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数学模型是针对某种事物系统的特征或数量依存关系,采用数学语言,概括地表述出的一种数学结构。这种数学结构是借助于数学符号刻画出来的某种系统的纯关系结构,它是实际事物的一种数学简化。数学建模是对实际问题进行抽象、简化,建立数学模型,求解数学模型,解释验证的过程。它要通过调查、收集数据资料,观察和研究实际对象的固有特征和内在规律,抓住问题的主要矛盾,建立起反映实际问题的数量关系,把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构,然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。在小学数学教学过程中,对学生初步渗透数学建模思想和方法是否可行呢?全国名师贲友林执教的五年级“找规律”一课,让我们从中找到了答案。
【片段一】数字编号——模型准备
(出示问题如图1)
师:根据要求,你想拿哪两张天文台参观券呢?
生1:我给参观劵编上号,可以拿1号和2号,也可以拿2号和3号。
生2:不管拿哪两张,只要号码相连就行。
(结合学生回答,屏幕显示“连号”二字改变颜色)
师:刚才几位同学在叙述时,把这些参观券编号1、2、3等,这样,交流也就方便多了。这是很有价值的想法。
(屏幕演示:10张参观券上标注1～10,参观券淡化,闪烁出示方框,用红框框住1和2)
师:这样,框住相邻的两个数,也就相当于拿第1张、第2张天文台参观券。刚才3位同学谈到了3种拿法,还有不同的拿法吗?如果我们进一步探讨,就可以进一步提出问题:一共有多少种不同的拿法?
【赏析】学生将参观券用数进行编号,这个简单的行为从数学建模的角度来看,是学生在了解问题的现实背景、明确实际意义、掌握对象的各种信息的基础上,根据问题的特征和目的对天文台参观券进行简化,并用精确的数学语言——编号来描述。尽管学生是下意识地这样做,但却反映了学生具有数学“简化”的潜意识,这恰恰是数学建模的第一步——模型准备。
【片段二】简化思维——模型假设
师:你能解决这个问题吗?请每位同学独立想一想怎么拿,可以写一写怎么拿,有多少种拿法;也可以借助材料纸上的数,用笔框一框、圈一圈、连一连。试一试能找到多少种不同的拿法?
(学生思考并在课件上演示,用鼠标按住红框依次平移,探索后汇报并完成列举式板书)
生:一共有10张参观劵,每次拿相连的2张,有9种拿法。
师:如果要拿3张连号的券,一共有多少种不同的拿法?
(學生思考并再次在课件上演示,用鼠标按住红框依次平移,探索后汇报)
生:一共有10张参观劵,每次拿相连的3张,有8种拿法。
师:让我们一起回顾一下拿券的过程。
(教师课件演示红框向右平移,每移动一次,红框内对应的第一个数闪烁)
师:框在最左边,是第一种拿法,以1打头;平移方框,2、3、4,第2种拿法,以2打头;3、4、5,第3种拿法,以3打头;继续平移……8、9、10,以8打头,有8种拿法。红框每平移一次,拿法也就与打头的数一一对应。
生:拿参观劵时以几打头,就有几种拿法。
【赏析】学生在编号的基础上,通过“写一写、框一框、圈一圈、连一连”等不同的操作活动,探索出有9种拿法。贲老师引导学生进一步思考“如果要拿3张连号的券,一共有多少种不同的拿法”。学生不仅根据刚刚获得的解题经验得出有8种拿法,而且结合课件的演示,依据实际“拿”的过程抽象出“以几打头,就有几种拿法” 。这是学生循序渐进对思维过程作进一步简化的结果。其实,这就是根据实际对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的简化,并用精确的语言提出一些恰当的假设。
【片段三】反思过程——模型分析
师:让我们再回头看刚才拿两种连号的券的问题。
(学生课件演示红框向右平移,每移动一次,红框内对应的第一个数闪烁)
师:方框最后框的是9、10,打头的数是9,对应的拿法有9种。
生:如果拿3张连号的券,方框最后框的是8、9、10,打头的数是8,拿法有8种。
师:如果拿4张连号的参观券呢?有没有简捷的方法,找到有几种拿法呢?
生:10-(4-1)=7(种)。
师:能解释吗?
