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《数学课程标准》指出“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，可见开展探究性学习有利于克服传统数学教学中教师向学生灌输知识的教学模式的弊端，有利于培养学生的创新精神、实践能力和终身学习能力，有利于激发学生的求知欲望和进取精神，使学生真正成为学习的主人。
一、创设情境，激发学生探索热情
现代教育理论认为，在教学活动中，教师的作用是要营造一种使学生能够探究的情境，而不是提供现成的知识，故在教学中教师应努力创设具有启发性的问题情境，用问题的发现来激发学生的求知欲望，并由此推动学生主动探索、寻求解决问题方法的学习热情。
（问题1）都匀公共汽车公司的小李对1路车进行调查，其中有一个问题是这样的：“已知该路车从始发站到终点站，公共汽车要依次停靠10个站（包括起点站和终点站），请问公共汽车从始发站开始开到终点站，一路上乘客总共可有多少种不同的乘车路线？”
老师：如果把行车线路画成线段，每个车站都看作线段上的点，那么问题的本质是什么呢？
由此引出：“数线段条数及规律探索”。这时，教室里气氛更加活跃起来，学投入到探究之中去了。
爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师”，兴趣能够提高学生学习情绪的内部动力，促使学生抱着强烈的好奇心和迫切探究的心情与老师一道走进数学知识大厦。
二、适当引导，组织学生进行探究
在实施探究学习过程中，教师应及时转变自身角色，充分发挥“辅与导”的功能，科学、能动地组织学生进行实践和探索。
（问题2）如图（1）和图（2），请问两图中各有几条线段？
请大家再思考一下，数线段的条数中蕴含了什么规律？
学生1：图1中有较短线段2条，较长线段1条，所以共有2+1=3条，图2中，有较短线段3条，较长线段2条，最长线段1条，所以共有3+2+1=6条线段，其中两式中的最大加数2和3都恰比线段端点个数小1，并且线段总数是一个逐一相加到1的连续自然数的和。
学生2：我发现，在图1中以A为左端点的线段共有2条（AC、AB），以C为左端点的共有1条（CB），这样共有2+1=3条线段；在图2中以A为左端点的线段共有3条（AC、AD、AB），以C为左端点的共有2条（CD、CB），以D为左端点的共有1条（DB），这样共有3+2+1=6条线段。
老师：太好了，同学们，综合以上三位同学的探索过程，我们发现，当线段上端点比较多时，不妨取定左端点从左到右依次数，这样做既方便又不会遗漏。
三、学习致用，让学生体验成功
老师：刚才问题1中小李的问题还没有解决呢？请问哪位同学能帮他的忙？
许多同学都能按上面数线段的方法进行演算：
9+8+7+6+5+4+3+2+1=45
故总共有45种不同的乘车路线，适当点评后，老师进一步提出：
问题3：劳动课上，老师要从全班50位同学中挑选2人去抬水，请问这次任务中总共有多少种不同的抬水组合？
学生们马上写了这样的一个式子：
49+48+47+……+3+2+1
由于式子比较长，同学生们讨论着，思考着，要是有一个简洁的计算公式，能直接把各个连续自然数的和给求出来那该多好呀！
“一石激起千层浪”，又一轮新的探索在老师的启发下全面展开，气氛再度活跃起来，学生们个个神情专注，兴奋而又努力地探索起来。
四、深入探索，引导学生寻找规律
连续自然数的求和公式推导为这节课的难点，老师可如下启发。
老师：有些同学已经想到了如下简便算法：
49+48+47+…+3+2+1
=（49+1）+（48+2）+（47+3）…+（26+24）+25=24×50+25=1225
这条思路很好，就是尽可能多的把一些数凑成同一个数，然后借助乘法计算出来，按照这条思路，请大家仔细探讨一下，上式还有更加简便的方法吗？
（经讨论后）
学生：把1到49共49个数全部凑成50，相加后得2450，再除以2即得1225。引导学生写出式子：
49+48+47+…+3+2+1
