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一、问题提出
笔者参与一次市级优质课评比，精彩的课堂余音绕梁，不绝于耳。同时在一次优质课中聆听到风格截然不同的两节“重叠问题”，欣赏之余也多了一份比较。让学生在具体情境中学习，学生所呈现出来的“创作成果”却大相径庭，原因何在？让我们重温课堂，在课堂中或许能找到最好的答案。
二、案例重现
市少泳校林老师版的“重叠问题”（以下简称“林版”）
先出示集合圈：
师：铅笔、橡皮擦是重复的，同学们能不能把这两个圈改进一下，让人一眼看出是哪些是重复的，又能看出甲袋有4种，乙袋有3种。打开秘密信封把想法画在纸上。
几分钟后，教师逐一展示了以下的学生作品：
生1：
生2：
生3：
某县二小蔡老师版的“重叠问题”（以下简称“蔡版”）
如下：先出示参加两项比赛的名单：
书法比赛的有：思宁、杨明、丁刚、张伟、高彤。
绘画比赛的有：周晓、王阳、杨明、李杰、舒雨、高彤。
师：一眼就能看出来吗？
生：不能。
师：什么方式既能让人很清楚地看出参加书法比赛的是哪5个人，参加绘画比赛的是哪6个人;又能让人很明显地看出两项比赛都参加的是哪2个人。
反馈学生作品：
生1：
书法：思宁、杨明、丁刚、张伟、高彤
绘画：周晓、王阳、杨明、李杰、舒雨、高彤
生2：
书法：
绘画：
生3：
书法 绘画
生4：
书法 绘画
三、案例分析
两位教师的教学都努力让学生将自己的已有知识展现出来，让他们运用认知结构来学习新知，并对新知产生构想，突出学生在学习中的主体地位。但对比两节课学生所创造出来的成果，我不由得想到“留白”这种艺术表现手法。
国画中有一种构图方法叫“留白”，它可以起到虚实相映、形神兼备的效果。留白需要欣赏者以自己创造性的理解和想象丰富作品的内涵，使艺术在传达的过程中，除了能够表达作者的意图，还融合了欣赏者的想象和创造，达到“此处无物胜有物”“无画处皆成妙境”的艺术境界。同样，数学课堂也需要留白。
1.留白——留出了思考的时间和空间
数学家克莱因曾极力提倡：“留给学生自由活动的空间，他获得的就不仅仅是一个数学问题的解决、一种数学方法的掌握，而是一个从整体意义上对数学活动的领悟。”从本质上说，这种“领悟”离不开积极意义的探究空间和时间。而教学中的探究“留白”，正是为学生的自主探究提供了一个挑战性和支持性的课堂学习环境。纵观两堂课，“林版”从选择素材开始，突出集合的数学原型——铅笔袋，求两个铅笔袋一共有几种文具，也就是求两个集合的并集，极力帮助学生建立集合圈的初步印象。因此，学生在经历韦恩图的创造过程中，只能将集合圈的范畴稍作改变，所呈现的成果也在教师的预设之中（从教师的课件演示中也能得以验证）。而“蔡版”没有给予学生更多的集合“暗示”，让问题与已有的知识产生矛盾冲突。两份长长的名单怎样让人一眼就看出来？带着这一问题要求学生思考。短短几分钟，留给学生充足的思考时间、尝试时间、讨论时间，给学生的想象和创造留出更多的空间。就在这几分钟里，学生用文字、图示等方法，探索出了自认为最合理的表示方法。可以这么说，同样的美玉，在交给学生加工时，“林版”是块半成品，“蔡版”是块石坯。
2.留白——激活学生的原创思维
数学是一门培养学生思维的学科。在“林版”教学中，教师过多考虑了学生会遭遇的困难，用教师自己的理解代替学生的理解，太多的集合暗示与铺垫忽视了学生面临问题时最初的思维形式——原创思维，造成了学生的思维断层。学生的成果距离正确答案仅一步之遥，虽是经历了韦恩图的产生过程，但不是学生自己的成功，而是教师理想模式下的成功。相比较而言，笔者则更欣赏“蔡版”最大限度的激活、尊重学生的原创思维。随着问题的提出，学生的探究欲望也随之被激活，在涂鸦、画图、思索中，在“窥测方向”的过程中，找到了多种解决方法，预设之外的生成接踵而至。如果教师能在适当的时机介入，并提供有益的帮助，必将为学生提供施展才华的舞台，丰富课堂教学。
3.留白——预约“补白”的精彩
对于任何一个知识点，学生都会有自己的思想。只有学生充分地展示探究成果，进行思想交流，才会在思维碰撞中产生自己独特的见解，才使得先前的留白有价值。
由于课堂时间有限，我们不可能让每一个学生都获得交流的机会，但我们可以灵活地选择补白方式，或让持不同观点的代表阐述，或分组讨论、交流，或学生操作演示。此举在“林版”的教学中展示得淋漓尽致。在教师引导下，学生对别人的作品作出了合理的补充和评价，加深了对韦恩图的认识。当把学习的舞台真正让给学生，学生的思考是理性的思考，学生的辩论是个性思维的充分展示。在“蔡版”的教学中，或许是教师对课堂调控的欠缺，错过了许多预约之外的精彩，甚是可惜。特级教师朱乐平曾说过：“当孩子的思维没有完全照着你的路子走时，请您允许他走。”唯此，课堂教学才能成为促进学生发展的过程。