生:10个数中,不能打头的有3个,所以有7种。
师:解释得清楚吗?大家听明白了吗?真会思考,简单高效!掌声感谢他的发言。让我们看拿3张券的问题,如何列式?
生:10-2=8(种)。
师:为什么这样列式呢?
生:不能打头的有两个数。
师:拿两张券呢?
生:10-1,不能打头的券有1张。
师:打头,多好的说法,给我和大家很多启发。让我们也用掌声感谢她!有几种拿法,我们可以算出来。还有不同的方法吗?
(学生演示:将红方框从框1、2、3、4平移至框7、8、9、10)
师:平移红框,框住7、8、9、10,这样,我们就能找到一共有7种拿法。这也是一种简捷的方法,可以看出来。回头看一看,大家经过探索,现在应用的方法有:一一列举;观察找方框中和拿法对应的数;还可以列式计算。
师:如果拿5张劵、6张券,分别有几种拿法?
生:如果拿5张劵有6种拿法,拿6张券有5种拿法。
师:说说你是怎样想的?
(学生到讲台前演示,首先把红框从框1、2、3、4、5移至框6、7、8、9、10)
生1:框住6、7、8、9、10,就知道了拿法有6种。
生2:也可以列式:10-4=6(种),因为不能打头的数有4个。
生3:拿6张券,最后框住的是5到10,有5种拿法。
师:你说得真好!这是我们在解决问题过程中发现的规律。
【赏析】贲老师适时地引导学生对两次问题解决的过程进行反思:在假设的基础上,利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系,建立相应的数学结构,学生在解决问题的过程中做到了简单高效,能发现并描述规律,表明学生的数学模型已经建立。学生能利用获取的数据资料,如一共有多少张券,每次拿几张连号的券,对模型的所有参数作出计算得到一共有多少种拿法,成功地利用模型求解。贲老师及时引导学生对所得的结果从数学上进行分析与解释,实际上就是引导学生进行模型分析。
【片段四】打破平衡——模型优化
师:我们继续改编题目,会怎样改编呢?
生:拿7张券有几种拿法?
师:是这样改吗?请看屏幕。
(出示图2)
师:如果有15张天文台参观劵,要拿两张连号的劵,一共有多少种不同的拿法?想一想,这道题目与前面探讨的问题有什么不同?
生:拿的总张数变化了。
师:你能解决这个问题吗?同桌之间互相说一说怎样想。
生:有14种拿法,可以计算15-1=14(种)。
师:如果是150张参观券呢?
生:有149种拿法,根据规律计算150-1=149(种)。
师:题目在变,规律不变,我们解决问题的方法也不变。
【赏析】在这个教学环节中,贲老师以改变题目的形式不断地打破学生的思维定势,逐步将其思维引向深入。学生的思维经历了模型准备、模型假设、模型建立、模型求解与模型分析的过程,此时,思维要达到一个动态的平衡必须再次进行数学模型的优化。
【片段五】解决问题——模型应用
1.解决花边设计问题。(教师先出示没有标数字的图3,在学生数花边有多少方格后,教师将图3变化成图4)
师:这道题有什么变化?
生:图4标上了数字,这样更便于解决问题。
生1:(一一列举)有12种盖法。
生2:(列式计算)13-1=12种。
师:解决这个问题,你有什么收获?
生:花边方格内没有数,我们可以给它标上数。这样,就和前面的问题一样了。
师:我和你有同样的想法,标注数字之后,问题也就转化成了我们前面解决过的框数字的问题了。再看这样一个问题。
2.解决长假旅游问题。
师:贲老师在“十一”七天长假期间,想带女儿参加“泰山三日游”,哪3天去呢,贲老师共有多少种选择?
生:根据刚才的规律计算,有5种选择。
【赏析】贲老师在教学例题和“试一试”时,学生的思维经历了完整的数学建模过程,获得了初步的数学建模能力。在此基础上,再引导学生相对独立地解决实际问题,这些必要的拓展与应用练习能促进学生思维的正向迁移,使其思维多次经历数学建模的全部过程,有效地巩固数学建模能力,强化数学建模意识,让他们体会、领悟数学建模思想。
综观全课,在贲老师的引导下,学生在解决实际问题的过程中发现规律,对规律的理解与把握由浅入深,逐层深入,学生的思维在平衡与失衡的交替中呈现明显的螺旋上升的发展趋势。从数学建模的角度观照学生思维发展的轨迹,其思维经历了模型准备、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析和模型优化的过程。从这节课可以看出,在小学阶段实行初步的数学建模教学是可行的,对小学生进行数学建模思想的启蒙是很有必要的。(作者单位:江苏省兴化市安丰实验小学)■
□责任编辑 邓园生
E-mail: jxjydys@126.com
【片段一】数字编号——模型准备
(出示问题如图1)
师:根据要求,你想拿哪两张天文台参观券呢?