[=12] [（1+2+3+…+48+49）+（49+48+…+3+2+1）[=12] [（1+49）+（2+48）+…+（49+1）]
[=12]（50+50+…+50）[=12]×49×50=1225
问题4：若把49换成n-1，则（n-1）+（n-2）+…+3+2+1应如何计算呢？
学生能按照上述思路进行演算：
（n-1）+（n-2）+…+3+2+1
[=12][1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+（n-1）+（n-2）+…+3+2+1]
[=12]{[1+（n-1）]+[2+（n-2）]+…+[（n-2）+2]+[（n-1）+1]}
[=12]（n+n+n+…+n）=[n（n-1）2]
老师：很好！这就是说，若线段上共有n个端点，则不同的线段条数的计算公式为：
（n-1）+（n-2）+…+3+2+1=[n（n-1）2]
若在上述公式中将n换成n+1，则可得到：
n+（n-1）+（n-2）+…+3+2+1=[n（n+1）2]
有了这个公式便可以快速计算出n个连续自然数的和。
五、自我评价，鼓励学生尝试创新
学生自己总结，思考和研究再做巩固练习。
（1）平面内n个点最多能确定几条直线？
（2）平面内n条直线相交最多有几个交点？
（3）从同一点O出发的n条射线（最大夹角小于平角），一共可心组成多少个角？
（4）在1，2，3，…，n，这n个不同的数中任选两个求和，则不同的结果有多少种？
（提示：以上各题答案均为 [n（n-1）2] ）
此案例设计力图实现以下三方面转变：
（1）教的转变，教学中，老师应从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者，变“满堂灌”为“启发式”，变教师“主宰”为教师“主导”，最大限度地激发学生研究问题的兴趣。
（2）学的转变，在课堂里，学生应从配角转变为主角，使接受知识的过程从被动转变为主动，从一味模仿转变为自觉探索，从而培养学生发展、变化的辨证唯物主主义观点。
（3）教学目标的转变，教学目标在本案例教学过程中从落实双基，培养思维能力，提升为情感、意志、能力、知识等全方位的培养。
探究性学习重在探索，贵在引导，在教学中只要教师能坚持以学生为主体，精心设计，巧妙引导，课堂教学就会变得生动活泼，富有情趣。
一、创设情境，激发学生探索热情
现代教育理论认为，在教学活动中，教师的作用是要营造一种使学生能够探究的情境，而不是提供现成的知识，故在教学中教师应努力创设具有启发性的问题情境，用问题的发现来激发学生的求知欲望，并由此推动学生主动探索、寻求解决问题方法的学习热情。
（问题1）都匀公共汽车公司的小李对1路车进行调查，其中有一个问题是这样的：“已知该路车从始发站到终点站，公共汽车要依次停靠10个站（包括起点站和终点站），请问公共汽车从始发站开始开到终点站，一路上乘客总共可有多少种不同的乘车路线？”
老师：如果把行车线路画成线段，每个车站都看作线段上的点，那么问题的本质是什么呢？
由此引出：“数线段条数及规律探索”。这时，教室里气氛更加活跃起来，学投入到探究之中去了。
爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师”，兴趣能够提高学生学习情绪的内部动力，促使学生抱着强烈的好奇心和迫切探究的心情与老师一道走进数学知识大厦。
二、适当引导，组织学生进行探究
在实施探究学习过程中，教师应及时转变自身角色，充分发挥“辅与导”的功能，科学、能动地组织学生进行实践和探索。
（问题2）如图（1）和图（2），请问两图中各有几条线段？
请大家再思考一下，数线段的条数中蕴含了什么规律？
学生1：图1中有较短线段2条，较长线段1条，所以共有2+1=3条，图2中，有较短线段3条，较长线段2条，最长线段1条，所以共有3+2+1=6条线段，其中两式中的最大加数2和3都恰比线段端点个数小1，并且线段总数是一个逐一相加到1的连续自然数的和。