笔者参与一次市级优质课评比，精彩的课堂余音绕梁，不绝于耳。同时在一次优质课中聆听到风格截然不同的两节“重叠问题”，欣赏之余也多了一份比较。让学生在具体情境中学习，学生所呈现出来的“创作成果”却大相径庭，原因何在？让我们重温课堂，在课堂中或许能找到最好的答案。
二、案例重现
市少泳校林老师版的“重叠问题”（以下简称“林版”）
先出示集合圈：
师：铅笔、橡皮擦是重复的，同学们能不能把这两个圈改进一下，让人一眼看出是哪些是重复的，又能看出甲袋有4种，乙袋有3种。打开秘密信封把想法画在纸上。
几分钟后，教师逐一展示了以下的学生作品：
生1：
生2：
生3：
某县二小蔡老师版的“重叠问题”（以下简称“蔡版”）
如下：先出示参加两项比赛的名单：
书法比赛的有：思宁、杨明、丁刚、张伟、高彤。
绘画比赛的有：周晓、王阳、杨明、李杰、舒雨、高彤。
师：一眼就能看出来吗？
生：不能。
师：什么方式既能让人很清楚地看出参加书法比赛的是哪5个人，参加绘画比赛的是哪6个人;又能让人很明显地看出两项比赛都参加的是哪2个人。
反馈学生作品：
生1：
书法：思宁、杨明、丁刚、张伟、高彤
绘画：周晓、王阳、杨明、李杰、舒雨、高彤
生2：
书法：
绘画：
生3：
书法 绘画
生4：
书法 绘画
三、案例分析
两位教师的教学都努力让学生将自己的已有知识展现出来，让他们运用认知结构来学习新知，并对新知产生构想，突出学生在学习中的主体地位。但对比两节课学生所创造出来的成果，我不由得想到“留白”这种艺术表现手法。
国画中有一种构图方法叫“留白”，它可以起到虚实相映、形神兼备的效果。留白需要欣赏者以自己创造性的理解和想象丰富作品的内涵，使艺术在传达的过程中，除了能够表达作者的意图，还融合了欣赏者的想象和创造，达到“此处无物胜有物”“无画处皆成妙境”的艺术境界。同样，数学课堂也需要留白。
1.留白——留出了思考的时间和空间
数学家克莱因曾极力提倡：“留给学生自由活动的空间，他获得的就不仅仅是一个数学问题的解决、一种数学方法的掌握，而是一个从整体意义上对数学活动的领悟。”从本质上说，这种“领悟”离不开积极意义的探究空间和时间。而教学中的探究“留白”，正是为学生的自主探究提供了一个挑战性和支持性的课堂学习环境。纵观两堂课，“林版”从选择素材开始，突出集合的数学原型——铅笔袋，求两个铅笔袋一共有几种文具，也就是求两个集合的并集，极力帮助学生建立集合圈的初步印象。因此，学生在经历韦恩图的创造过程中，只能将集合圈的范畴稍作改变，所呈现的成果也在教师的预设之中（从教师的课件演示中也能得以验证）。而“蔡版”没有给予学生更多的集合“暗示”，让问题与已有的知识产生矛盾冲突。两份长长的名单怎样让人一眼就看出来？带着这一问题要求学生思考。短短几分钟，留给学生充足的思考时间、尝试时间、讨论时间，给学生的想象和创造留出更多的空间。就在这几分钟里，学生用文字、图示等方法，探索出了自认为最合理的表示方法。可以这么说，同样的美玉，在交给学生加工时，“林版”是块半成品，“蔡版”是块石坯。
2.留白——激活学生的原创思维
数学是一门培养学生思维的学科。在“林版”教学中，教师过多考虑了学生会遭遇的困难，用教师自己的理解代替学生的理解，太多的集合暗示与铺垫忽视了学生面临问题时最初的思维形式——原创思维，造成了学生的思维断层。学生的成果距离正确答案仅一步之遥，虽是经历了韦恩图的产生过程，但不是学生自己的成功，而是教师理想模式下的成功。相比较而言，笔者则更欣赏“蔡版”最大限度的激活、尊重学生的原创思维。随着问题的提出，学生的探究欲望也随之被激活，在涂鸦、画图、思索中，在“窥测方向”的过程中，找到了多种解决方法，预设之外的生成接踵而至。如果教师能在适当的时机介入，并提供有益的帮助，必将为学生提供施展才华的舞台，丰富课堂教学。
3.留白——预约“补白”的精彩
对于任何一个知识点，学生都会有自己的思想。只有学生充分地展示探究成果，进行思想交流，才会在思维碰撞中产生自己独特的见解，才使得先前的留白有价值。
由于课堂时间有限，我们不可能让每一个学生都获得交流的机会，但我们可以灵活地选择补白方式，或让持不同观点的代表阐述，或分组讨论、交流，或学生操作演示。此举在“林版”的教学中展示得淋漓尽致。在教师引导下，学生对别人的作品作出了合理的补充和评价，加深了对韦恩图的认识。当把学习的舞台真正让给学生，学生的思考是理性的思考，学生的辩论是个性思维的充分展示。在“蔡版”的教学中，或许是教师对课堂调控的欠缺，错过了许多预约之外的精彩，甚是可惜。特级教师朱乐平曾说过：“当孩子的思维没有完全照着你的路子走时，请您允许他走。”唯此，课堂教学才能成为促进学生发展的过程。