生1:我给参观劵编上号,可以拿1号和2号,也可以拿2号和3号。
生2:不管拿哪两张,只要号码相连就行。
(结合学生回答,屏幕显示“连号”二字改变颜色)
师:刚才几位同学在叙述时,把这些参观券编号1、2、3等,这样,交流也就方便多了。这是很有价值的想法。
(屏幕演示:10张参观券上标注1～10,参观券淡化,闪烁出示方框,用红框框住1和2)
师:这样,框住相邻的两个数,也就相当于拿第1张、第2张天文台参观券。刚才3位同学谈到了3种拿法,还有不同的拿法吗?如果我们进一步探讨,就可以进一步提出问题:一共有多少种不同的拿法?
【赏析】学生将参观券用数进行编号,这个简单的行为从数学建模的角度来看,是学生在了解问题的现实背景、明确实际意义、掌握对象的各种信息的基础上,根据问题的特征和目的对天文台参观券进行简化,并用精确的数学语言——编号来描述。尽管学生是下意识地这样做,但却反映了学生具有数学“简化”的潜意识,这恰恰是数学建模的第一步——模型准备。
【片段二】简化思维——模型假设
师:你能解决这个问题吗?请每位同学独立想一想怎么拿,可以写一写怎么拿,有多少种拿法;也可以借助材料纸上的数,用笔框一框、圈一圈、连一连。试一试能找到多少种不同的拿法?
(学生思考并在课件上演示,用鼠标按住红框依次平移,探索后汇报并完成列举式板书)
生:一共有10张参观劵,每次拿相连的2张,有9种拿法。
师:如果要拿3张连号的券,一共有多少种不同的拿法?
(學生思考并再次在课件上演示,用鼠标按住红框依次平移,探索后汇报)
生:一共有10张参观劵,每次拿相连的3张,有8种拿法。
师:让我们一起回顾一下拿券的过程。
(教师课件演示红框向右平移,每移动一次,红框内对应的第一个数闪烁)
师:框在最左边,是第一种拿法,以1打头;平移方框,2、3、4,第2种拿法,以2打头;3、4、5,第3种拿法,以3打头;继续平移……8、9、10,以8打头,有8种拿法。红框每平移一次,拿法也就与打头的数一一对应。
生:拿参观劵时以几打头,就有几种拿法。
【赏析】学生在编号的基础上,通过“写一写、框一框、圈一圈、连一连”等不同的操作活动,探索出有9种拿法。贲老师引导学生进一步思考“如果要拿3张连号的券,一共有多少种不同的拿法”。学生不仅根据刚刚获得的解题经验得出有8种拿法,而且结合课件的演示,依据实际“拿”的过程抽象出“以几打头,就有几种拿法” 。这是学生循序渐进对思维过程作进一步简化的结果。其实,这就是根据实际对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的简化,并用精确的语言提出一些恰当的假设。
【片段三】反思过程——模型分析
师:让我们再回头看刚才拿两种连号的券的问题。
(学生课件演示红框向右平移,每移动一次,红框内对应的第一个数闪烁)
师:方框最后框的是9、10,打头的数是9,对应的拿法有9种。
生:如果拿3张连号的券,方框最后框的是8、9、10,打头的数是8,拿法有8种。
师:如果拿4张连号的参观券呢?有没有简捷的方法,找到有几种拿法呢?
生:10-(4-1)=7(种)。
师:能解释吗?
生:10个数中,不能打头的有3个,所以有7种。
师:解释得清楚吗?大家听明白了吗?真会思考,简单高效!掌声感谢他的发言。让我们看拿3张券的问题,如何列式?
生:10-2=8(种)。
师:为什么这样列式呢?
生:不能打头的有两个数。
师:拿两张券呢?
