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数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义上讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图形、图表、程序等都是数学模型。模型思想是数学的基本思想之一，无论《义务教育数学课程标准（2011年版）》，还是《普通高中数学课程标准（2017年版）》，都将模型思想放在了最核心的位置。计算是小学数学教学的重要内容，根据数量关系式列出的算式就是用于解决实际问题的一种数学模型，而计算法则也是用于计算一类算式的数学模型，因此在计算教学中蕴含着丰富的模型思想，我们应在计算教学中，让学生经历数学建模的过程，从而渗透模型思想。笔者以苏教版小学数学三年级上册“两、三位数乘一位数（不进位）笔算”为例，谈谈如何在计算教学中渗透模型思想，供大家参考。
一、抽象表征，准备建模
抽象思想与模型思想同为数学基本思想，这两者之间有着紧密的联系。通过抽象能够舍去事物的非本质属性，得到数学的研究对象，抽象得到的数学对象本身就是一种数学模型，建模是在抽象的基础上进行的。用计算解决实际问题时，我们可以先依据数量关系将生活问题抽象为数学问题，这是一个将生活问题数学化的过程，以此得到的算式是解决此类问题的通用模型。在研究计算方法时，我们可以先让学生借助直观表征，理解抽象的算式的意义，从而为学生探寻具体算法提供帮助。通过抽象与直观表征，可以为数学建模提供所需的材料，从而为建立算法模型做好准备。
例如，在教学“两、三位数乘一位数（不进位）笔算”时，可以先将例题中“湖面上飞过3队大雁，每队12只，一共有多少只？”这个生活问题依据数量关系抽象为“求3个12的和是多少”这样的数学问题，经历这样的抽象，使这道算式不仅能够解决例题中的实际问题，还可以用来解决与例题具有相似数量关系但情境不同的实际问题，这道算式本身就是一个数学模型。接着，让学生用小棒来直观表征算式12×3（如图1），通过直观表征能够将抽象的算式形象化、结构化，从而为学生探寻算法模型做好准备。算式的直观表征方式有很多种，选用哪一种直观模型要视教学内容而定。如在探寻本课的算法时，选用整捆加单根的小棒来表征算式比较合理;而在探寻整数加法和减法的计算法则时，选择用计数器来表征算式更为恰当;在探寻分数加法和减法计算法则时，运用单位面积的正方形或圆来表征算式更为贴切。
二、探寻算法，尝试建模
建构主义学习理论认为，在教学中要使学习者将新的学习内容与自身已有的知识、经验之间建立起实质性的、非人为的联系，数学建模的过程也应如此。学生在学习一种新的计算法则之前，或多或少地从生活中或以前的学习中获得了一些相关经验，而这些经验应成为学生建立新的计算法则的基础。在教学中，我们可以让学生依托已有经验建立新的算法模型，或扩充头脑中的已有算法模型形成新的算法模型。只有让计算法则从学生的已有经验中生长出来，学生才能深刻理解计算法则，因此在教学计算法则之前，应先让学生自主探寻算法，让他们尝试建立自己的算法模型。
如上例，在将生活问题抽象为数学问题并用小棒直观表征算式后，可以先让学生根据已有经验自主探寻算法，探寻算法的过程就是一个自主建模的过程。学生根据已有经验会想出多种不同的算法，如图2所示，有些学生会观察小棒的排列方式或根据乘法的意义，想到用同数连加的方法计算;也有一部分学生会根据小棒中的数学信息，先将3个10相加，再将3个2相加，最后将两次计算的结果合并;还有一部分学生会用三步口算来计算。这些算法都可以计算出12×3的结果，它们都是计算这道乘法算式的算法模型，并且与学生的已有经验密切相关，是学生理解通用的算法模型的基础。
三、统一算法，建立模型
学生在自主探寻算法的过程中，由于已有知识经验和思维方式的差异，会得到不同的算法，每一种算法都是一种模型，都与学生的已有知识经验和思维方式紧密联系，所以带有明显的个性特征，并且有其适用范围和局限性。而通用的计算法则是能够用于更大范围的、约定俗成的算法模型，所以在学生建立了自己的算法模型后，需要引领学生在个性化的算法模型的基础上建立并理解通用的算法模型。
上例中，学生自己建立的算法大部分依托的是已有经验中的乘法的意义和口算乘法的计算方法，虽然每种算法都能计算例题中的这道算式，但随着问题的不断加深，运用这些算法计算会变得越来越困难，所以需要引领学生走向通用的、方便的笔算模型。对于笔算方法，教材中出示了两种，一种是较为完整的初始竖式，另一种是简化的一般写法竖式（如图3）。这两种不同写法的竖式本质上是一样的，却是不可缺少的。初始竖式与学生自主探寻出的各种算法模型联系紧密，是学生理解一般写法竖式的基础。一般写法竖式是初始竖式的简化、优化，是人们普遍使用的算法。在教学中，应先引领学生将自己的算法模型中的每一步计算与完整的初始竖式的每一步计算建立联系，从而理解完整的初始竖式，再将完整的初始竖式简化成一般写法的竖式，从而让学生在理解的基础上掌握一般的算法模型。
