多种策略，能够找到最优的解决方案。难点是如何找到用时最少的解决方案，并构建数学模型。
四、解题思路
教学时，我试图让学生通过例举、观察、分析、比较、归纳、验证，形成解决这类问题的思路和方法。
这是一道最优化问题，要使时间最少，应抓住三点。
时间要最少，那么在赶4头牛的过程当中，牧童要来回赶5个单趟。其中有2次是骑回来。也就是说肯定有牛是要走多趟。那么应该尽量让时间少的牛回来。这样就可以确定让时间多的牛直接走一趟到对岸就行了。那么只能将较慢的安排在一起走一趟。一是在赶4头牛的过程中，小明要来回走5次，其中去3次回2次。也就是有牛要走多次。那么应该骑用时最少的牛回来。二是为了省时，尽量把时间差小的两头牛一起赶。三是保证用时最多的牛与用时次多的一起过直接走一趟过河。
五、题目解法
第一步：“走几趟”。
一、二头牛过河，只需走一趟;
三头牛，第一次过两头，骑回来一头，再过去两头，就是去2次，回1次;
四头牛，在三头牛的基础上，放牛娃得再骑回来一次，再过赶一次过去，就是去3次，回2次;
五头牛，同理推断，每增加一头牛，就要分别增加一次去和回趟数。
因此，我们可以得出：有N头牛过河（3头以上），就要去（N-1）次，回（N-2）次，也就是共要走（2N-3）趟。
第二步：优化组合。
学生想到的第一种方案是：每次都骑用时最少的甲牛回来，认为这样，确保了回来的时间最少。但是，我们具体分析一下：2、5、6分钟的牛分别都要与它同行，这样过去的时间就不是最少的。共用时：6+5+2+1+1=15分钟。
既然想到了回来用时最少的方案，学生就不难想到如果确保过去用时最少，那会是怎样的效果呢？首先，要使去的时间最少，我们需要把这些牛进行合理的组合，用时最多的6分钟的牛一定要走一次，这6分钟是不能省的，那么与它同行的选择哪头呢？想必是用时次多的5分钟的牛，这样省出一个5分钟。1分和2分的一起走，省出1分钟。其次，我们还要考虑回来的时间最少，这两组谁先过呢？当然是1、2分钟的，它们先过，放牛娃骑用1分钟的回来，5、6分钟的一起过去，骑2分钟的牛回来，最后，1、2分钟的一起过。这样，我们保证了去的时间最少，共用时6+2+1+2+2=13分钟。
第三步：比较方案、择优建模
比较这两种方案的结果，我们得出答案：用时最少的是13分钟。那么，第一种方案，有它的实用价值吗？
假设甲乙丙丁四头牛过河时间分别为a、b、c、d分钟，其中0<a<b<c<d，第一种方案共用时：b+c+d+a+a， 第二种方案共用时：b+d+b+a+b。
观察这两个算式，相同的部分都有a、b、d，不同的部分就是a+c与2b
要使用时最少，就得看a+c与2b的关系，如果a+c<2b，那么采用第一种方案;如果a+c>2b，那么采用么第二种方案;如果2b=a+c，那么两种方案是结果相同。
六、题目变化
4个旅行者因赶路而不得不在夜晚过一座木桥。但他们只有一个仅能照亮29秒的手电筒。这座木桥最多只能同时载2人，4人通过桥的时间分别是3秒、5秒、6秒、12秒。这些旅行者怎样可以安全地过桥呢 5人过桥，要走几趟？2×5-3=7趟。采用哪种方法最省时呢？比较一下2b与a+c的关系：2×5>3+6，2b>a+c， 第一种方案，过桥用时最少的人分别和其他人一同行，由他拿手电筒回来，所以共用时：5+6+12+3+3=29（秒）。解决这种题型，我们要做到具体问题具体分析。
七、题目拓展
小明骑在牛背上赶牛过河，共甲乙丙丁戊己六头牛，分别需要时间是1分钟，2分钟，4分钟，6分钟，7分钟， 9分钟，每次只能骑一头牛，赶一头牛过河，请你帮小明想一想，过河时间最少需多少分钟？
解题思路：
第一，共要走2×6-3=9（趟）。
第二，2×2<1+4即：2b<a+c，采用第一种方法
第三，1和2分钟、4和6分钟、7和9分钟分别进行组合。
1、2过去，2分钟，1回1分钟。
4、6过去，6分钟，2回2分钟。
1、2过去，2分钟，1回1分钟。
7、9过去，9分钟，2回2分钟。
1、2过去2分钟。
4、计算：5 ×2+2 ×1+6+9=29（分）
八、感悟与反思
作为学生的引导者，我们如何为学生选择源于教材、高于教材、与时俱进，精益求精的素材;尽可能地呈现数学的本质，挖掘其思维价值，让学生体验数学问题的现实性、探索性和挑战性。