生:10-1,不能打头的券有1张。
师:打头,多好的说法,给我和大家很多启发。让我们也用掌声感谢她!有几种拿法,我们可以算出来。还有不同的方法吗?
(学生演示:将红方框从框1、2、3、4平移至框7、8、9、10)
师:平移红框,框住7、8、9、10,这样,我们就能找到一共有7种拿法。这也是一种简捷的方法,可以看出来。回头看一看,大家经过探索,现在应用的方法有:一一列举;观察找方框中和拿法对应的数;还可以列式计算。
师:如果拿5张劵、6张券,分别有几种拿法?
生:如果拿5张劵有6种拿法,拿6张券有5种拿法。
师:说说你是怎样想的?
(学生到讲台前演示,首先把红框从框1、2、3、4、5移至框6、7、8、9、10)
生1:框住6、7、8、9、10,就知道了拿法有6种。
生2:也可以列式:10-4=6(种),因为不能打头的数有4个。
生3:拿6张券,最后框住的是5到10,有5种拿法。
师:你说得真好!这是我们在解决问题过程中发现的规律。
【赏析】贲老师适时地引导学生对两次问题解决的过程进行反思:在假设的基础上,利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系,建立相应的数学结构,学生在解决问题的过程中做到了简单高效,能发现并描述规律,表明学生的数学模型已经建立。学生能利用获取的数据资料,如一共有多少张券,每次拿几张连号的券,对模型的所有参数作出计算得到一共有多少种拿法,成功地利用模型求解。贲老师及时引导学生对所得的结果从数学上进行分析与解释,实际上就是引导学生进行模型分析。
【片段四】打破平衡——模型优化
师:我们继续改编题目,会怎样改编呢?
生:拿7张券有几种拿法?
师:是这样改吗?请看屏幕。
(出示图2)
师:如果有15张天文台参观劵,要拿两张连号的劵,一共有多少种不同的拿法?想一想,这道题目与前面探讨的问题有什么不同?
生:拿的总张数变化了。
师:你能解决这个问题吗?同桌之间互相说一说怎样想。
生:有14种拿法,可以计算15-1=14(种)。
师:如果是150张参观券呢?
生:有149种拿法,根据规律计算150-1=149(种)。
师:题目在变,规律不变,我们解决问题的方法也不变。
【赏析】在这个教学环节中,贲老师以改变题目的形式不断地打破学生的思维定势,逐步将其思维引向深入。学生的思维经历了模型准备、模型假设、模型建立、模型求解与模型分析的过程,此时,思维要达到一个动态的平衡必须再次进行数学模型的优化。
【片段五】解决问题——模型应用
1.解决花边设计问题。(教师先出示没有标数字的图3,在学生数花边有多少方格后,教师将图3变化成图4)
师:这道题有什么变化?
生:图4标上了数字,这样更便于解决问题。
生1:(一一列举)有12种盖法。
生2:(列式计算)13-1=12种。
师:解决这个问题,你有什么收获?
生:花边方格内没有数,我们可以给它标上数。这样,就和前面的问题一样了。
师:我和你有同样的想法,标注数字之后,问题也就转化成了我们前面解决过的框数字的问题了。再看这样一个问题。
2.解决长假旅游问题。
师:贲老师在“十一”七天长假期间,想带女儿参加“泰山三日游”,哪3天去呢,贲老师共有多少种选择?
生:根据刚才的规律计算,有5种选择。
【赏析】贲老师在教学例题和“试一试”时,学生的思维经历了完整的数学建模过程,获得了初步的数学建模能力。在此基础上,再引导学生相对独立地解决实际问题,这些必要的拓展与应用练习能促进学生思维的正向迁移,使其思维多次经历数学建模的全部过程,有效地巩固数学建模能力,强化数学建模意识,让他们体会、领悟数学建模思想。
综观全课,在贲老师的引导下,学生在解决实际问题的过程中发现规律,对规律的理解与把握由浅入深,逐层深入,学生的思维在平衡与失衡的交替中呈现明显的螺旋上升的发展趋势。从数学建模的角度观照学生思维发展的轨迹,其思维经历了模型准备、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析和模型优化的过程。从这节课可以看出,在小学阶段实行初步的数学建模教学是可行的,对小学生进行数学建模思想的启蒙是很有必要的。(作者单位:江苏省兴化市安丰实验小学)■
□责任编辑 邓园生
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