四、运用算法，巩固模型
应用数学模型的过程不仅能够加深学生对数学模型的理解，而且能够让学生感悟到建立数学模型的价值。在获得了一般的算法模型后，可以让学生进一步巩固数学模型。运用同一算式解决不同的实际问题，以及运用一般算法计算不同算式的過程，不仅能够帮助学生熟悉与巩固算法，而且能够让学生感受到算式的通用性。
本课中的应用可以分两个层次进行。第一层次，在学生获得了12×3的计算结果后，可以让学生思考这道乘法算式还可以解决哪些问题，学生通过思考感受到这道乘法算式除了能够解决例题中的实际问题，还能够解决很多与之结构相同的实际问题，从而感受到算式是解决数量关系相似的实际问题的一种模型，一个算式对应着多种不同情境的实际问题。第二层次，让学生运用12×3的计算方法计算31×3，2×42，学生在练习中感受到这种计算方法能够计算此类算式，在获得了这样的认识后，学生加强了对算法模型的理解，从而建立起两位数乘一位数（不进位）笔算模型（如图4）。
五、迁移算法，扩充模型
数学模型虽然能够解决问题，但也有其局限性，一个模型只能在一定的范围内适用。当遇到超出模型使用范围的问题时，可以通过扩充模型使原有的模型能够包容新的问题，或调整原有模型以适应新的问题，或依据新的问题建立新的模型。整数乘法计算法则的学习不是一次完成的，需要经历多个阶段，每一阶段建立的模型只能解决已学过的乘法计算，在以后的学习中还要依据算式的变化，不断丰富算法模型，最终形成能够用于所有整数乘法算式的笔算模型。
上例中，在学生掌握了两位数乘一位数（不进位）一般笔算方法后，可以让学生尝试计算123×3。在计算中，学生会自发地将两位数乘一位数（不进位）笔算方法迁移到新的计算之中，并形成三位数乘一位数（不进位）笔算模型。接着，让学生依据已经学过的三种乘法笔算模型（如图5），归纳出多位数乘一位数（不进位）笔算模型。不仅如此，课的最后还可以让学生尝试计算12×5，因为这道算式个位上的计算发生了进位，学生在运用已有模型计算时遇到了新的问题，所以需要调整已有的笔算模型以适应新的变化，从而将乘法笔算模型扩展到更大的范围之中，形成更为一般的乘法笔算模型。
综上所述，在计算教学中我们不仅要重视让学生在理解算理的基础上掌握算法，而且要重视让学生经历数学建模的过程，从中感悟模型思想，并运用模型思想解决实际问题，从而让学生体会到模型思想的价值。
（作者单位：江苏省高邮实验小学东校区）
投稿邮箱：405956706@qq.com
一、抽象表征，准备建模
抽象思想与模型思想同为数学基本思想，这两者之间有着紧密的联系。通过抽象能够舍去事物的非本质属性，得到数学的研究对象，抽象得到的数学对象本身就是一种数学模型，建模是在抽象的基础上进行的。用计算解决实际问题时，我们可以先依据数量关系将生活问题抽象为数学问题，这是一个将生活问题数学化的过程，以此得到的算式是解决此类问题的通用模型。在研究计算方法时，我们可以先让学生借助直观表征，理解抽象的算式的意义，从而为学生探寻具体算法提供帮助。通过抽象与直观表征，可以为数学建模提供所需的材料，从而为建立算法模型做好准备。
例如，在教学“两、三位数乘一位数（不进位）笔算”时，可以先将例题中“湖面上飞过3队大雁，每队12只，一共有多少只？”这个生活问题依据数量关系抽象为“求3个12的和是多少”这样的数学问题，经历这样的抽象，使这道算式不仅能够解决例题中的实际问题，还可以用来解决与例题具有相似数量关系但情境不同的实际问题，这道算式本身就是一个数学模型。接着，让学生用小棒来直观表征算式12×3（如图1），通过直观表征能够将抽象的算式形象化、结构化，从而为学生探寻算法模型做好准备。算式的直观表征方式有很多种，选用哪一种直观模型要视教学内容而定。如在探寻本课的算法时，选用整捆加单根的小棒来表征算式比较合理;而在探寻整数加法和减法的计算法则时，选择用计数器来表征算式更为恰当;在探寻分数加法和减法计算法则时，运用单位面积的正方形或圆来表征算式更为贴切。
二、探寻算法，尝试建模