学生2：我发现，在图1中以A为左端点的线段共有2条（AC、AB），以C为左端点的共有1条（CB），这样共有2+1=3条线段；在图2中以A为左端点的线段共有3条（AC、AD、AB），以C为左端点的共有2条（CD、CB），以D为左端点的共有1条（DB），这样共有3+2+1=6条线段。
老师：太好了，同学们，综合以上三位同学的探索过程，我们发现，当线段上端点比较多时，不妨取定左端点从左到右依次数，这样做既方便又不会遗漏。
三、学习致用，让学生体验成功
老师：刚才问题1中小李的问题还没有解决呢？请问哪位同学能帮他的忙？
许多同学都能按上面数线段的方法进行演算：
9+8+7+6+5+4+3+2+1=45
故总共有45种不同的乘车路线，适当点评后，老师进一步提出：
问题3：劳动课上，老师要从全班50位同学中挑选2人去抬水，请问这次任务中总共有多少种不同的抬水组合？
学生们马上写了这样的一个式子：
49+48+47+……+3+2+1
由于式子比较长，同学生们讨论着，思考着，要是有一个简洁的计算公式，能直接把各个连续自然数的和给求出来那该多好呀！
“一石激起千层浪”，又一轮新的探索在老师的启发下全面展开，气氛再度活跃起来，学生们个个神情专注，兴奋而又努力地探索起来。
四、深入探索，引导学生寻找规律
连续自然数的求和公式推导为这节课的难点，老师可如下启发。
老师：有些同学已经想到了如下简便算法：
49+48+47+…+3+2+1
=（49+1）+（48+2）+（47+3）…+（26+24）+25=24×50+25=1225
这条思路很好，就是尽可能多的把一些数凑成同一个数，然后借助乘法计算出来，按照这条思路，请大家仔细探讨一下，上式还有更加简便的方法吗？
（经讨论后）
学生：把1到49共49个数全部凑成50，相加后得2450，再除以2即得1225。引导学生写出式子：
49+48+47+…+3+2+1
[=12] [（1+2+3+…+48+49）+（49+48+…+3+2+1）[=12] [（1+49）+（2+48）+…+（49+1）]
[=12]（50+50+…+50）[=12]×49×50=1225
问题4：若把49换成n-1，则（n-1）+（n-2）+…+3+2+1应如何计算呢？
学生能按照上述思路进行演算：
（n-1）+（n-2）+…+3+2+1
[=12][1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+（n-1）+（n-2）+…+3+2+1]
[=12]{[1+（n-1）]+[2+（n-2）]+…+[（n-2）+2]+[（n-1）+1]}
[=12]（n+n+n+…+n）=[n（n-1）2]
老师：很好！这就是说，若线段上共有n个端点，则不同的线段条数的计算公式为：
（n-1）+（n-2）+…+3+2+1=[n（n-1）2]
若在上述公式中将n换成n+1，则可得到：
n+（n-1）+（n-2）+…+3+2+1=[n（n+1）2]
有了这个公式便可以快速计算出n个连续自然数的和。
五、自我评价，鼓励学生尝试创新
学生自己总结，思考和研究再做巩固练习。
（1）平面内n个点最多能确定几条直线？
（2）平面内n条直线相交最多有几个交点？
（3）从同一点O出发的n条射线（最大夹角小于平角），一共可心组成多少个角？
（4）在1，2，3，…，n，这n个不同的数中任选两个求和，则不同的结果有多少种？
（提示：以上各题答案均为 [n（n-1）2] ）
此案例设计力图实现以下三方面转变：
（1）教的转变，教学中，老师应从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者，变“满堂灌”为“启发式”，变教师“主宰”为教师“主导”，最大限度地激发学生研究问题的兴趣。
（2）学的转变，在课堂里，学生应从配角转变为主角，使接受知识的过程从被动转变为主动，从一味模仿转变为自觉探索，从而培养学生发展、变化的辨证唯物主主义观点。
（3）教学目标的转变，教学目标在本案例教学过程中从落实双基，培养思维能力，提升为情感、意志、能力、知识等全方位的培养。
探究性学习重在探索，贵在引导，在教学中只要教师能坚持以学生为主体，精心设计，巧妙引导，课堂教学就会变得生动活泼，富有情趣。