建构主义学习理论认为，在教学中要使学习者将新的学习内容与自身已有的知识、经验之间建立起实质性的、非人为的联系，数学建模的过程也应如此。学生在学习一种新的计算法则之前，或多或少地从生活中或以前的学习中获得了一些相关经验，而这些经验应成为学生建立新的计算法则的基础。在教学中，我们可以让学生依托已有经验建立新的算法模型，或扩充头脑中的已有算法模型形成新的算法模型。只有让计算法则从学生的已有经验中生长出来，学生才能深刻理解计算法则，因此在教学计算法则之前，应先让学生自主探寻算法，让他们尝试建立自己的算法模型。
如上例，在将生活问题抽象为数学问题并用小棒直观表征算式后，可以先让学生根据已有经验自主探寻算法，探寻算法的过程就是一个自主建模的过程。学生根据已有经验会想出多种不同的算法，如图2所示，有些学生会观察小棒的排列方式或根据乘法的意义，想到用同数连加的方法计算;也有一部分学生会根据小棒中的数学信息，先将3个10相加，再将3个2相加，最后将两次计算的结果合并;还有一部分学生会用三步口算来计算。这些算法都可以计算出12×3的结果，它们都是计算这道乘法算式的算法模型，并且与学生的已有经验密切相关，是学生理解通用的算法模型的基础。
三、统一算法，建立模型
学生在自主探寻算法的过程中，由于已有知识经验和思维方式的差异，会得到不同的算法，每一种算法都是一种模型，都与学生的已有知识经验和思维方式紧密联系，所以带有明显的个性特征，并且有其适用范围和局限性。而通用的计算法则是能够用于更大范围的、约定俗成的算法模型，所以在学生建立了自己的算法模型后，需要引领学生在个性化的算法模型的基础上建立并理解通用的算法模型。
上例中，学生自己建立的算法大部分依托的是已有经验中的乘法的意义和口算乘法的计算方法，虽然每种算法都能计算例题中的这道算式，但随着问题的不断加深，运用这些算法计算会变得越来越困难，所以需要引领学生走向通用的、方便的笔算模型。对于笔算方法，教材中出示了两种，一种是较为完整的初始竖式，另一种是简化的一般写法竖式（如图3）。这两种不同写法的竖式本质上是一样的，却是不可缺少的。初始竖式与学生自主探寻出的各种算法模型联系紧密，是学生理解一般写法竖式的基础。一般写法竖式是初始竖式的简化、优化，是人们普遍使用的算法。在教学中，应先引领学生将自己的算法模型中的每一步计算与完整的初始竖式的每一步计算建立联系，从而理解完整的初始竖式，再将完整的初始竖式简化成一般写法的竖式，从而让学生在理解的基础上掌握一般的算法模型。
四、运用算法，巩固模型
应用数学模型的过程不仅能够加深学生对数学模型的理解，而且能够让学生感悟到建立数学模型的价值。在获得了一般的算法模型后，可以让学生进一步巩固数学模型。运用同一算式解决不同的实际问题，以及运用一般算法计算不同算式的過程，不仅能够帮助学生熟悉与巩固算法，而且能够让学生感受到算式的通用性。
本课中的应用可以分两个层次进行。第一层次，在学生获得了12×3的计算结果后，可以让学生思考这道乘法算式还可以解决哪些问题，学生通过思考感受到这道乘法算式除了能够解决例题中的实际问题，还能够解决很多与之结构相同的实际问题，从而感受到算式是解决数量关系相似的实际问题的一种模型，一个算式对应着多种不同情境的实际问题。第二层次，让学生运用12×3的计算方法计算31×3，2×42，学生在练习中感受到这种计算方法能够计算此类算式，在获得了这样的认识后，学生加强了对算法模型的理解，从而建立起两位数乘一位数（不进位）笔算模型（如图4）。
五、迁移算法，扩充模型
数学模型虽然能够解决问题，但也有其局限性，一个模型只能在一定的范围内适用。当遇到超出模型使用范围的问题时，可以通过扩充模型使原有的模型能够包容新的问题，或调整原有模型以适应新的问题，或依据新的问题建立新的模型。整数乘法计算法则的学习不是一次完成的，需要经历多个阶段，每一阶段建立的模型只能解决已学过的乘法计算，在以后的学习中还要依据算式的变化，不断丰富算法模型，最终形成能够用于所有整数乘法算式的笔算模型。
上例中，在学生掌握了两位数乘一位数（不进位）一般笔算方法后，可以让学生尝试计算123×3。在计算中，学生会自发地将两位数乘一位数（不进位）笔算方法迁移到新的计算之中，并形成三位数乘一位数（不进位）笔算模型。接着，让学生依据已经学过的三种乘法笔算模型（如图5），归纳出多位数乘一位数（不进位）笔算模型。不仅如此，课的最后还可以让学生尝试计算12×5，因为这道算式个位上的计算发生了进位，学生在运用已有模型计算时遇到了新的问题，所以需要调整已有的笔算模型以适应新的变化，从而将乘法笔算模型扩展到更大的范围之中，形成更为一般的乘法笔算模型。
综上所述，在计算教学中我们不仅要重视让学生在理解算理的基础上掌握算法，而且要重视让学生经历数学建模的过程，从中感悟模型思想，并运用模型思想解决实际问题，从而让学生体会到模型思想的价值。
（作者单位：江苏省高邮实验小学东校区）
投稿邮箱：405956706@qq.com